j?*^cos€ cosO 4- j'^(sinGj sind cose — sine cosgt
— 5'^(sinô cos£ coscT h- sine sine?),
y = a'^cosô sin£ 4- j'^(sinïïy sin(^ sine -h cosw cose
5'^(sînnj cos£ — coscj sind sine),
z' =:a?'^sin9 4-5'^cos9cosw — y^siniïicosô.
Les valeurs de a^^, y et z^^ restent constantes pour la même molécule dM; ainsi, en différentiant pour avoir les valeurs de d^x\ d^y' et d^z\ il ne faut faire varier que les quantités G, e et tsr; d*où il sera facile de conclure les valeurs de
mais la considération suivante simplifie considérablement le calcul.
On sait que dans tout corps il existe trois axes perpendiculaires entre eux, et par rapport auxquels on a
Ces axes ont été nommés les trois cuves principaux de rotation, parce qu'ils ont cette propriété, que si le corps a un mouvement de rotation autour de Tun d'eux, ce mouvement sera invariable, abstraction faite de toutes forces étrangères. Je suppose donc que iH, i V et une droite menée par le centre /d'inertie, et perpendiculaire au plan HiV, soient ces trois axes; soit de plus f x^'dM. = Ma', M étant la ma3se enlièro du corps,
J'y"' dis = Mb*
et
J'z"'dSl—.Mc\
DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. i09
Cela posé, on aura
0=(4,Y-<j;'Z')rf/»
j -h Ma'[sinO</*(cosdsin£) — cosôsinec^ sinô]
M6'[(sindsiniijsin£ h- coswcos6)û?*(sîniijcos0)
— sinGJCOS0â^(sinisTsindsine -i- cosbjcosé)]
Mc'[cosGFCOs9c/*(sin6rco8£ — cosrosinôsine)
— (sinQTCOS£ — cosBTSÎn9sine)rf'(coscjcos0)],
Ma*[sinde/*(cosecos0) — cosecosôrf'sinô)]
M 6*[(sinisj sind cose — sine cose) cf*(sinfir cosd)
— sinGJCOs6€/*(siniiJsindcose — sinecos©)]
Mc'[(cosBysin0cos£ -h sins sinBj)^(coscTCOSÔ)
— cosTiTCOs9€/'(cosiiTsindcos£ -+- sifif sinci)],
Ma'[cos(9siu£e/'(cos£COSÔ) — cosi cosôrf*(cos0sin€)]
M6*[(sinGJsindsin€ + cosecos£)t/'(sinisjsindcos£ — sine coso)
— (sinGJsindcos£ — sin£COSG7)^(sinisTsin0sin£ h- cosci cose)]
Me' [(sinô cos£ coscj -h sinfi sinro) ^/'(siniiT cos£ — cosci sind sin£)
— (sinTîrcose — cos!ïJsindsin£)£^(sindcosecosii} -f- sinssincr)].
On peut considérer, dans ces équations, le centre d'inertie comme immobile, en sorte que, en évaluant les moments des forces ^, ^' et Y* ^" P^ut retrancher de la force dont chaque particule est animée celle qui lui est commune avec le centre d'inertie, parce que les moments de cette dernière force sont évidemment nuls. *
On peut encore, dans les équations précédentes, supposer après les différentiations sine égal à o et cose égal à i , ce qui les simplifie; mais alors il faut observer que les forces Y ^^ ^' doivent être parallèles, la première, k la ligne iF, et la seconde, k la perpendiculaire menée sur cette ligne dans le plan AiB, et dirigée de F vers B; le mouvement de
QKuvrts de L, — VIII. 27
SIO
rotalion du corps élaiil supposé avoir lieu dans le sens ÂCB. On aura ainsi, en exécutant les dilFérentiations indiquées dans les équations ( L ),
( [yi 4- c' b^ — C* \
h ^*esiu5cos6' i —- h- ■— cosacj )
h^ — c* b^ — c' — i fhdxs si II 9 cos^- — z~ sln2iij -h de^ ces 6» r— sin2ny
b'~ c' d^ 0 sin 0 r— si II '2 cj — 2 dxs dO
Siny ( 5 1 r— C0S2liT I
dO^cosO sm2BJ 4- 2a*cycosO r— >
2rt- 2a^
^11^' dl^
d't Q,i^sO- ~ sin2cj — 2 dzdxsuosOi 5 t— cos2«y |
\ 2rt* 2a' /
ûfÊ*sin9cos
-d^oi^
bi ^ c-i b^ — c-
b^ — c* cos2Gy ) — 2dmdO :— sin2TîT,
dt
^î 4 c* Ifi c'
2dîd9^\n0c,O'^0{ i — — r 1 i— cosacj
2 de r/cT ces' 9 -—it,\n2fss -hd*0 cos Ô =— sin 2 isr
2 dwdO cos SI — -
Ij^ i cr- b^ — c'
-T— oos2cy ) a- /
-sin(? ;:- sin2CT + 2^'cjsin0 — t-*
Dans rapplication des équations précédentes à TAstronomie physique, elles deviennent fort simples; car, les corps célestes étant à très peu près sphériques, on peut négliger les quantités proportionnelles au carré de l'excentricité de ces corps; or, les termes (^Y — 4''Z')' (^X — 'l'^Z") et ('^'X'— ^"Y'O sont toujours de l'ordre do ces excentricités. D'ailleurs, l'état d'équilibre de toutes les parties d'une planète exige que le mouvement de rotation se fasse au moins a très peu près autour d'un de ses axes principaux, abstraction faite de l'action de toute force étrangère; car, sans cela, la planète changeant à chaque instant d'axe et de vitesse de rotation, changerait continuellement de figure; £^£ et rfO seraient donc nuls à 1res peu près si les quantités (^Y — ^'Z'), ('\f\ — 'y^") et (^/'X'— 'f'Y'O s'évanouissaient; partant, ils sont du même ordre que ces quantités; ainsi Ton peut négliger leurs carrés, leurs produits deux a deux, et les termes qui, multipliés par ^^e ou ^d, le seraient encore par (a^ — é*) ou (a^ — c^) ou (b^ — c^).
