I -, -HKcOS(cp-4-6)j

Donc

c^~ Acp H-Bsin(9 -he) 4-. . .

H A 9' 4- -B<psin(cp4-e)4-. . . A' -^9' —

Soit e = o, le passage au périhélie aura lieu lorsque ç — o, ç = 360**, ç = 2.36o®, — Nommant donc 'T le temps d'une révolution, et 'T' le temps de la révolution suivante, Tune et l'autre à compter du passage par le périhélie, on aura

-'T 6 / 36o° \ /aV S ii \ 'T ~" 01^57" 17' 44V V A c» 2)'

Il ne s'agit plus maintenant que de connaître A, A' et-; or, puisque

l'on a

on aura (voir le Calcul intégral de M. Euler)

A'=a»v/T="i*(i4-ie*).

QEu9reê de L. -^ VUl. 3o

Soit 'T — m minutes et 'T' = m' minutes ; on a

6«ST JefaisT = T, donc

ir exprimant le rapport de la demi-circonférence au rayon ; partant

ê 27ra

- étant Tespace que décrirait le corpuscule N durant le temps T; or,

dans une minute, cet espace est par Tarticle XLVIII, en ayant égard à la remarque de l'article XLIX, égal à 8oooooa\ a' exprimant le demi grand axe de l'orbite terrestre; donc

ê 2na

^ y/i — e* 800000 ma'

partant

'^ -'^^^ 44444 â'(,TT3;^;37^' d'où l'on voit que m — m' est absolument insensible.

Il résulte des articles précédents que l'hypothèse de la pesanteur agissant difleremment sur les corps en repos et en mouvement donne un moyen fort simple d'expliquer l'équation séculaire de la Lune; cependant, quelque naturelle qu'elle puisse être, je suis bien éloigné de la regarder comme certaine, et je ne la propose que comme une conjecture qui m'a paru mériter l'attention des philosophes; elle ne serait pas douteuse s'il était bien démontré : i^. que l'équation séculaire de la Lune existe; 2^ qu'elle ne peut s'expliquer dans les suppositions ordinaires, ou par des causes étrangères à la pesanteur; or Tune

et l'autre de ces assertions, et particulièrement la seconde, est sujette encore ii bien des difficultés. Il est à la vérité vraisemblable, par la comparaison des observations anciennes et modernes, que le moyen mouvement de la Lune est maintenant plus rapide qu'autrefois; c'est ce qui m'a paru même résulter des calculs de M. de Lagrange, dans la pièce citée précédemment, en les examinant avec attention. (Fbir l'addition qui est à la fin de ce Mémoire.) Cette accélération d'ailleurs, si elle existe, ne parait pas explicable par le seul principe de la gravitation universelle, dans les suppositions reçues, comme je l'ai déjà remarqué.

Si donc on admet cette équation séculaire, il faut, pour l'expliquer, ou faire varier un peu, comme je l'ai fait précédemment, les suppositions d'après lesquelles on a calculé jusqu'ici le mouvement des corps célestes, ou recourir à des causes étrangères au principe de la gravitation universelle. Pour voir jusqu'à quel point le premier de ces deux moyens est.préférable au second, j'imagine que, au lieu de déterminer les mouvements célestes dans certaines suppositions sur Taction de la pesanteur, on eût cherché à déterminer ces suppositions par les mouvements observés; il est visible que, en admettant une accélération dans le moyen mouvement de la Lune, on aurait trouvé la pesanteur agissant difieremment sur les corps, suivant leurs différents mouvements; or je demande si Ton ne s'en fût pas tenu à ce résultat, qui parait d'ailleurs bien plus naturel que la supposition ordinaire? On doit convenir, cependant, que, en admettant dans l'espace un fluide extrêmement rare, on explique d'une manière très satisfaisante l'équation séculaire de la Lune {voir la pièce de M. l'abbé Bossut, qui a remporté le prix de l'Académie pour Tannée 1762). Mais l'existence d*un pareil fluide est fort incertaine, à moins que l'on ne prenne pour ce fluide la lumière du Soleil. Or, il ne parait pas qu'elle résiste assez pour retarder sensiblement le mouvement de la Lune; car, selon toutes les apparences, cette lumière est une émanation de la substance même du Soleil. Gela se prouve par les phénomènes de la réflexion et de la réfraction de la lumière, qui s'accordent très bien avec cette hypo-

