INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES PLANÈTES QUI EN DÉPENDENT
Mémoires de l'j4cademie rojale des Sciences de Paris {Savants étrangers)^
année 1773, t. VII, 1776.
Avant que d'entrer en matière, je crois devoir rappeler ici les équations générales du mouvement d'un corps de figure quelconque, et animé par des forces quelconques; parce qu'elles servent de base, non seulement aux recherches suivantes, mais à d'autres encore que je me propose de publier dans la suite sur différents objets de l'Astronomie physique. M. d'Alembert a donné, le premier, la solution générale de ce problème, la méthode la plus directe pour y parvenir, et tout à la fois l'application la plus utile et la plus heureuse que l'on en puisse faire, dans son excellent Traité Sur ii précession des équinoxes. Ouvrage original, qui brille partout du génie de l'invention, et que l'on peut regarder comme renfermant le germe de tout ce qu'on a fait depuis dans la Mécanique des corps solides. Cet illustre géomètre a encore
(*) Ce Mémoire a été réuni, dans le tome VU des Me'moires de VAccuUmie (Savants étrangers), année 1778, au Mémoire précédent, et les numéros des Articles se suivent* Dans cette édition, les deux Mémoires ont été séparés, mais on a maintenu la suite des numéros des Articles. {Note de l'Éditeur,)
OEuwres de L. VUI. 26
SUR LE PRIiNCIPE
généralisé ses recherches dans plusieurs savants Mémoires, qu'il a insérés dans le Recueil de l'Académie et dans ses Opuscules. J'aurais pu renvoyer à ces Ouvrages pour la démonstration des équations du prohleme, mais, comme celles auxquelles je parviens ont une forme un peu différente des siennes, et qu'elles m'ont paru d'ailleurs commodes pour les appliquer à l'Astronomie, je vais exposer en peu de mots le procédé qui m'y a conduit.
XXXVIK
Du mouvement d'un corps de figure quelconque et anime
par des forces quelconques.
Par un point quelconque «du corps M {fig* i), je mené trois droites /A, iB, iC perpendiculaires entre elles, et une droite iH qui traverse ce corps, et que je prendrai pour axe; soit iH = i, et que la projection de iH sur le plan A«B soit iY; je nomme e l'angle AiF, et 0
Tangle HtF. Je suppose que, durant le mouvement du point i, les droites lA, iB et «C restent toujours parallèles à elles-mêmes; j'imagine de plus une droite iV = iH = i, laquelle soit fixe dans le corps et perpendiculaire à iH; par le point f, je mène dans le plan HiF la perpen-
diculaire îK à iH; soit gt l'angle V/K; je suppose enfin un point S fixe ou considéré comme fixe dans Tespace, et je fais passer par ce poinl un plan bSa parallèle au plan B{A;.lcs droites Sa et Sb étant supposées parallèles aux droites îA et iB; je mène ensuite la droite tS, dont SG est la projection sur le plan bSa, et je fais SG == r, tangGSi = 5, ctrangleGST = 9.
Cela posé, la position du corps M dans l'espace dépend : i'' de la position du point i; 2? de la position de Taxe îE; 3^ de la position du corps par rapport à cet axe. Or, la position du point e est déterminée par les valeurs des quantités r, ^ et 9; la position de l'axe iH est déterminée par les valeurs des angles e et 0; enfin, la position du corps par rapport à l'axe iH est déterminée par la valeur de l'angle gt; il faut donc trouver les équations qui déterminent ces quantités pour un instant donné quelconque.
Pour cela, je décompose les forces dont le corps est animé, chacune en trois autres parallèles aux axes lA, i B et iC.
Soient
'^ la somme des forces parallèles à iC;
'}Y et vpX la somme de leurs moments, par rapport aux axes iA et iB ;
'}'la somme des forces parallèles ii iB;
'}T et ^'X' la somme de leurs moments, par rapport aux axes iA
etiC; Y la somme des forces parallèles k iA; '}'Z' et ^"^Y" la somme de leurs moments, par rapport aux axes iB
et iC.