Soit donc
Un aura donc
0 = liât- — de dS -h d{clm cosO), o — R'dt^—d*e — rferfbcosO, o=rRV^«— ^£ -hd(dujsïn9).
Ces équations sont sous une forme aussi simple que l'on puisse désirer, et, en les joignant k celles-ci,
ii}s 2dsdr dt" ^ dt'
O — -rrr H TT. 1 r i Vi -r- ff Tî — t -1 ;-:; y
qui regardent le mouvement du centre d'inertie, on aura toutes les équations nécessaires pour déterminer les altérations du mouvement des corps célestes, troublés par Faction des forces étrangères. II y a cependant des recherches fort délicates, qui demandent beaucoup de précision, et dans lesquelles il est nécessaire d'avoir égard même aux quantités proportionnelles au carré de l'excentricité de ces corps. Telle est, par exemple, la recherche des inégalités séculaires du mouvement de rotation des planètes (voir dans le Volume de l'Académie, pour l'année 1773, un Mémoire sur cet objet). Dans ce cas, il faut faire usage des équations (L') de l'article précédent.
Escamen du principe de la gravitation universelle.
Il n'exisle point en Physique de vérité plus incontestable, et mieux démontrée par l'accord de l'observation et du calcul que celle-ci : Tous les corps célestes gravitent les uns sur les autres. Newton, auteur de cette découverte la plus importante que l'on ait jamais faite dans la Philosophie naturelle, trouva que les mouvements observés des Planètes no peuvent subsister sans une tendance vers le Soleil, proportionnelle si leur masse, et réciproque au carré de leur distance à cet astre. Les mouvements des satellites lui donnèrent le même résultat par rapport à leur planète principale. Il ne balança plus dès lors à généraliser cette idée, et il supposa que toutes les parties de la matière s'attirent en proportion de leur masse, et en raison réciproque du carré de leurs distances. On sait avec quel succès ce grand géomètre et ceux qui l'ont suivi ont expliqué parce moyen les phénomènes célestes; ainsi, sans entrer dans aucun détail à cet égard, je me bornerai à faire quelques ^réflexions sur le principe même de la pesanteur universelle.
En l'appliquant au mouvement des corps célestes, Newton est parti Ae ces quatre suppositions, adoptées généralement par les géomètres :
1^ L'attraction est en raison directe de la masse et réciproquement comme le carré de la distance.
2^ La force attractive d'un corps est le résultat de rattraction de chacune des parties qui le composent.
3^ Celte force se propage dans un instant, du corps attirant h celui qu'il attire.
4^ Elle agit de la même manière sur les corps en repos et en mou^ vement.
Je vais examiner ces quatre suppositions et voir jusqu'à quel point elles sont conformes à ce que Ton observe.
De ce que les aires décrites par les rayons vecteurs des planètes sont proportionnelles au temps, il faut que ces corps tendent vers le Soleil ; l*ellipticité de leurs mouvements démontre que cette tendance pour chacun d'eux est réciproque au carré de leur distance à cet astre, et le rapport du cube des grands axes de leurs orbites au carré des temps de leurs révolutions prouve invinciblement que la force attractive du Soleil ne varie d'une planète à l'autre, qu'à raison des distances. En vertti.de la première de ces lois, tout corps pèse sur le Soleil; par la seconde» un corps placé successivement à différentes distances de cet astre pèse sur lui en raison inverse du carré de ses différentes distances; et par la troisième, les poids de plusieurs corps placés à des distances quelconques du Soleil sont en raison de leurs masses, divisées par le carré de leurs distances, en sorte que, à distances égales, ils sont proportionnels aux masses. La même chose s'observe sur la Terre; car les expériences ont fait voir que, dans le vide, tous les corps se précipitent vers son centre, avec une égale vitesse, et que si deux corps homogènes ou hétérogènes sont égaux en masse, c'està-dire s\t venant à se rencontrer avec des vitesses égales et directement contraires, ils se font équilibre, leurs poids sont égaux.
