i H- qm-^-x ^ pq{p'n-\ +. qm

Or on a

-+- («A,„ - Pim-ypq) {p -h ^)'»-»-h . . . +/?"«+« -h 7'»+».

On a d'ailleurs

d'où, en comparant, on aura

A|in-+.t= A,n \fn—\Pq9 A/n-i-i =^ A/« Am—tPqf

Toutes ces équations ne peuvent commencer à exister à la fois; la première ne commence à avoir lieu que lorsque m = i; la seconde, lorsque 7/2 = 2; la troisième, lorsque 772 = 3; etc. De plus, comme elles supposent nécessairement connues les expressions de p-hq et (p-hqyf pour déterminer ensuite, à leur moyen, {p-^qY, (P'^çY* •••» il résulte que la loi représentée par ces équations commence à avoir lieu lorsque 7724-1 =3; ainsi, la première équation commence à

QFMvreê de L. — VUI. 34

exister lorsque m = 2; la seconde, lorsque m = 3; la troisième, lorsque /w = 4» etc.

Cela posé, en intégrant la première, on a

Or, posant m = 2, on a

donc C = o.

Ensuite, la seconde donne

or, posant m = 3, * A3 = o, parce que (p-hq) ne peut avoir d'exposant négatif dans la formule (t); donc C = o, et ainsi du reste. Donc

ainsi Ton aura

( 0 ) ^o: = nipqtx-'i -— — - p^q^ t^-k -H

Pour intégrer cette équation, je commence par observer qu'elle est

différentielle de Tordre — ou — ^^^y suivant que m est pair ou impair.

De plus, il est aisé de voir, à l'inspection des équations (4'')» qu'elle commence à exister lorsque x=^m. Ainsi, les constantes arbitraires qui viennent par l'intégration doivent être déterminées par les valeurs de tx^ lorsqu'on fait a: = o, 07 = 2, 07 = 4» •••» a? = m — 2 oua? = i, ;r = 3, a? = 5, . . ., o? = /w — 2, suivant que m est pair ou impair. Or, toutes ces valeurs sont égales à l'unité, puisqu'il est certain que le jeu ne peut finir avant m coups.

Présentement, si l'on suppose x' égal a - ou > suivant que m

est pair ou impair, on aura

mi m — 3 ) . , /^.= mpqtx..^ ^-— p-q^tx'-t-^

L'intégrale de cette équation dépend de la résolution de cette équa-

tion algébrique

si w est pair, ou de celle-ci

/ « =mpq/ « ^-^ -V'^V » -+-...,

si m est impair.

Or, si Ton fait cosç =7, on a» comme Ton sait.

Soit cos/7Z(p = G, et l'on aura - '

lorsque m est pair, ou

lorsque m est impair.

Les différentes valeurs de y dans cette équation sont les cosinus des différents arcs, qui, multipliés par m, ont leurs cosinus égaux à zéro ;

or les arcs qui ont leurs cosinus nuls sont -> — > — > • • -, tt exprimant

la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. Les différentes valeurs

de y sont, conséquemment, plus et moins les cosinus des arcs — »

37r Stt . ,, [m — 1)7: (m — 2)7: . , . , . .

— , — , ... jusqu a ^ ^ ou — inclusivement, suivant que

m est pair ou impair; les cosinus des arcs suivants étant les mêmes, à

la différence des signes près, celui de - étant nul; soient donc /, /«,

/j, ... ces différents cosinus, les valeurs de j seront donc ±/, ±:/|, .... Or il est aisé de voir que/= ky^pq^ partant, les différentes valeurs de /seront l\l^pq^ ^^\pq^ •••> ^'^ù l'on aura

A, Af , ... étant des constantes arbitraires qui se détermineront par la méthode de l'article IX.

Problème XVIII. — J'cd supposé y dans le Problème précédent , que les deux joueurs A e/ B avaient un égal nombre m d'écus; je suppose actuellement que le joueur A ait i écuSy et le joueur B, m écus; le reste subsistant, comme ci-dessus, on demande la probabilité que le jeu finira avant, ou au nombre x de coups.

Il est aisé de voir que Ton aura d'abord les équations (^') du Problème précédent. De plus, on aura les suivantes :

xyx^q-fiy'x-x-^P'tyx-xf tyx^ q ' \yx-i-^ p 'lyx-u

kV)

lOx ^ 7 • n—O'x-i -^ P ' in-lJKx- 1

Soient et Ton aura, en réunissant les équations (^') et ('l'^)»

Soit

( n^x — ^n • nAx-t + ^n • tiAx-k ~+" ^n • n}-x-% -i- . . . -h W,,

( -^ ^ff n-¥l^x-l~^ ^/i • /i-hl Ax-j -t- ^«'«-lAx-sH- • • • >

el l'on aura

Or on a

d'où l'on aura, en comparant avec l'équation (û"),

On doit observer que la première de ce3 équations coinnieiu-i' à exister lorsque /i = i ; la seconde et la troisième, lorsque n=: jt; la quatrième et la cinquième, lorsque n = 3; etc.

