LUI
Je reprends les équations (i), (2) et (3) de l'article XXXIX.
^91/ r^Wdt\
J'imagine ensuite une autre planète p\ et je désigne pour cette planète par ç', r' et s' ce que j'ai nommé ç, r et 5 pour /?; soient de plus p et/?' les masses des deux planètes /?,/?', et v leur distance mutuelle; soit encore S la masse du Soleil. Gela posé, on trouvera
^ =pV sin(9'- ç>) r î - - ^1,
r»(i-h5»)» r'^(i-hs'*y
(*) Mémoires de l'Jcadémiey année 1771, p. 9.81.
OEupres de L, — VIII. 3 i
partant, on aura
cPr i { ^ r . ^'T.t
.ycos(9'-9)r î-^ h
-f- ^[5'— 5cos((p'— 9)] î 3 — -i r
Je supposerai les masses des planètes infiniment petites par rapport à celle du Soleil; je ferai ainsi p = ^meip' = Sm', la caractéristique S désignant une différence infiniment petite. Je prendrai ensuite pour plan de projection le plan de Torbite primitive de p, ce qui rend s infiniment petit, et permet de négliger son carré.
Cela posé, j'observe d'^ibord que les orbites des planètes sont fort peu inclinées les unes aux autres, et qu'elles ont fort peu d'excentricité; ainsi, en supposant a une quantité très petite, je supposerai l'excentricité et l'inclinaison de l'ordre a; je me contenterai de pousser la précision jusqu'aux quantités de Tordre a^ S/w' inclusivement.
Si l'on intègre présentement les deux équations
elles donneront, comme l'on sait,
et
/• — a iH h xecos{nt-\- e) cos 2 ( /i^ 4- e ) H-. .. .
Ces équations sont à une ellipse dont a est le demi grand axe, et oea l'excentricité; A' exprime la distance moyenne de la planète à une ligne fixe, lorsque i = o, et e la quantité dont elle est plus avancée que son aphélie à cet instant. Ces valeurs de r et de 9 sont exactes lorsque Sm'=:o; mais, lorsqu'il n'est pas nul, il faut difTérentier les équations (4) et (5), par rapport à S, et leur ajouter les termes affectés de om', dans les équations (A) et (B); on aura ainsi
(6) et
rfii))
Si l'on substituait dans ces équations, au lieu de 9, r, ip', r*, ^, £<p, ^r, leurs véritables valeurs, tous les termes homologues se détruiraient réciproquement, c'est-à-dire que l'on aurait séparément égaux a zéro : i" les termes constants; 1° les termes proportionnels au temps; 3" ceux qui sont proportionnels au carré du temps, etc.; 4° '^^ coefficients des sinus et des cosinus desdifTérents angles; ce qui produirait une suite infinie d'équations, mais, pour l'objet que l'on se propose ici, il suffit d'avoir égard dans l'équation (6) aux termes constants, et à ceux qui croissent comme le temps; dans l'équation (7), il faut, de plus, avoir égard aux coefficients de cos(nï + s) et de sin(n/ -h i). Or, en ayant égard à ces termes seuls, on aura
■icim' r r I r'I itn'r
-t-3TO'cos(i))'—
Parmi les termes constants, on peut négliger ceux de l'ordre oL^Bm': on aura ainsi, en n'ayant égard qu'aux termes constants et proportionnels au temps,
Or on a
S-l-âm
et, aux quantités près de Tordre a%
Soit donc
S(x' exprimera le rapport de la masse de la planète p' à celle du Soleil, et Ton aura
(8) ^=-'i^,r-'^^^nH,
\ 0=1 --T— H r-dr ^^ tfr -h a ou' /i« A -4- «aia'/i*Ccos(«/ -h c)
( -h aadfjL'/i'Dsin(/i/ H- g) -h a*aB dfx'/i'r.
Je suppose et
en substituant ces valeurs de S9 et Sr dans les équations (8) et (9), on trouvera, en comparant les termes homologues,
g^'xk, / — —A, »/>=:-D,
„-3eA--C, K-=-eU-B, /i = 7(B-cD).
De là, on tirera facilement
r = a\i + a{e-h i 8(i'Dn(] cosfn/f H- 3A V+ — C3;ji'j -i-fl +,..j.
On voit par là que, si l'on nomme i le nombre des révolutions de p, depuis une époque donnée, l'accroissement de l'équation du centre sera
(xDSn'i.36o'.
Le mouvement de l'apogée, suivant l'ordre des signes, sera -èii'i.36o<-UA+~\- Enfin l'accélération du mouvement moyen sera
Il ne s'agit donc plus que de déterminer A, B, C et D avec toute l'exactitude possible. Or, si l'on nomme a' le demi grand axe de l'orbite de />'. ae't^ son excentricité; si, de plus, on fait
-- b, cos9 + i, cosa9-+- fr, cos39 + . . .,
(i— ascosfl + z')^
*'+ b\coi9-h 6',cosa9-i- è;cos39 -i-. . .,
et que l'on nomme V la longitude de Taphélie de p\ moins celle de l'aphélie de /? à l'origine du mouvement, j'ai trouvé :
Accroissement de Téqualion du centre
je nomme X cette quantité :
Mouvement de Tapogée suivant l'ordre des signes
rr: oy £.36oo r? (6-6') -+--(3^;- 6,) --?5»f 6' -^i^;)l ^— ^;
^ La^ 2^ * *' 4 \ a VJ aaetangV
Accélération du mouvement moyen
= r^ aeae'5a'5sinVi*.36oo
On aura 6, 6, , et, à leur moyen, ftj, 63, . . . , 6', 6', , . . . , 6", 6' , ... par des méthodes trop connues des géomètres pour que je m'y arrête.
En comparant ces formules avec celles de M. de Lagrange, j'ai trouvé que les expressions de l'accroissement de l'équation du centre et du mouvement de l'aphélie sont entièrement d'accord avec celles de cet illustre géomètre, mais l'expression de l'accélération du mouvement moyen est très différente, et j'en ai dit ci-dessus les raisons.
Je vais maintenant déterminer la position de l'orbite de la planète sur un plan fixe; pour cela, je reprends les équations (A), (B),
(C), etc. J'y suppose d'abord 8m' = o; elles deviennent
rf*r c S -h/?
r*(i-h5»)' d}s idsdr c^s
Au lieu de supposer, comme précédemment, 5 = 0, je le supposerai de l'ordre de a, et je ferai s = ak, s'= aV. Il est clair que les trois équations précédentes sont celles d'une ellipse projetée sur un plan fixe, et l'on aura, aux quantités près de l'ordre de a^,
5 = ay sin((p -4- gt), 5'= ay' sin((p'-4- gj'),
orf et olY étant les tangentes des inclinaisons des orbites de p etp' sur le plan fixe. Cela posé, l'équation (C) donne
d^dl 2d\ddr 2drddl c* 5X ^c^Srl o = ■
dl^ rdl^ rdt^ r* r
Je ne ferai attention qu'aux termes de la forme
cos(/i/-+-0) et sin(/ir-i- 0),
0 étant la quantité dont la planète est plus avancée que son nœud lorsque t = o\ soit donc, en poussant la précision jusqu'aux quantités de l'ordre de aS(x' exclusivement,