Présentement, on doit regarder comme une loi de la nature, démontrée par toutes les observations, que l'action est toujours égale à la réaction, et qu'ainsi le centre de gravité des deux corps qui agissent
Tun sur l^autrc ne change point en vertu de cette action mutuelle; il suit de là que le Soleil pèse sur chaque planète ; et comme leur gravité sur cet astre est en raison de leur masse divisée par le carré de leur distance, leur action sur lui est dans le même rapport.
Cette pesanteur réciproque du Soleil et des planètes a également lieu entre le Soleil, les planètes et leurs satellites; et les inégalités si multipliées du mouvement do la Lune s*en déduisent avec une telle précision, qu'il n'est plus permis de la révoquer en doute. Plusieurs philosophes ont cru cependant que la loi de la pesanteur réciproque au carré de la distance pourrait n'être pas vraie à de petites distances; mais il me semble que leur assertion est destituée de fondement; car cette même loi, qni a lieu pour les grandes distances des planètes au Soleil, est encore vraie à la distance de la Lune, et même k celle du rayon de la Terre, puisqu'il est prouvé que la pesanteur d'un corps à la surface de la Terre, est a sa pesanteur à la distance de la Lune, comme le carré de cette distance est à celui du rayon de la Terre. Il nous est impossible de prononcer avec la même certitude, sur de plus petites distances, mais l'analogie porte à croire que cette loi doit toujours avoir lieu; d'ailleurs sa simplicité doit la faire préférer à toute autre, jusqu'à ce que les observations nous aient forcé de l'abandonner.
On a souvent demandé pourquoi la pesanteur diminue en raison du carré de la distance. La cause de cette force étant inconnue» il est impossible d'en donner la raison physique; mais, s'il était permis de se livrer à la Métaphysique dans une matière qu'il n'est pas possible de soumettre à l'expérience, ne serait-il pas naturel de penser que les lois de la nature sont telles que le système de l'univers serait toujours semblable à lui-même, en supposant que toutes ses dimensions viennent à augmenter ou à décroître proportionnellement? Sans chercher ici à appuyer ce principe par des raisons que les métaphysiciens imagineront aisément, mais auxquelles les géomètres se rendraient difficilement, je me contenterai d'observer que toutes les lois connues du . mouvement de la matière y sont très conformes.
Maintenant, je suppose que les distances respectives du Soleil, de la Lune et de ta Terre, leurs vitesses et leurs diamètres décroissent proportionnellement ; il est visible que la courbe décrite par la Lune ne peut rester semblable à elle-même, à moins que la force qui l'agite ne décroisse dans la même proportion. Soient doncT la masse de la Terre, A, la distance de la Lune, et que toutes les dimensions de l'univers dé-
croissent dans le rapport de i à — ; -^ exprimera la masse de la Terre dans cette supposition, et — la distance de la Lune. Soit de plus — r-. l'action actuelle de la Terre sur la Lune; ^Tx exprimera sa nou-
'velle action; mais la similitude des courbes exige que l'on ait
partant, on aura
Soit f (A) = A*.*(p(A); donc on aura
Cette équation devant avoir lieu quelle que soit m, il faut que *9(A) soit égal à une constante A; donc ç(A) = AA^; c'est-à-dire que la pesanteur diminue en raison du carré de la distance. Je passe maintenant à Texamen de la seconde supposition.
Quelques illustres géomètres, M. Daniel Bernoulli, entre autres ([Pièce sur ley/oiT et le reflux de la mer)^ convaincus d'ailleurs de la pesanteur réciproque de tous les corps célestes, ont regardé seulement comme une opinion probable, que cette pesanteur soit le résultat de l'attraction de chacune de leurs parties ; nous observons à la vérité sur
la Terre que les propriétés attractives des corps sont communes à leurs plus petites molécules; une forte analogie porte donc à croire que la pesanteur résulte pareillement de l'attraction de toutes les parties de la Terre; mais le plus sûr moyen de vérifier cette hypothèse, est de la soumettre à l'analyse, et de comparer ensuite les résultats du calcul aux phénomènes. Les principaux qui en dépendent sont la figure des astres, le flux et le reflux de la mer, la précession des équinoxes et la nutation de Taxe de la Terre. Un exposé très succinct des recherches que l'on a faites sur ces différents objets va montrer jusqu'à quel point elle est fondée.
