mn- /i — 2 ) (^ — 3). . ,{x — m — /iH-i

d'où Ton formera les équations suivantes :

Or on a

donc

partant

.Nn^fSfC^ + C);

or, posant /i = i, ^N, = -; donc Ensuite

donc

or, posant w ~ i , ^N, == ^; donc

C =0, et généralement

./ni-/»— i

On a ensuite

donc

M —in? ^'*"*.

partant,

or, posant n = i , aM„ = ^ — -; donc

et

___7»-« yO 1-7. .X^^""* '-/^

On aura pareillement

iM„ =

gtl-^ pS , g Ç^ j^^ gll-X ^ /, p

f.n-t pt ^ , ^2

or, posant n = i, 3M„= - (- — -j; donc

En continuant d'opérer ainsi, on trouvera généralement

gn-lpm-t ï — p /i(/i4-l)...(/l-+-m — 3)

J'observerai ici, relativement à ces expressions de ,„N„ et de ,;,M„, que

/i(/i-hi)...(/ï-+-/w — 2) /n(m-hi)...(m-4-/i — 2)

et que

d'où il résulte que les quantités ,;,N„ et ^M;, restent les mêmes lorsqu'on y change /> en y, m en /i, et réciproquement; ce qui doit être d'ailleurs par la nature du problème. On en doit dire autant des autres quantités ;„L„, j^^^ ....

Présentement

or, ,L;, = ^;^zi (""7^) > donc on aura, en intégrant,

or, posant n=i, m = i ei x = [\^ dans l'expression trouvée ci-dessus

de n^^ny^r^ on a

î.«74 =^ '-^ ( iL, H- 2.,M, -+- ,N, ) ;

donc, puisque 3,2^4 = ' •

de plus, C égale jL^ dans l'expression de oL^. On trouvera pareillement

-^TS^^LiC'^-O

C étant une constante arbitraire; or, posant /^=I, ^L^^f^-] ;

partant.

et généralement on aura

-^ rm^n^k » « 1.2.3. ..(m — 2)

qft-ipm^i /, — /?Y /i. . .(/i -f- m — 4) -*- r"*^'»-* \~^/ 1.2.3. ..(m — 3)'

On a ensuite partant,

OKuvres de L, - VIII. 22

or, posant n = 3, on a

De même,

et généralement on aura

,.//i+/i-â \ /• y i.2.3...(wj — I)

fjfi-ipm-^ (/i 2). . .(/I -+- m — -5)

,.,„^«5 I î i.u."3..".(/îî--'î)

çn-ipm-2 („,) .(,1 ^ „| 5)

qn-l pm-i / i__pY „ (,| ^ ,;t __ 5

On déterminera 3K3 et 3K2 au moyen des équations suivantes :

r»(,K,-4- 3 jLj 4- 3 ,Ma-h jN,) = I , /•»(,Kî-+- 33L,-4- 3,M,H- ,N,) = 1.

La loi des autres coefficients „,!;,, ,„[I^, ... est visible, et il est aisé, par conséquent, de les déterminer. Quant au coefficient ^iC^, on le déterminera par cette équation

^- .r /^ / X IX (m 4- /i — a) (m -H /i — 3) l

On a donc ainsi Une expression générale de m,nyx* et, conséquemment, la probabilité du joueur G pour gagner; par la même méthode, et au moyen de formules analogues, on aurait celle des deux autres joueurs A etB; en sorte que Ton a une solution du Problème des partis dans le cas de trois joueurs; Problème qui n'avait point encore été résolu, que je sache, bien que les géomètres qui se sont occupés de l'analyse des hasards parussent en désirer la solution. (Voir M. Montmorty dans son Ouvrage Sur Tanalyse des jeux de hasard, seconde édition, page 247*) Je suppose dans l'expression m,nyx^ m = 2, /i = 3 et a? = 9, c'està-dire que le nombre des coups qui manquent au joueur G soit 4 ; \^

suppose, de plus, p=:q =r= ^- Cela posé, on aura

et, en supposant a; = q, on aura la probabilité do C, pour gagner, égale à j 3 j, = — - ; pour avoir la probabilité de B, j'observe qu'elle est égale j* î.»^» ; or on a

..V»-.- jTTï [4 ..a. 34 ~ ^ ^ TO

(.r-a)(jr-3) -, . 1

Si l'on suppose a: = t), on aura

•-" 729' la probabilité de A éaale i i^ — ±1! .

La méthode précédente aurait encore lieu, si, au lieu de trois joueurs, on en supposait un plus grand nombre.