thèse, en admettant de plus que les atomes lumineux sont attirés par les corps, suivant une fonction de la distance. Gela parait encore indiqué par l'aberration des fixes; car ce phénomène prouve que la vitesse du corpuscule de lumière qui vient frapper l'organe de la vision est à celle de la Terre en raison constante, quel que soit Tastre qui envoie la lumière; or, cela ne peut arriver dans Thypotbèsc d'un fluide élastique, mis en vibration par les corps lumineux; en effet, si l'on applique à ce cas les formules que MM. de Lagrange et Euler ont données pour le son, on trouve que, à une très grande distance de i'astre, la vitesse de ce fluide diminuerait en raison de cette distance, en le supposant également élastique et dense dans toute son étendue; cette vitesse ne serait donc pas constante pour les différentes étoiles, ni la même que celle de la lumière qui nous est réfléchie par les satellites de Jupiter, ce qui est contraire à l'observation. On pourrait, à la vérité, imaginer que les vitesses communiquées au fluide par les différentes étoiles sont telles qu'elles deviennent toutes égales, près de la Terre; on pourrait supposer encore telles lois d'élasticité et de densité qui produiraient cette égalité; mais ces suppositions sont trop invraisemblables pour les admettre.

Présentement, si Ton regarde la lumière comme une émanation de la substance du Soleil, elle ne peut produire par son impulsion l'équation séculaire de la Lune; c'est ce que les géomètres trouveront aisément par le procédé suivant qui m'a conduit à ce résultat. J'omets ici les calculs à cause de leur longueur, et parce qu'ils sont faciles par la méthode exposée dans les articles précédents.

En admettant, avec M. Mayer, une équation séculaire pour la Lune d'un degré en deux mille ans, et supposant la parallaxe du Soleil de 8"^, je détermine d'abord la perte de la masse du Soleil dans cet intervalle de temps; ensuite, pour vérifier si cette perte est réelle, j'observe qu'il doit en résulter un retardement dans le moyen mouvement de la Terre, parce que la masse du Soleil diminuant sans cesse, l'orbite de la Terre doit se dilater de plus en plus : or, je trouve que, pour admettre dans le mouvement moyen de la Lune une accélération d'un degré en

deux mille ans, il faudrait admettre une retardation de plusieurs degrés dans celui de la Terre, ce qui est absolument contraire aux obsenrations ; d'où je conclus que l'impulsion de la lumière solaire ne peut produire l'équation séculaire de la Lune. Mais cette lumière agit d'une manière plus sensible sur la Terre, en dilatant l'atmosphère; c'est ce qui produit, au moins en partie, ces vents généraux d'est qu'on observe sous la zone torride. Or, il parait que la rotation de la Terre doit être sensiblement retardée par l'action de ces vents; ce qui expliquerait d'une manière fort simple Téquation séculaire de la Lune. En effet, si l'on suppose les jours plus longs qu'autrefois, le mouvement de la Lune doit, par cette raison, paraître plus rapide. Il est vrai qu'alors les mouvements moyens du Soleil et des planètes seraient pareillement assujettis à une équation séculaire; mais le mouvement du Soleil n'étant que — environ de celui de la Lune, son équation séculaire serait en même raison plus petite, et par eonséqueiit insensible. Dans cette supposition, l'accélération du moyen mouvement de la Lune n'est qu'apparente, et ce mouvement est constant en lai-méme; mais j'ai trouvé, par une méthode fort simple, que je me propose d'exposer ailleurs, que la rotation de la Terre ne peut être sensiblement retardée par l'action des vents, en admettant qu'ils aient pour cause la dilatation de l'atmosphère produite par la chaleur du Soleil. J'ai de plus examiné dans un Mémoire sur les inégalités du mouvemerU de rotation de la Terre, si l'action du Soleil et de la Lune peut y produire une équation séculaire sensible, en ayant égard aux différentes inégalités du mouvement de ces deux astres, et supposant, pour plus de généralité, une inégalité quelconque entre les moments d'inertie de la Terre par rapport à ses trois axes principaux. Cette discussion m'a paru nécessaire avant que de prononcer sur l'impossibilité d'expliquer l'équation séculaire de la Lune dans les suppositions ordinaires sur la gravitation universelle. Or, puisqu'il résulte de cette recherche que l'action du Soleil, de la Lune et des vents ne peut retarder le moyen mouvement de rotation de la Terre, il suit que Taccélération du moyen mouvement de la Lune est réelle : il y a donc