Si la pesanteur était dirigée vers un centre unique, en nommant r
le petit axe de Jupiter, la différence de ses axes serait-» — »r; suivant les observations les plus exactes, elle est environ -^r; mais, dans l'hypothèse de la gravitation réciproque de toutes les parties de la matière, et en supposant que Jupiter ait été primitivement fluide, cette
différence doit être entre les deux limites — k^^^ "ô — 3^? c^ V^^ ^*^^'
corde fort bien avec l'observation. Ainsi, la figure de Jupiter donne un résultat très satisfaisant pour l'hypothèse que nous discutons ici ; il n'en est pas de même de la figure de la Terre.
Suivant Newton et les géomètres qui ont adopté sa théorie, la Terre est un sphéroïde elliptique, sur lequel l'accroissement de la pesanteur et des degrés de l'équateur aux pôles est en raison du carré du sinus de la latitude : le rapport du petit au grand axe de ce sphéroïde supposé homogène, et celui des pesanteurs d'un même corps placé successivement à l'équateur et aux pôles, est égal à ^; mais, si la Terre est
composée de couches inégalement denses, alors autant le rapport des axes surpasse cette fraction, autant celui des pesanteurs est moindre, et réciproquement.
En comparant ensemble les mesures des différents degrés, il parait* impossible de les plier à une même figure elliptique ; il est également impossible d'y assujettir les longueurs observées du pendule qui bat
les secondes; et il l'est encore plus de concilier les figures conclues par les mesures des degrés et par celles des longueurs du pendule.
On ne doit point, malgré cela, exclure Thypothëse de la gravitation réciproque de toutes les parties de la matière; il est bien plus naturel de rejeter sur les données dont les géomètres font usage le peu d'accord de leurs calculs avec l'observation. Ils supposent en effet la Terre formée d'une infinité de couches d'une densité quelconque, et disposées régulièrement autour de son centre d'inertie; or on voit combien cette hypothèse est précaire et peu conforme à ce que nous apercevons à la surface du globe, puisque les mers dont il est couvert en grande partie sont d'une densité moindre que la Terre. Ils font d'ailleurs abstraction de l'action des montagnes, de l'élévation des continents audessus du niveau de la mer, etc., toutes choses auxquelles il paraît nécessaire d'avoir égard lorsqu'il est question de déterminer une aussi petite quantité que la différence des axes de la Terre. La réunion de ces différentes causes peut altérer sensiblement, non seulement la figure de la Terre, mais encore le résultat des observations; et, si l'on considère les erreurs inévitables qu'elles comportent, on pourra conclure que la figure déterminée par ces observations diffère peut-être autant de la véritable que celle trouvée par la théorie.
La remarque suivante peut servir encore à justifier le principe delà pesanteur universelle, au moins jusqu'à ce que l'analyse nous ait entièrement éclairés sur cet objet. La plupart des géomètres ont supposé dans leurs calculs une figure elliptique à la Terre; ils ont fait voir, à la vérité, la possibilité d'une telle figure; mais, pour être en droit de rejeter la loi de l'attraction, il faudrait, ou démontrer que cette figure est unique, ou épuiser successivement toutes les figures que peut donner la théorie, et prouver qu'aucune d'elles ne peut satisfaire à l'observation. Or, c'est ce qui n'a point été fait encore. M. d'Alembert, à qui nous devons cette remarque intéressante, a fait voir, à la vérité, dans le Tome V de ses Opuscules^ que si la Terre est homogène, et un solide de révolution, elle doit être nécessairement elliptique. Il a de plus donné, dans la seconde Partie de ses recherches sur le système du-
ORuvret de L, — VIII. a8
monde, une très belle méthode pour déterminer la figure de la Terre, quelles que soient les différentes densités de ses couches, dans des suppositions beaucoup plus générales que celle d'une figure elliptique; mais, ni cet illustre géomètre, ni personne, que je sache, n'a déterminé celle de toutes ces figures qui s'accorde le mieux avec les observations. Le point oii la théorie parait s'en éloigner le plus, est l'aplatissement de la Terre, conclu par la mesure des degrés, et par celle des longueurs du pendule qui bat les secondes. Il est en effet remarquable que ces longueurs semblent donner un aplatissement moindre
que -7-> tandis que la mesure des degrés le donne plus grand. Si donc
on pouvait trouver pour la Terre une figure qui conciliât ces deux choses, et qui de plus satisfit à peu près à la mesure des degrés au Nord, en France et à l'équateur, on ne devrait point balancer à l'admettre.