Cela posé, du point i sur le plan bSa, j'abaisse la perpendiculaire «G, et du point G sur Sa, la perpendiculaire GT; soient Gi=z, GT= v etST=:j?. J'imagine ensuite une molécule quelconque du corps M, <]ue je nomme dM^ et de laquelle, si l'on mène sur le plan AiB les coordonnées parallèles aux trois axes /A, in et i(], ces coordonnées soient exprimées par x\ y et z\ en fixant leur origine au poinl /; ta quantité de mouvement de cette molécule dans le sens iA sera
lOk SUR LE PRINCIPE
"^ dt ^ ^'' ^^"^ '^ ^^^^ '®* ®''^ ^^'^^ "^ fl^/ ^ ^' ^'^^ dans le sens iC, <*lle sera " . " rf>T; dans Tinstant suivant ces quantités de mouvement deviennent
do: -+- dv'-h d^Jf -h rf*.r' __ dt ^'
r/y 4- dY'-\- d^y 4- rf*/ ^^
^5 4- dz' -^ d^z -h d^z' ,,,
rf^ ''**'
en supposant ^/ constant; les quantités de mouvement perdues sont donc
di ^'' "^ ^r ^^> 5r-^-
Or les forces nécessaires pour produire celte perte sont égales à ces (|uantités de mouvement divisées par dt; et leur somme, devant faire équilibre aux forces '|, ^ et vp", la somme des moments de toutes ces forces, par rapport à chacun des trois axes iC, iB et i A, doit être nulle, comme on le démontre en Mécanique; de là, je tire les équations suivantes :
o=-^\-'V7J+jdMl^z'-'' ^^^ ' -/ ^, j,
IV ^nin r^àf/ / ^^-^-t-^^' ,d*z-{-d*z'\
le signe d'intégration se rapportant à la molécule ^M et à toutes les quantités qui varient avec elle.
De plus, la somme de toutes ces forces doit être nulle, suivant les
directions de chacun de ces trois axes, puisque le corps est supposé
libre; de là, on aura
rd^z'-{-d^z
^^~J dt^ "^^ = ^'
Au moyen de ces six équations, on peut déterminer le mouvement (lu corps pour un instant quelconque.
Le point i étant arbitraire» on peut simplifier les équations précédentes en prenant pour ce point le centre d*inertie du corps; car on a, par la propriété de ce centre,
partant,
jdM-^=M^, Jcm-^=M^, JrfM^=M^,
c^t ainsi de suite; les équations précédentes deviendront conséqueniment
o:.4,Y-fZ'+/rfM(.'^-v'^).
.y Mf(Lr o
dt*
Ces trois dernières équations peuvent se changer on d'autres plus commodes pour les usages astronomiques; car on a, par l'ar-
206 SUK LE PRINCIPE
ticle XXXVII,
d'où il est facile de conclure
cPœzzz r/*r COS9 — a drd<f sin^ — re/'qjsinç — ré/ç'cos^, cPy = ûP/sin9 4- 2 e/re/9COS9+ re/*(pjcos9 — rc^ç^sinç, ^* 3 =: r d^s -{- 2 ds dr -h s €l* r.
Or, si Ton suppose que la droite Sa soit infiniment près de SG, alors •j/" sera la force suivant SG et tendant de S vers G; v}/' sera la force perpendiculaire à SG, et dirigée dans le sens aG6, que je suppose être celui du mouvement de la planète; de plus, cosç = i et sinç = o, d'où Ton aura
d}x-=zd'^r — rd(^^j d^y =z r d^ (^ -\- 2 dr d(p ;
partant,
d^r r ^9' ^' rd*c^ 2drdr^ ^'
^ "" "5^ "" M "~ ^ IF' ~^ ~cû} M "■ ^'
Si Ton multiplie cette dernière équation par r, et que, ensuite, on Tintègre, on aura
do 1 /^ r^'rdt\
La première équation donnera
^^' dt* r*\^^J M ) M-°'
et, puisque l'on a
d^z — rd''S-\-2dsdr-^sd'^r^rd^s-\-2dsdr-\- -i--h^^C-+- / ^ f. j 1 ûf£',
on aura
Au moyen des équations (i), (2) et (3) on peut déterminer le mou-
vement du centre d'inertie du corps M, et Ton peut prendre pour ligne fixe d'où Ton commence à compter l'angle ç toute droite fixe, telle que Sa, faisant un angle quelconque avec le rayon vecteur; il faut seulement observer que ^" exprime la force qui agit dans le sens SG, et de S vers G; ^' exprime la force perpendiculaire à SG, et dirigée dans le même sens que le mouvement du corps, et que ^ représente la force perpendiculaire au plan bSa.
On peut simplifier, d'une manière analogue, les équations qui servent à déterminer le mouvement de rotation du corps autour du centre d'inertie. Pour cela, soienty la distance de la molécule ^M au plan HiF, a/' la distance de la projection sur le plan Hi F à la droite iC, et z'' la distance de cette molécule au plan AiB; on aura
j' = j?^sine H-/'cos£, x^^zûc'cose — /''sine.
Nommons ensuite y" la distance de la molécule ^M au plan Hi F, x" la distance de la projection sur ce plan à la droite iK, et s'" la distance de cette projection à Faxe iH; on aura
z" ^ix^slnO -\- s" ces 9, x' = x" cos 9 — z" sin 9.
Nommons enfin y^ la distance de la molécule dM au plan HiV, .r*"" la distance de la projection sur ce plan à la droite i V, et z^^ la distance de cette projection à la droite iH; cela posé, on aura
x'^zx'^
j^^" z=z y^ cosuj H- 5*^ sincT, z" = z^^ cosfST — y^ sinw.
De là, je conclus