bien de Tapparence» si elle existe» qu'elle dépend de la cause que je lui ai assignée ci-dessus.

Quoi qu'il en soit, les calculs précédents ont du moins l'avantage de nous faire connaître Tétonnante activité de la pesanteur, puisqu'il faudrait supposer à la Lune une vitesse vers la Terre plusieurs millions de fois plus grande que celle de la lumière, pour la soustraire à son action ; et il parait bien certain que cette activité ne peut être moindre, car elle serait infinie, si Téquation séculaire de la Lune était nulle, ou due à d'autres causes. Cette activité prodigieuse me persuade que la force attractive doit employer un temps beaucoup moindre que la lumière à se propager d'un corps à l'autre; et que celle de la Lune, loin d'être deux jours à parvenir à la Terre, comme M. Daniel BernouUi l'a soupçonné, y parvient en moins de 7^7^;^ de seconde.

Après avoir discuté les différentes suppositions dont les géomètres ont fait usage dans l'application du principe de la pesanteur universelle, je vais rentrer dans ces mêmes suppositions, et déterminer les inégalités séculaires des planètes.

Sur les inégalités séculaires des planètes.

En considérant les masses des planètes comme étant extrêmement petites par rapport à celle du Soleil, leur action serait insensible dans l'intervalle d'un petit nombre de révolutions, et chacune d'elles décrirait à chaque révolution une orbite elliptique autour du Soleil. Après un temps considérable, l'action réciproque des planètes pourrait devenir sensible; mais comme, après ce temps, elles décriraient encore à très peu près une ellipse à chaque révolution, cette action ne pourrait se manifester que par les changements qu'elle occasionnerait à la longue dans les éléments des orbites, c'est-à-dire dans la position des nœuds et de la ligne des apsides, dans l'excentricité, l'inclinaison et surtout dans les moyens mouvements. Ces inégalités sont, par consé-

quent, les plus considérables de toutes, et celles dont il importe le plus de fixer la valeur par la théorie.

Parmi ces inégalités, la plus essentielle à considérer est celle des moyens mouvements; elle ne parait pas, cependant, avoir été déterminée avec toute la précision qu'exige son importance. M. Ëuler, dans sa seconde pièce sur Jes irrégularités de Jupiter et de Saturne, la trouve égale pour Tune et Tautre de ces planètes. Suivant M. de Lagrange, au contraire, dans le troisième Volume des Mémoires de Turin (*), elle est fort difierente pour ces deux corps. Ayant recherché la raison d'une disparité aussi frappante entre les résultats de ces deux illustres géomètres, il m'a paru qu'ils n'avaient point fait entrer en considération plusieurs termes aussi sensibles que ceux auxquels ils ont eu égard. M. de Lagrange semble à la vérité avoir porté plus loin la précision que M. Euler : j'ai lieu de croire, cependant, que la formule n'est pas encore exacte. Celle à laquelle je parviens est fort différente (^). Ce peu d'accord m'avait fait soupçonner que je pouvais m'étre trompé; mais, ayant recommencé plusieurs fois mes calculs, je suis parvenu aux mêmes résultats; je m'y suis conformé d'ailleurs, en examinant avec attention la solution de M. de Lagrange; car cet illustre géomètre néglige dans les équations différentielles les sinus et les cosinus de très petits angles, à cause de l'extrême petitesse de leurs coefficients; mais ces coeflicients deviennent fort grands par l'intégration, et produisent, dans les moyens mouvements, une équation séculaire comparable à celle à laquelle il parvient. J'observerai ici que la grandeur de ces coefficients dans la théorie des planètes peut rendre fautive la supposition que leur mouvement vrai est égal à leur mouvement moyen, plus à une très petite quantité. Or, comme toutes les solutions connues du problème des trois corps sont fondées sur cette supposition, il me parait que les formules du mouvement vrai des planètes que Ton