Il ne parait pas que la figure de la Terre influe sensiblement sur le mouvement de la Lune ; la différence des axes de la Terre est trop petite par rapport à la distance de cet astre pour que son effet puisse être aperçu; mais l'aplatissement de Jupiter étant beaucoup plus grand que celui de la Terre, si les mouvements de ses satellites et les inégalités qu'ils éprouvent en vertu de leur gravitation les uns sur les autres et sur le Soleil étaient assez bien connus, on pourrait en conclure l'effet de la figure de Jupiter, et juger s'il est conforme à la théorie; mais les observations ne sont pas encore assez précises et assez multipliées pour établir rien de certain sur cette matière. Pour ce qui regarde le flux et le reflux de la mer, on sent aisément que ce phénomène ne peut rien nous apprendre de bien précis sur la nature de la pesanteur, à cause de l'impossibilité de le soumettre à une analyse rigoureuse, et de la multitude des circonstances étrangères qui doivent troubler les résultats du calcul.
On voit par Texamen des phénomènes précédents, l'incertitude qu'ils laissent encore sur le principe de la gravitation réciproque de toutes les parties de la matière; mais il en est un qui me parait ne devoir
laisser aucun doute sur la vérité de ce principe, c'est celui de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe de la Terre; cal* il résulte des savantes recherches de M. d'Alembert sur cet objet, que ce phénomène est uniquement dû à la pesanteur de toutes les parties de la Terre sur le Soleil et la Lune, en supposant que chaque particule de la Terre gravite sur chacun de ces astres en raison réciproque du carré de sa distance; or )e centre de gravité de deux corps restant immobile en vertu de leur action mutuelle, la Lune pèse à son tour sur chaque partie de la Terre, et c'est du résultat de toutes ces tendances partielles, que se forme la force centrale qui la retient dans son orbite; il suit de là que la force attractive de la Terre, et généralement des corps célestes, appartient à chacune de leurs parties, et par conséquent que non seulement ces grands corps, mais les plus petites molécules de la matière s'attirent en raison de leur masse, et réciproquement comme le carré de leur distance; cette attraction générale a paru se manifester dans l'expérience délicate de M. Bouguer sur l'action de la montagne de Chimhoraço; mais c'est k l'illustre géomètre, qui, le premier a résolu, par une analyse aussi savante que rigoureuse, le problème de la précession des équinoxes, que nous devons une preuve incontestable de l'existence de cette gravitation réciproque de toutes les parties de la matière : voyons présentement si cette force se propage dans un instant du corps attirant à celui qu'il attire.
Il n'est pas vraisemblable que la vertu attractive ou, plus généralement, qu'aucune des forces qui s' eyiCTcent ad distans, se communique dans un instant d'un corps à l'autre, car tout ce qui se transmet à travers l'espace nous paraît devoir répondre successivement à ses différents points ; mais l'ignorance où nous sommes sur la nature des forces et la manière dont elles dans nos jugements, jus< J'observerai cependant q
une communication instantanée, on ne devrait pas se presser de conclure qu'elle a véritablement lieu dans la nature, car il y a infiniment loin d'une durée de propagation insensible à une durée absolument nulle. Or il peut arriver que cette durée ne soit qu'insensible, parce que les expériences sont faites sur des corps placés à de trop petites distances, ou pour d'autres raisons quelconques. Il eût été, par exemple, impossible de connaître la vitesse de la lumière par des expériences faites sur la Terre ; mais, en prenant pour terme de comparaison les distances des planètes au Soleil, cotte vitesse devient sensible, et c'est de cette manière qu'on est parvenu à la déterminer. Quoiqu'on puisse se servir des mêmes distances pour mesurer la durée de la propagation de la pesanteur, cette force pourrait cependant employer plusieurs minutes et mémo quelques heures à se communiquer du Soleil à la Terre, sans qu'il fût possible d'observer cette durée. Imaginons en effet deux masses, dont l'une, infiniment moindre que l'autre, se meuve autour d'elle, la plus grande étant supposée en repos; il est visible que, dans les premiers moments, la plus petite masse ira en ligne droite jusqu'à ce que la force attractive de l'autre masse ait commencé à l'atteindre ; mais à ce moment son mouvement sera le même que si la force attractive se propageait dans un instant. Ceci aurait encore lieu si le système de ces deux corps était emporté d'un mouvement commun et uniforme dans l'espace. Or, les planètes et leurs satellites étant à peu près dans le cas de l'hypothèse précédente, on voit que la gravitation pourrait employer un temps beaucoup plus considérable que la lumière à se propager du Soleil à la Terre, sans qu'il puisse être observé. M. Daniel BernouUi parait soupçonner cette propagation successive dans son excellente pièce suvLeJluxet le reflux de la mer . Suivant cet illustre géomètre, l'action de la Lune peut employer un ou deux jours à parvenir à la Terre. Une propagation aussi lente n'est pas vraisemblable : elle produirait des inégalités sensibles dans le mouvement de la Lune, et parait d'ailleurs contraire à l'activité avec laquelle la pesanteur s'exerce sur les corps, comme on va le voir dans les articles suivants.
