X-^ ' I I . 2 . 3 . . . ( W — 2 ) ^ I . 2 . 3 . . . ( rt — t
-H(N« -i-2M«-hL„)
[jM'p-j)
D'où, en considérant que
~ 4/* 4/*/»' on formera les équations suivantes :
fc- 1 li/t ' Lfl| I Hq-^f 1 Mu— 1
On aura des équations semblables pour 'N„, 'M„ On déterminera les quantités C^ et 'C,, en considérant que, lorsque n = a-, B>'i=i, et que, lorsque a;=3n, ^^=i; d'où l'on tire les équations
,= ij + ,.j^C,+ »D.-
ÛT^"-
an
an.
Il faut présentement intégrer les équations précédentes. Or, si l'on fait ^ = cosy et -^ = siny, ce qui donne à peu près q = i io"42'.
17G UECHERCHES SUR L'INTÉGRATION
el si l'on fait w = i, on a
parce que ,7^= J^,; donc
8\/2sin7=:| el 6 — — — ;
2^/2 sin^
partant
sinç' L'équation
4 /> i P donne
Cette valeur de N;, ne commence à avoir lieu que lorsque n = 2; donc
Q=.N% et N„^^8^,^,^„.;
pareillement
on déterminera Nj et 'N^ par ces équations
On déterminera de la même manière les autres coefficients M„, L^,,
PiiOBLÈME XVIi. — DeiLX joueurs A et H jouent à cette condition, quà chaque coup, celui qui perdra donnera un écu à l'autre; je suppose que r adresse'de A soit à celle de B, comme p est à y, et que Vun et l'autre ait un nombre m d*écus; on demande quelle est la probabilité que le jeu finira a\:ant, ou au nombre x de coups.
Je suppose d*abord/> = q. Soient
„7x le nombre des cas suivant lesquels, au coup x, le gain des deux joueurs est nul ;
,7x le nombre des cas suivant lesquels le gain de Tun ou de l'autre
est i; aj^fle nombre des cas suivant lesquels il est 2, et ainsi de suite.
Cela posé, on formera les équations suivantes :
l.yx ^^ 2 . o.ya:-i ~+" tJ^jT- 1 9 ('!) / s7x= «7a:-l-+- %yx-\y
{^) nyx= «-l7.r-|-*-«+i7a:-l.
—lyx — m—iyx—i
Pour montrer par quel procédé on obtient ces équations, j'observe que, en un coup, il peut arriver deux cas différents, savoir, que A Pgne, ou que ce soit B; or il est clair que le gain ne peut être zéro ^ucoup a:, sans avoir été i au coup or — i, et chaque cas dans lequel *'cst I au coup X — I donne un cas dans lequel il est nul au coup x;
^'où je tire l'équation
oyx^^uYx-f
Ensuite tous les cas dans lesquels le gain est nul au coup x — 1 donnent chacun deux cas dans lesquels il est i au coup x; d'où Ton aura
lien est de même des autres équations. Entin, on obtiendra la der- "*6Peen considérant que l'on doit exclure le terme wj'j,-,, parce que ^6 terme ne peut avoir lieu, tant que le jeu est supposé ne pas linir.
Le nombre de tous les cas possibles est 2^; car, en nommant hr ce "oinbre, comme il peut arriver au coup suivant deux cas différents,
OBuvrtê de L.— VIU. 'iS
178 RECHERCHES SUR LINTÉGRATION
savoir, que A gagne B ou que B gagne A, le nombre A^,, pouvant se combiner avec ces deux cas, dojine conséquemmcnt 2hj, pour le nombre de tous les cas possibles au coup a? -h i; on a donc
d'où, en intégrant,
A étant, une constante arbitraire. Or, posante? = i, hj.=: 2; donc
A = I et /la;=2*.
Soit présentement Uj^ la probabilité que le jeu finira précisément au nombre x de coups : on aura
mais on a visiblement
m J'x ^— - m — xy^x—X ?
donc
m— l.yar— 1
Ux— -
Soit z^ la probabilité que le jeu finira avant ou au nombre x de coups, on aura
donc
*'a:-i — —^ WU ^ **^a: — m--tjx'
Il ne s'agit donc plus que de déterminer la valeur de m-^yxf ce qui peut se faire au moyen des équations précédentes (vp). Pour cela, j'observe que ces équations peuvent se rapporter au Problème VIII au moyen d'une légère préparation; or cette préparation consiste à former, au moyen des deux premières, une équation entre trois variables, ce que l'on fera en substituant dans la seconde, au lieu de oyx-i* sa valeur iXa-a tirée de la première, et l'on aura
Soit maintenant
Il ne faut point tenir compte, dans cette équation, des termes «y^-M n^x-if •••• n4.<ya?-2» «4-<Ja:-4» •••» P^rcc quc CCS tcrmcs sout nuls dès que nX^ a une valeur quelconque, vu que, si le gain est pair ou impair au coup 07, il est nécessairement impair ou pair aux coups x — i, 07—3, Cela posé, l'équation (û) donne
Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de«,y^«,, „,y^.3, . . . , leurs valeurs que donne l'équation (a), on aura, après avoir ordonné,
nYx— ( «n-l -+- ^«-1 ) «7x-î "^ (*««-l-^*^/i-l)/i7x-*-H('a«-i4-'6;,-.l)«/^«-h. . .
En comparant cette équation avec l'équation (û), on aura
Pour intégrer ces équations, il est nécessaire de faire les considérations suivantes :
La première équation commence à avoir lieu lorsque n = i.
La deuxième ne commence à exister que lorsque /i = 2; ainsi, la constante arbitraire qui vient en l'intégrant doit se déterminer au moyen de la valeur de a^ lorsque /i = i.
La troisième équation commence à exister lorsque n = 2.