(*) Œuvres de Lagrange, T. I, p. 667.

(*) Depuis qae j'ai lu ces Recherches à l'Académie, j*ai trouvé qu'elle élait idenliquemeni nulle {yoir l'Article LIX). J'aurais pu le démontrer d'abord, mais j'ai préféré donner mQS idées suivant Tordre dans lequel elles se sont présentées à mon esprit.

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en tire, ne doivent être employées que pour un tenips limité après lequel il est k craindre qu'elles ne deviennent inexactes.

Indépendamment de tout calcul» on peut s'assurer par la considération suivante, que la formule de M. de Lagrange est incomplète. Car, si le plan fixe auquel il rapporte le mouvement des deux planètes, au lieu d'être l'écliptique, était tout autre plan, cette formule donnerait une équation séculaire totalement différente; et si ce plan passait par l'intersection des orbites de Jupiter et de Saturne, cette même équation qui, auparavant, dépendait de l'inclinaison respective des orbites cesserait d'en dépendre. Il parait, cependant, que le mouvement moyen d'une planète et l'équation séculaire de ce mouvement doivent être les mêmes, quel que soit le plan sur lequel on les rapporte. Au reste, ce que je viens de dire ne touche point au mérite de la solution de M. de Lagrange; je lui rends, avec plaisir, la justice de la regarder comme une des choses les plus délicates que l'on ait tirées de l'Analyse.

L'Académie proposa pour sujet du prix de l'année 1760, de déterminer l'altération du mouvement moyen de la Terre, produite par l'action des corps célestes. La pièce de M. Charles Euler qui fut couronnée, quelque estimable qu'elle soit d'ailleurs, n'a rien ajouté, ce me semble, à ce que l'on savait déjà sur l'effet de l'attraction des planètes. Après avoir discuté l'action de la comète de 1759, sur la Terre, pour altérer son mouvement moyen, il se contente d'observer que l'action des planètes doit y produire une inégalité proportionnelle au carré du temps, sans se mettre en peine d'en fixer la véritable valeur.

On voit par ce détail l'incertitude qui règne encore sur l'équation séculaire du mouvement moyen des planètes, et combien il est nécessaire de la déterminer avec précision.

Voici maintenant pour y parvenir une méthode fort simple; mais comme cette recherche est nécessairement liée avec celle des inégalités séculaires, tant de l'excentricité et de l'inclinaison que de la position des nœuds et des apsides, je vais les embrasser dans mon calcul.

Je dois observer ici que, quoique les formules auxquelles je parviens renferment des termes proportionnels au temps et au carré du temps, je ne prétends pas, cependant, que ces termes se rencontrent dans l'expression rigoureuse du mouvement des planètes; il peut arriver, en effet, qu'ils soient produits par le développement des sinus et cosinus de très petits angles, en séries; mon objet ici n'est point d'entrer dans cette discussion, très intéressante du côté de l'Analyse, mais qui devient inutile pour tout le temps durant lequel l'Astronomie a été cultivée. On peut consulter, sur cette matière, un fort beau Mémoire de M. de Condorcet, qui a pour titre : Réflexions sur les méthodes d'approximation (* ).