Il nous re3te enfin à discuter si la pesanteur agit de la même manière sur les corps en repos et en mouvement; il est visible qu'un corps en repos, étant abandonné à la pesanteur, éprouvera toute son action» et tombera suivant la verticale sur la surface de la Terre; mais, s'il se meut déjà vers la Terre dans la direction de cette verticale, il est naturel de penser que la vitesse doit le soustraire en partie à Teifort de la pesanteur. Ce sentiment, très vraisemblable en lui-même, serait incontestable si la cause de cette force venait de Timpulsion d'un fluide quelconque; mais, comme elle est entièrement inconnue, je vais soumettre à Tanalyse les mouvements des corps célestes d'après la supposition de la gravitation agissant différemment sur les corps suivant leurs différents mouvements; je comparerai ensuite le calcul à Tobservation, car s'il existait quelque phénomène inexplicable jusqu'ici dans les suppositions ordinaires et qui dérivât nécessairement de celle-ci» on ne pourrait s'empêcher alors de la regarder comme indiquée par la nature, et conséquemment de l'admettre.
Je considérerai la pesanteur d'une molécule de matière comme produite par l'impulsion d'un corpuscule infiniment plus petit qu'elle, et mû vers le centre de la Terre avec une vitesse quelconque. La supposition ordinaire, suivant laquelle la pesanteur agit de la même manière sur les corps en repos et en mouvement, revient à faire celte vitesse infinie; je la supposerai indéfinie, et je chercherai à la déterminer par l'observation.
J'imagine un corps infiniment petit p dans l'espace {/(g. 2), décrivant autour de S, considéré comme immobile, une orbite quelconque sur le plan fixe pSM; je fais S/? = r, et l'angle pSM = ç. Je nomme,
de plus, -*- la force perpendiculaire à S/?, et agissant dans le même sens que le mouvement de la planète, et -^ la force agissant dans la
direction du rayon vecteur Sp et de S \ers p; cela posé, on aura, par l'article XXXIX.
Il s'ajçit présentement de déterminer vp' et ^"i pour cela, soit N le corpuscule que je suppose faire graviter/i vers S; si p était en repos,
N lui communiquerait vers S la force -5- Je représente par pG l'espace
que décrirait ce corpuscule durant le temps que p décrirait la droite
pQ, tangente à son orbite, avec la vitesse qu'il a en p. Si Ton fait pq égal a pQ, on peut considérer N comme animé des trois vitesses pQ, pq et pG; il n'agit sur/? qu'en vertu des deux dernières; en sorte que,
par l'action de ce corpuscule, p est animé d'une force -5» dirigée de p
vers S, et d'une force -; —^ dirigée de p vers q. Soit maintenant -
l'espace que décrirait le corpuscule N dans le temps T, avec la vitesse qu'il a en N, T et a étant constants, a étant un coefficient numérique extrêmement petit, et 0 étant variable suivant une fonction quelconque de la distance de /? à S; on a
dt étant l'élément du temps que je regarde comme constant; la force
^^ est conséquemment égale à -^aT^^— ^
Odt
Or, si on la décompose en deux, l'une Oq, perpendiculaire & pS, et l'autre suivant Op, on aura, pour la première,
S T«ré/cp r* 6 dt
et, pour la seconde,
Br^dt '
De là, on conclura facilement
y s aST^r
/> Qrdt '
partant, on aura
d(^ i / raSTé/9
1/ /•aSTrf<p\' J
Puisque les orbites des planètes sont presque circulaires, je fais
r^=a{i-{-ay) et 9 =: n/ -h a^c;
ainsi, en négligeant les quantités de l'ordre a^, je puis supposer 0 constant, ce qui donne
en faisant commencer l'intégrale avec t; ensuite l'équation (4) donne
d*r I /S c«\ /3c« 2S\ 2S cT
Il est clair que -, ^ doit être de l'ordre de a, et, comme a est arbitraire, je supposerai -5 = — > ce qui donne
d'où je tire, en intégrant,
K et £ étant arbitraires. Pour les déterminer, je supposerai que la droite SM, sur laquelle je place le corps/? au premier instant du mouvement, soit le lieu de l'aphélie de l'orbite elliptique que p aurait décrite, si Ton eût eu â = o; donc, si Ton nomme fte le rapport de l'excentricité primitive à la distance moyenne, on aura
K = e et £:=o;
partant
/ c ac oLd rw% \
r ^=La\ 1-4- «c cos —it r -75- \nt ) .