Cela posé, si l'on intègre la seconde, on aura

a^=(n-i)pq + Ci or, posant n = i,a„=o; donc C = o, partant

Si l'on intègre la quatrième, on aura

irsque n = -i, m\ a

donc G = o, partant,

Si Ton intègre la sixième équation, on aura

or on a

donc ^^3 = o, partant G = o, et ainsi du reste.

Enfin, on a w«=m„-i/?, donc Un=Ci/'; or, posant a = 1, i/„ = o; donc G = o et w„ = o ; donc

Si l'on fait w == i -f- m — 1 , on aura donc

l -^ rï73 ^ ^ .m-l7a:-.-- • ' •

Si donc on nomme Zg, la probabilité que  gagnera avant ou au coup X, on aura, par un procédé semblable à celui du Problème précédent,

Pareillement, si Ton nomme z^. la probabilité du joueur B pour

gagner avant, ou au coup x, on aura

Pour déterminer les constantes arbitraires qui entrent dans les exprèssions de s^. et ^j., j'observe qu'elles sont au nombre de si m-\-i

est pair, pu s'il est impair; or voici de quelle manière on

les aura.

Je suppose m et i impairs; l'équation (u) ne commencera visiblement à avoir lieu que lorsque x — i — m -h 2 égalera o, ce qui donne a: = 1-4- m — 2. L'équation (ir) ne commencera donc à exister que lorsque â? égalera i-f-m-t- 1; il faut, par conséquent, avoir toutes les valeurs de ;Sj, depuis s, jusqu'à 5|^.;„h.|, pour déterminer les constantes arbitraires de l'équation (u).

Si m et i sont des nombres pairs, l'équation (u) ne commencera à

avoir lieu que lorsque x—i—m-\- 2 égalera i ; ce qui donne ar=t-+-/w— i .

L'équation (ir) ne commence donc à avoir lieu que lorsque x égale

« + /n -h 2; il faut, par conséquent, avoir les valeurs de z^ depuis z^

jusqu'à 5,+,„^2.

Si,/n étant pair, i est impair, l'équation (u) ne commencera à avoir lieu que lorsque x — i— m-\-\ égalera r, ce qui donne a; = t-f- /n.

L'équation (i:) n'a donc lieu que lorsque x égale « -h /n-h 3; ainsi il

faut avoir les valeurs de 5^, depuis z^ jusqu'à 5/+,„,-3.

Enfin, si, m étant impair, i est pair, l'équation (u) ne commencera à avoir lieu que lorsque x — i —- m -^ i égalera o, ce qui donne a; = i-i-/w— 1. L'équation (u) ne commence donc à exister que lorsque x égale i-f-/n-i- 2. Il faut conséquemment avoir les valeurs de Zjc, depuis js, jusqu'à 2|-k«h-2-

Cela posé, le nombre de tous les cas possibles au coup m, multipliés chacun par leur probabilité particulière, sera

mim — i) . ,

Le nombre des cas qui font gagner A au coup m égale />^. Pour avoir le nombre des cas qui le font gagner précisément au coup m + 2, il est visible qu'il faut retrancher/?'" de la quantité précédente, et multiplier le reste par/?^ -h ^tpq -1- ^*, ce qui donne

Or, le nombre des cas qui le font gagner précisément au coup /wh-2 est visiblement mp^'^^q\ on a donc

Pour avoir le nombre des cas qui font gagner A au coup /n + 4> il faut retrancher de la quantité précédente (y), mp^^q^ multiplier le

reste par /?^-4- ipq -4- y', et l'on aura — -p^^^q^ pour le nombre

de ces cas; ainsi,

On trouvera, de même.

et ainsi de suite; la loi de ces valeurs de z^ a lieu jusqu'à ^mH-z-s; si Ton avait besoin de valeurs ultérieures de :;^, on les obtiendrait facilement par ce procédé.