On peut résondre le Problème précëdeat par la miïtbode des combinaisons d'une ranniËre extrëniement simple que voici :

Les mêmes choses élant supposées que dans le Problème précédent; soit, de plus, 1 le nombre des coups qui manquent au joueur C, en sorte que l'on ait j = m -h /i + f ; il est évident que le jeu doit unir au plus tard en x — 1 coups ; donc le nombre de tous les cas possibles, multipliés chacun par lenr probabilité particulière, est (/)-»- 7 + /■)"•+"+'-'. Pour avoir le nombre de tous les cas dans lesquels le joueur A gagne, il Taut développer la Irinéme (p + q-h ;.)m*ii+i-i gt n'admoUre que les lermes dans lesquels ;> a un exposant <§fl/ ou supérieur à m; soit donc H/>'"+l'yVr''+'-*-|i->' un de ces tonnes; si Ifs exposants de 7 et de r sont l'on moindre que », et l'autre moindre que /, il faut admettre ce terme en entier; mais, si l'exposant de q, par exemple, est égal ou plus grand que n, il Tant rejeter de ce terme toutes les combinaisons dans lesquelles q arrito n fois avant que p arrive m fois. Soit donc 1 = n + \; j'observe, cela posé, que ces combinaisons sont : I* celles dans lesquelles, /i étant arrivé m— i fois, j est arrivé précisément n fois; a* celles dans lesquelles,/} étant arrivé m — a (ois, q est arrivé n+ifois; 3* celles dans lesauclles. p étant arrivé m — 3 fois, q est arrivé a-i-% fois, etc., et ainsi (fe suite jue naison dans laquelle, p élant arrivé m — X — 1 fois, y est arrivé « -i- X foii X n'excède pas m — t ; car, autrement, il faudrait s'arréler à la combinaisoi

p n arrive point du tout; présentoment, le nombre des cas dans lesquels, sur m + // — i coups, p arrivera m — i, et ç', n fois, est, comme l'on sait,

mais, comme dans le terme H;?'»»+t''Ç«-^-^W-*-l*-^, p arrive m-\-\L fois, et </, /i-f-X fois, il

faut multiplier -; ^ ^ , 4 par le nombre des combinaisons dans lesquelles, p arrivant

;ji -H 1 fois, q arrive X fois; or le nombre de ces combinaisons est

A({l-4-X -hl) ^ A(jx-hi)A(X)'

donc on aura

A(//)A(X)A(m — i)A([A-Hi}

pour le nombre des combinaisons dans lesquelles q est arrivé n fois, lorsque p n*esl encore arrivé que m — i fois; on trouvera pareillement

A(m-h/i — i)A((JH- X H-i)

A(/i -m) A(X — i) A(//2 — 2) A( JJI-+- 2)

pour le nombre des cas dans lesquels q est arrivé /t + i fois, lorsque p n*est encore arrivé que m — a fois, et ainsi de suite. Soit donc

\(m -h fi — i) A(Lt-4- X -4-0 \ j ^ -,

A(/OA(m — i)A(fji-4-i)A(X)^ »"'/ '^ »- »

que Ton désigne par (Q{&-t-x) la somme de tous les termes que Ton peut former, en donnant à fx et à X, dans Q^-^\, toutes les valeurs possibles en nombres entiers et positifs depuis zéro, de manière cependant que |jh- X n'excède jamais / — a; que Ton exprime ensuite par (R(i.-t-x) ce que devient (Q|a-i-x)) lorsqu'on y change ^ en r, /i en i, et réciproquement; cela posé, la probabilité de A, pour gagner, sera

l^a même méthode a également lieu, quel que soit le nombre des joueurs.

Problème XVI. — Je suppose les numéros A i , A 2, B i et B 2, renfermés dans une urne, et que deux joueurs A e/ B jouent à cette condition que A

choisissant les numéros Kl et A3, et B les deux autres, si l'on lirecluufue fois un seul de ces numéros au hasard, celui des deux joueurs gagnent, qui le premier aura atteint le nombre i, les numéros A i e/ B i comptant pour i, et les numéros A 2 cï B 2 comptant pour ■2.. Cela posé, s'il manque n unités au joueur A, et x — n unités au joueur B, on demande les prohabilités respectives des deux joueurs A e/ B pour gagner.

Soit „yx la probabililé de B pour gagner; si l'on tire de l'urne le numéro Al, elle deviendra „,y^,; si l'on tire le numéro A2, elle deviendra B-a^x-aî si le numéro Bi sort, elle sera „jx,; si c'est Ip numéro B2, elle sera «j^^a: on aura donc

Cette équation s'intègre comme dans le Problème VII; mais, pour cela, il faut avoir deux équations particulières dans deux suppositions particulières pour n. Or, si l'on suppose n = o, on a ^y^ = o, et si l'on suppose n — 1, tji=5.jjr-i. parce que je suppose qu'alors les deux joueurs excluent les numéros Aa et B2. On a donc, par le Problème VII,

et l'équation

est la même que celle-ci

'■ = {'-^)i-ù-éï"-

un aura ainsi

—^•-4 N.-i--:^;^-^.M.îJ^L^

^■-^ni:kv';-r"-'^-^^^^

17V RECUERCHES SUR L'INTÉGRATION

p et '/7 étant les deux racines de l'équation

c'est-à-dire p étant - — ^^> et '/? étant '^o •

Il faut présentement déterminer les constantes arbitraires A„, N^, . ... Or, si l'on substitue dans Téquation (i), au lieu de ^yj., «Vj-m ;,,,v^i, ... leurs valeurs tirées de l'expression de ^j^f, on aura