Présentement, l'équation (3) donne, en négligeant les quantités de l'ordre de a*,
dx c ic a^aTnt
cit rt* a' " a*Q
Soit
partant
donc
dx an^T
dt ~ ^ e En substituant, au lieu de y, sa valeur, et intégrant, on aura
X =r— 2es\nnt H — nT yr /i'/*;
r = al i-^ (xe cos nt ^T/i'n,
3 a a —, , ^, 9 — /î^ — aaesin/i/H r-T/i'/';
d'où il résulte que le mouvement moyen dcp est assujetti à une équation séculaire proportionnelle au carré du temps.
Les calculs précédents auraient encore lieu si les deux corps /> et S étaient emportés d'un mouvement commun dans Tespace.
Dans la supposition ordinaire, -k- est infiniment petit, et l'équation
séculaire disparait; partant, si cette quantité y n'est pas nulle, c'est
surtout dans l'altération du mouvement moyen des planètes et des satellites que son effet doit être sensible. Voyons donc ce que les observations nous apprennent sur cet objet.
XLVIH.
En comparant les éclipses des siècles passés avec celles de ce siècle, les astronomes ont remarqué que les Tables de la Lune ne peuvent y satisfaire» en supposant à cet astre un mouvement moyen constant; ils ont conséquemment admis une accélération dans ce mouvement. JA. Mayer, qui parait être un de ceux qui se sont le plus occupés de cet cbjety a déterminé la quantité de cette accélération; il l'a trouvée d'un degré en deux mille ans, et sensiblement proportionnelle au carré des temps comptés depuis une époque donnée qu'il fixe en 1700; à la mérité, les preuves sur lesquelles l'accélération du moyen mouvement de la Lune est fondée viennent d'être savamment discutées par M. de Lagrange, dans l'excellente pièce qui a remporté le prix de l'Académie pour Tannée 1773; et il parait résulter de son travail qu'elle est encore incertaine. Mais, sans entrer ici dans l'examen de ces preuves, j'observerai cependant qu'elle est assez vraisemblable. Or, si l'on considère les différents termes qui peuvent entrer dans l'équation de l'orbite
lunaire, il est très difficile d'expliquer cette équation séculaire dans la
«T supposition ordinaire de -y > infiniment petit; car il résulte des savantes recherches que M. d'Âicmbert a données dans ses Opuscules, que cela est impossible, en n'ayant égard qu'à l'action du Soleil, de la Terre et de la Lune supposées sphériques, et M. de Lagrange a fait voir, dans la pièce que je viens de citer, que la figure non sphérique de la Lune et de la Terre, et l'action des planètes ne peuvent le produire ;
€Ew»r€t de L, — VIII. 29
on peut donc conjecturer, avec quelque vraisemblance, que -^ n'est
pas exactement nul et, dans ce cas, en déterminer la valeur de cette manière.
Soient
S la Terre ;
p la Lune;
/ le nombre des révolutions de la Lune dans le temps /;
/ le nombre de ses révolutions dans le temps T.
L*équation séculaire de la Lune sera
3 aa
{hy^y^'-'^'-
(3r le rapport du mouvement moyen de la Terre à celui de la Lune
27^7^43" 3q343 égale environ ôZEjfth"^ == r^Vk" ' Donc, pour l'intervalle de 2000 ans.
365i6»»9™ 525969 on a
Ainsi, en supposant /= i, l'accélération du mouvement de la Lune sera, pour cet espace de temps,
- étant l'espace que parcourrait, durant une révolution de la Lune, le
corpuscule que je suppose la faire graviter sur la Terre.
Présentement, si Ton admet avec M. Mayer que, en parlant de Tannée 1700, l'accélération du mouvement moyen de la Lune soit
de I** en 2000 ans, on aura, pour déterminer -> l'équation suivante
3aa/ 36o'> Y, x,/525969\«
mais, pour comparer la vitesse —^ avec la plus grande qui nous soit connue, savoir celle de la lumière, je nomme a! la distance moyenne
(le la Terre au Soleil, et je suppose, conformément aux dernières observations, la parallaxe moyenne de cet astre de 8'', 5, celle de la Lune étant de Sy'S"; on aura
a = a ;r-T TTi = a — - -
5yy ~ 6846
Soit, de plus, h Tespace que parcourrait dans une minute le corpuscule que je suppose faire graviter la Lune, on aura
Partant, h égale environ 960000 fois la distance du Soleil à la Terre, et, comme la lumière emploie huit minutes à peu près à venir du Soleil à nous» il suit que la vitesse du corpsculeN est 7680000 fois plus grande que celle de la lumière, en sorte quMl faudrait que la Lune se précipitât sur la Terre avec cette vitesse, pour ne point éprouver, au premier instant de sa chute. Faction de la pesanteur.