Pour intégrer présentement l'équation (ir), il faut avoir les racines de l'équation

/ « ^{^m-i-i)pqf « -i f^^ P'q'f

si m-\-i est impair, ou

/ « — (/?? 4-1— 2)JD7/ « " — ...

si /n -h I est pair ; or on trouvera ces racines en considérant que l'on a

oi étant le sinus et u le cosinus de l'angle :;; or, posant

sin(/n 4- i)z 1=0,

on aura

Soit u = -^^.» et l'on aura

2\/pq

si m + I est impair, ou

si /w-hï est pair; les différentes valeurs de u sont les cosinus des angles z^ tels que sin(/w -h 1)5 égale o, co qui donne

TT 2 7r StT

m -H I in-^ i ni-\- i

Soient /, /«, 4, ... les cosinus de ces angles jusqu'à si m -h 1 est

pair, ou s'il est impair; les différentes valeurs de / seront

Al^pÇf 4^/^7f Ces valeurs une fois déterminées, il est aisé de

trouver celles de 5^ et 5^^-

Problème XIX. — Je suppose deux joueurs A ^/ B, as^ec un égal nombre 9n d'écus, jouant à celte condition, que celui qui perdra donnera un écu ^ t autre: que la probabilité de A pour gagner un coup soit p; que celle de B 501/ q; mais qu'il puisse arriver qu aucun d'eux ne gagne, et que la probabilité ]X}ur cela soit r. Cela posé, on demande la probabilité que le jeu finira aidant ou au nombre x de coups.

Soient ^y^ le nombre des cas suivant lesquels, au coup j\ le gain

OÊtuwreê de L, VIU. 25

1% HECHEllCIIES SUR L'INTEGRATION

(les deux joueurs est nul, multipliés par leurs probabilités; ^y^, ajx» aj^, ... le nombre des cas suivant lesquels le gain du joueur  est i, 2,

'^, ... au coup £r, multipliés par leur probabilité, et que «j^, ^^^ ^xy ••• expriment les mêmes choses pour le joueur B. Cela posé, on formera les équations suivantes :

O'x-^^ 'm/x-i -^ q-xS'x-x-^P'^yx-u

%yx— /-.îjx-i -i- 7-37x-i -^P'xyx-u

Or on a

nyx— r.nJ'x-X -^ 7-/i-HlJx-l -l-/^.«-l7x-l,

\ /n-lj'x^= ^•m—\yx-\~^P*m-\yx-\

la première équation deviendra donc

^x— '••o/x-i-H a^.jVa-i ; et, si on la combine avec la seconde, on aura

Soit maintenant donc

P*n-\yn-\ --=-- an^lP'n-\yx-t ^- *«/i-l /^.n-ij'x-ï -H ... H- /?«n-|

Substituant au lieu de /^-^-ijar-M/'-w-i/^-a» ••• leurs valeurs que donne l'équation (— )• on aura

d*où, en comparant, on aura

La première de ces équations commence à exister lorsque n égale 2 ; la seconde, lorsque n égale i; la troisième, lorsque n ép[ale 2; etc. On aura donc, en intégrant et ajoutant les constantes convenables,

a„=r{n-hi)y

bn — qy

Cette dernière équation étant vraie, lorsque n égale r, il suit que la cinquième équation commence à exister lorsque n égale 2; ce qui donne

, in -h i) nin — i) I « 2 • o

Donc

équation qui commence k exister lorsque /i égale 1, parce que V>, égale o. Donc, la sixième équation commence à exister lorsque n égale 3, et Ton aura

«/ X/ N/ N • ,(/* H- 0 ('* — ■ '0 il

Or, posant n = 2, on a

»a, = 'flj, — *at r H- pJ^b^ = o,

donc C = o, et ainsi de suite; enfin, «,»= o. On aura donc, en faisant 71 = m — I et rejetant les termes myx-\^ mJj?-2» • • •

r^ — Pqrn\ m-\yx-x

[^m(m — i)(m — 2)(/w — 3) ^m(m — 2)(/n — 3) . ^m(m — 3)"1 '•' TïïXr^ -^^'•* TT ^-P'^* -ITÏ- J --^

Si Ton suppose r = o, on aura

m-l7*= ^PÇm-iyx-^2 -— />'7'.w-i/a:-»-4-- • •>

la même équation que j'ai trouvée ci-déssus pour ce cas.

Si Ton nomme 2^ la probabilité de  pour gagner avant ou au coup or, on aura *

C étant une constante arbitraire.

Pareillement, si l'on nomme z^ la probabilité de B pour gagner avant ou au coup X, on aura

^x= mrz^^i — r« '^ ^ -jd^/w z^^t-^, . . H- C.

Pour intégrer ces équations, il faut avoir les racines de Téquation

f^ — mrf^-'^— r'^^— — iE?^m /'«-« 4- . . . ;

or voici comme on peut les déterminer.

On a vu précédemment comment on pouvait avoir les racines de

l'équation

Soit y = f—r, et l'on aura

-pqrm{m-i)\/'^

équation qui est la même que l'équation (A); les différentes valeurs de / sont par conséquent égales J) celles de y, augmentées de la quantité r; présentement l'intégration de l'équation différentielle en z, n'a rien d'embarrassant.