La quatrième ne commence à exister que lorsque n = '5; et la constante arbitraire qui vient en l'intégrant doit se déterminer au moyen de la valeur de 'a^,, lorsque n= 2; et ainsi du reste.
Cela posé, si Ton intègre la deuxième équation, on aura
C étant une constante arbitraire; or, posant n = i, on a
a;j=a, donc C = i; partant
On doit observer que cette équation ne commence à exister que lorsque /i = 2 ; or, n étant i , on a
de plus, en faisant /i = 2, on a scmblablement,
pareillement,
Si Ton intègre la quatrième équation, on aura
pour déterminer la constante C, on se servira de la valeur de ^a.^ ; or, on a
'a,= o, donc C=:o;
partant
cette expression de ^b^ ne 4)eut commencer à avoir lieu, par les remarques précédentes, que lorsque w = 3; de plus, en faisant /i = 3, on a
pareillement, pareillement,
sixième équation donne, en intégrant,
Po UT déterminer C, j'observe que ^a, égale o; donc, C =- o. Partant
e3L|> 1-ession qui ne peut commencer à exister que lorsque /^ = 4» et ainsi de suite.
EInfin, «»=«!„.,; donc, w,»=C. Or, posant n = i, 11^=0; donc, C === 0. Ainsi l'on aura
"l~ «4-1 J'*— 1 — '* • n+l^x— J H ' 7 n+lj^x—t — ....
Si Ton suppose présentement n—m — i, alors il ne faut point tenir compte des termes b^-^Jj-,, «-^Jx-s» •••> parce que ces termes sont exclus des équations {^)\ on aura donc
Si Ton substitue présentement dans cette équation, au lieu de ;„, r^., sa Valeur 2*"*"' Asjp, on aura, après avoir intégré,
'^ suppose maintenant les adresses de deux joueurs inégales dans *^ >*aison de/i à 9; soit/? -f- y = i. Cela posé, si l'on demande la pro- "^oîlité de la combinaison suivante
Pf qj (/> /^> Py Py Qy •••> V»
^^ qui signifie A gagne au premier coup, B au second et au troisième,
A aux quatrième, cinquième et sixième, etc. Il est clair que, pour avoir cette probabilité, on doit multiplier toutes ces quantités les unes par les autres; nommant donc r le nombre de fois que p se trouve répété dans cette combinaison, x — r exprimera combien de fois q s'y trouve répété; la probabilité de cette combinaison sera conséquemment p^q^~^.
Si Ton fait ic--r = r-H5, et que dans quelque endroit que l'on arrête la combinaison, le nombre de fois qu'une des quantités /> et ^ s'y trouve plus souvent répétée que l'autre, soit toujours moindre que rriy cette combinaison sera une de celles dans lesquelles B gagnerait s écus au joueur A; or, on peut faire une combinaison correspondante dans laquelle A gagnerait s écus à B, et la probabilité de cette combinaison sera qfjf^\ le rapport de cette probabilité à la précédente est celui de/?* à q^\ d'où il résulte que généralement le nombre des cas suivant lesquels A gagne s écus à B, multipliés chacun par leur probabilité particulière, est au nombre des cas suivant lesquels B gagne s écus au joueur A, multipliés par leur probabilité, comme p' : q*.
Cela posé, soit ojx le nombre des cas suivant lesquels au coup œ le gain des deux joueurs est nul, multipliés chacun par leur probabilité. Soient ,j^, aj^., ... le nombre des cas suivant lesquels le gain du joueur A est I, 2, ... écus, multipliés chacun par leur probabilité
particulière, et que «ja?» ajx» ••• expriment des quantités analogues pour le joueur B; il est aisé, présentement par des considérations entièrement semblables à celles suivant lesquelles j'ai formé les équations (4')f d'obtenir les suivantes :
0 Jx = ^ • l/ar-i -+-/>. ijx-l »
i7x = /^- ojKx-i -+- ^. î7x-l, tyx — P' ijx-i -+- q ' j/x-i »
-\yx — p * m-\y x-v
Or on a, par les remarques précédentes,
La première équation devient donc
partant
substituant cette valeur de oyx-î dans la seconde, on aura
il est aisé de voir que les équations ('Y) se rapportent ainsi au Problème VIII. Soit donc
et Ton trouvera, en opérant exactement comme je l'ai fait ci-dessus, lorsque /? et q étaient égaux,
nyx= {n -+- i)/>^.„7x-î — p*g*'nyx-k-^' . .
Donc, si l'on suppose w = /w — i, on aura
(xa) m-iyx—^pÇ'm-iyx-i — - — p'^'.m-i7^-4H-...;
en rejetant les termes ,„jx-<» ^njx-s» ••• qui ne peuvent avoir lieu, d'après la supposition que le jeu ne finit pas avant le coup cr. Soit maintenant u^. la probabilité que le jeu finira précisément au coup x, il est visible que Ton aura
Uj; m ^yx 4- myx 5
or on a ^^ : ^, : : ;?'" : q""; donc de plus,
partant.
''^'^P[^-^^)m-iyx-v
Soit Zjc la probabilité que le jeu finira avant ou au coup x* on aura
A-a:=Wa:4.t=/>^I-h —jm-ljar;
en substituant donc, au lieu de m-^yx* cette valeur dans l'équation (o), on aura, après avoir intégré,
Pour déterminer la constante arbitraire C, j'observe que, tant que x est moindre que m, z^ égale o, et que x étant égal à m, Zj^ égale ;/"-+- y*"; donc.
Soit I — /^=s^; /^ exprimera conséquemment la probabilité que le jeu ne finira pas avant ou au coup a?, et l'on aura
mi m — 3) , tx — ntpqtx^i -— P^ Ç^ t^-k -^ • •
[mim — 3) . , n