'I' Si Téquation séculaire de la Lune dépend de la valeur de -^> cette
C|uantité doit pareillement produire une équation séculaire dans le Oioyen mouvement des planètes. Pour la déterminer, j'observe que
ocT
— g- peut varier suivant la grandeur (le la masse attirante S, et suivant
1^ distance du corps attiré/?; il n'est cependant pas à présumer que la KKiasse plus ou moins considérable de S change cette quantité, parce C|ue chaque molécule agissant comme si elle était isolée, en augmentant la masse, on ne fait qu'augmenter la somme des actions des mole-
ouïes de matière, ce qui ne peut altérer la vitesse -7p*
Quant à la manière dont -j, dépend de la distance Sp, la supposition la plus naturelle est de faire 0 constant ou, ce qui revient ;ui raème, la vitesse -t, constante aux différentes distances de S; je m'ar-
rntcrai conséquemment à cette supposition, faute d'observations pour déterminer la véritable.
Cela posé, si Ton désigne par i\ /', a\ pour le Soleil et la Terre, des quantités analogues à celles que j'ai représentées ci-dessus pari, /, a pour la Terre et la Lune, on trouvera l'équation séculaire de la Terre égale à
3 a',( 36o V/fOA^o a 6 V 57" '7 44/
d'où il suit que, dans le même intervalle de temps, les équations séculaires de la Terre et de la Lune sont entre elles comme a'Vi'^ la/P, ou, parce que V\l\\i'\i, comme a'i'^lai^. Or a';a :; 57'3'':8%5 et
i' : 1: : 39343 : 625969; donc l'équation séculaire de la Terre est à celle de la Lune comme i : 5,934» ou comme 1:6 environ, et, par conséquent, de 10' à peu près en 2000 ans.
J'observerai ici que cette accélération du mouvement moyen de la Terre donne pour la Lune une équation séculaire un peu différente de celle que M. Mayer a conclue des observations, et dont j'ai fait usage. Cet illustre astronome l'a déterminée par la comparaison des éclipses anciennes et modernes, en supposant le mouvement moyen du Soleil constant; mais, puisqu'il est actuellement plus rapide qu'autrefois, il est clair qu'en partant du mouvement moyen actuel, M. Mayer a supposé le Soleil et, par conséquent, la Lune, trop peu avancés au moment des éclipses anciennes : il faut donc ajouter à Téquation séculaire de la Lune, trouvée par cet astronome, celle du Soleil, pour avoir la véritable quantité de cette équation. Soit x cette quantité; l'équation séculaire de la Terre est \x; mais l'équation conclue par M. Mayer égale
donc X égale 1^12'; la véritable équation séculaire est donc de 1^12', et celle du Soleil de 12' en 2000 ans. Cette considération diminue un peu la vitesse du corpuscule N, et la rend 6400000 fois plus grande que celle de la lumière.
Pour avoir les équations séculaires des autres planètes, je considère
deux de ces planètes/? ety, dont les distances moyennes du Soleil soient a et a', et pour lesquelles i et i' expriment les nombres des révolutions faites dans te même temps t; leurs équations séculaires seront entre elles comme ai'': a' i'*; mais on a
d'où il résulte que ces équations séculaires sont entre elles comme
~ : ~> c'est-à-dire, réciproquement, comme les racines carrées des
septièmes puissances des grands axes de leurs orbites.
D'après ce théorème, je trouve pour Vénus une équation séculaire d'environ 38' en sooo ans,' et, pour Mercure, une équation d'environ 5°, 5 pour le même intervalle de temps.
Si l'on compare maintenant ces résultats à l'observation, on verra que nous manquons d'observations assez anciennes et assez exactes pour savoir si Vénus et Mercure ont une équation séculaire sensible.
Il est fort incertain si le moyen mouvement de la Terre s'accélère, ou reste sensiblement le même; ce dernier sentiment parait le plus vraisemblable, mais l'incertitude où l'on est à cet égard prouve au moins que l'équation séculaire de la Terre est très petite, ce qui s'accorde fort bien avec la théorie précédente, suivant laquelle cette équation n'est qu'un sixième de celle de ta Lune.
Quant aux planètes supérieures, il est probable que les mouvements moyens de Jupiter et de Saturne ont souffert une variation sensible; mais elle dépend d'une autre cause que de la valeur de %■> qui ne peut en produire qu'une absolument insensible.
Je n'ai eu égard, dans les calculs précédents, qu'à l'équation séculaire des moyens mouvements, comme la plus considérable de toutes
ipposé les orbites offlètes. Voici pré-
sentcinent une méthode pour déterminer ces variations, quelle que soit roxeentricité des orbites.
Je reprends les équations
d*r rdo* S «STrfr
(^) '^ = dF - -dïT -^ 7* -^ TprW
Puisque 0 est supposé constant, on aura
/•«STrfj «STo
Soit
