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' frdt^m{^'-<^)\ î ^-Jin

H rx'— Xcos

Lr'»(i-l-y«)' *^ J

En* 8(ii'sin(/it + ô) -+- Fn»df*'cos(n< -+- 9);

on aura

d^èl icCkdir 2drddl c^dl ^cndr

Soit

dt^ rdt' rdt- /* r*

H- E/i*ô^'sin (/«/ -i- 0 ) -f- F/i« (Î|jl' cos(/i^ 4- Ô).

et l'on trouvera, en substituant dans Téquation précédente, au lieu de oX, cette valeur, et, au lieu de Sr, sa valeur ci-dessus.

/=:lE-+-2yA et ^. — — Ip;

partant,

aX = oy sin(/i^-h 0) -h adii'nt f aAy + - E] cos(/if -f- 0)

Fd^x' ntsin(nt-\- ô),

d'où l'on tire

s = (<xy - i F ^fx'/îA sin fn/Z^i -f- 2 A 3^' H- ~^\ + ^1 •

La diminution de l'inclinaison de l'orbite de p sur le plan fixe sera donc ^F§(x'i.36o*^, et le mouvement rétrograde de ses nœuds sur le

même plan — ^/.36o®. Il ne s'agit donc plus que de déterminerEet F;

or, en nommant I la longitude du nœud de/>' sur le plan fixe, moins celle du nœud de/? à l'origine du mouvement, j'ai trouvé

Diminution séculaire de Tinclinaison de Torbite/? sur le plan fixe

~i^ay'sinHfJL7.36oo

Mouvement rétrograde de ses nœuds sur le même plan

=: ^ à^L'll- '(- COS A iMo\

Ces formules du mouvement du nœud et de la variation de l'inclinaison s'accordent avec celles de M. de Lagrange, et avec celles que M. Euler a données dans sa première pièce sur Jupiter et Saturne; car

cet illustre géomètre, en prenant pour plan fixe celui de l'orbite de p\ considéré comme invariable, trouve

Diminution de Tinclinaison de l'orbite de p sur ce plan = o et

Mouvement rétrograde de ses nœuds =: — —^ i.Sôo».

D'où il est aisé de tirer les formules précédentes, en rapportant le mouvement de cette planète sur un autre plan peu incliné à celui des deux orbites de p et de />'.

Il est aisé de voir que Tinclinaison de l'orbite de/i ira en augmentant, ou en diminuant, suivant la position du plan fixe, et que le mou-

vement des nœuds sera direct ou rétrograde, suivant que /-cosi sera

plus grand ou moindre que l'unité. Ces deux remarques sont des corollaires assez simples des formules de M. Euler pour qu'il ait pu se dispenser de les faire; mais, ce qu'il importait véritablement de tirer de son calcul, était la diminution de l'obliquité de Técliptique, et c'est ce que cet illustre géomètre a fait dans les Mémoires de V Académie pour Vannée 1754.

J'ai supposé dans les calculs précédents les masses des planètes infiniment petites par rapport à celle du Soleil; cette supposition est admissible pour Mars, la Terre, Vénus et Mercure; mais elle n'est pas exacte pour Jupiter et Saturne, car Jupiter, par exemple, égale -^ de la masse du Soleil; or, ce rapport, loin d'être infiniment petit, est très comparable au produit des excentricités des deux orbites, auquel j'ai eu égard dans l'expression de l'accélération des moyens mouvements. Il parait donc alors nécessaire de considérer dans ces recherche^ les quantités multipliées par S[jl'^. Or, en regardant %\i! comme étant de l'ordre de a^, j'ai trouvé par le calcul, et les géomètres verront aisément à l'inspection des équations (6) et (7), que ces quantités n'ajoutent aucun terme aux formules précédentes; en sorte qu'elles sont exactes, même dans la supposition où 0[x' serait de Tordre de a^.

OEuvret de l. — VlII. 32

De plus, si Ton considère avec attention ces mêmes équations (6) et (7), on verra que l'expression de l'accélération du mouvement moyen est exacte aux quantités près de Tordre de a* S[jl', en sorte qu'elle serait la même si Ton avait égard dans le calcul aux quantités de l'ordre de a' S(x'; pareillement, on verra que les formules du mouvement des nœuds et de l'apogée, et de la variation de l'excentricité et de rinclinaison sont exactes, aux quantités près de Tordre de a' 8\k; on peut donc les regarder comme fort approchées.

Je vais présentement déterminer les inégalités proportionnelles au cube et aux puissances supérieures du temps dans le moyen mouvement des planètes, et celles qui sont proportionnelles au carré et aux puissances supérieures du temps, dans les autres éléments de leurs orbites.

Il est aisé de voir, à l'inspection des équations du problème, que Ton aura

J'ai précédemment déterminé K en fonction de 5, ae, ae' et sinV, et j'en conclus L de la manière suivante. Pour cela, je fais

t=iT-^ti et 9=i<^-+-9i,

T et $ étant considérablement plus grands que /« et <p,, et 9, étant nul lorsque /, égale o; on aura donc

mais si Ton nomme K' ce que devient K lorsqu'on y met, au lieu de r, e, e! et V, les valeurs qui ont lieu après le temps T, et que Ton nomme /îi ce que devient n après ce temps, on aura

donc, en comparant, on aura

partant,

Loft— .^ — ^--- .

On voit donc que, pour avoir L, il faut clifTérentier K, en y faisant varier s, V, ^, ^, des quantités dont elles ont varié après le temps T, diviser cette différence par T, et en prendre le tiers.

Comme la variation de z est de Tordre de a*S[jL', celles de e et c' étant de l'ordre de S[x', on peut rejçarder dans la différentiation z comme constant.

On obtiendrait, par une méthode semblable, les termes proportionnels à la quatrième, cinquième, etc. puissance du temps.

Pareillement, on peut supposer le mouvement de Tapogée égal i

HS|x'/ -HMS(Ji'^/*-h J'ai déterminé ci-devant H en fonction de r, é»',

3 et V. Soient donc / = T -h- /< et H' ce que devient H après le temps T ; le mouvement dans l'intervalle /« sera

d'où l'on tirera

partant

HôfJL'/,-h2Mrîfx'«T^4-...,

H -H4-2MoyT;

On déterminerait de la même manière les inégalités proportionnelles au carré, au cube, etc. des temps, dans les autres éléments de Torbite; mais toutes ces inégalités sont encore trop peu sensibles pour y avoir égard.

Application des fonnules précédentes à Jupiter et à Saturne,

M. de Lagrange a trouvé dans le Mémoire cité précédemment {voir le III* Vol. des Mémoires de Turin, p. 376), en supposant que p soit

252 SLR LE PRINCIPE

Saturne et/>' Jupiter,

irs, je les ai trouvées exactes

Mais, suivant les Tables de Halley, on a, pour Tannée 1750,

ae'^= 0,048218, a e 1=0,057003,

et si Ton prend pour le plan fixe celui de Técliptique pour le commencement de l'année 1750, on aura

ay':i; o,023o32, ay -- o,o437io et — I zz: i3®4'i6';

de plus,