OF

Cela posé, M. de Lagrange ayant déterminé, d'après des formules exactes, le mouvement des nœuds et de l'aphélie, ainsi que la variation de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite de Saturne sur l'écliptique, il n'y a point de doute que les valeurs qu'il trouve ne soient exactes; je me bornerai conséquemmentici à déterminer l'équation séculaire du mouvement moyen. Or, en substituant les valeurs précédentes dans l'expression analytique de cette équation, je Tai trouvée absolument nulle; d'où je conclus que l'altération du mouvement moyen de Saturne, si elle existe, n'est point due à l'action de Jupiter.

Si l'on suppose actuellement que p soit Jupiter et/?' Saturne; si, de plus, on distingue par une parenthèse les quantités correspondantes à Jupiter, on aura

{b)-bz\ (bi) — biz\ ..., {b') = b'z\ ..., {b'').-=:b'z\ ...,

d'où j'ai conclu

{bi) — OySi5yS, (6;) = 0,59730, (6",) = 0,71524,

(6,) ==0,33704, (ô'j) = 0,47630, {b\) HT 0,62300,

(6',) = o,3523o, (63) zzzo, 50751,

enfin

3oai'

d'ailleurs,

(V)--^-V, (I)=-I, {ae)^=ae', {ay)=zxy' et {ocy') =zay.

Cela posé, en substituant ces valeurs dans la formule de Téquation séculaire, je l'ai trouvée absolument nulle; d'où je conclus que l'altération du mouvement moyen de Jupiter, si elle existe, n'est point due à l'action de Saturne.

En comparant les observations de Jupiter et de Saturne faites dans les différents siècles, les astronomes ont cru apercevoir une accélération dans le mouvement moyen de Jupiter et une retardation dans celui de Saturne; je ne m'arrêterai point ici à discuter ces observations et à faire voir l'incertitude qu'elles laissent sur la quantité de ces altérations; il suffit d'observer ici que leur existence parait assez vraisemblable, et que le retardement de Saturne est beaucoup plus considérable que l'accélération de Jupiter dans le même intervalle de temps.

Il résulte de la théorie précédente que ces variations ne peuvent être attribuées à l'action mutuelle de ces deux planètes; mais, si l'on considère le grand nombre de comètes qui se meuvent autour du

Soleil, si Ton fait ensuite réflexion qu'il est très possible que quelques-unes d'entre elles aient passé assez près de Jupiter et de Saturne pour altérer leurs mouvements, et que leur effet, toutes choses d'ailleurs égales, doit être plus sensible sur les planètes les plus éloignées du Soleil, par la même raison que l'effet de Jupiter sur Saturne est beaucoup plus grand que sur Mars, dont il est, cependant, plus près que de Saturne, on regardera comme très probable que les variations observées dans les mouvements moyens de Jupiter et de Saturne ont été produites par l'action de ces comètes; on ne peut douter, en effet, qu'elles ne soient soumises, comme tous les autres corps célestes, aux lois de la pesanteur universelle; il semble même résulter des observations, que leur action sur Saturne est sensible, puisque cette planète est sujette à des inégalités qui ne paraissent pas pouvoir dépendre de sa pesanteur sur Jupiter; il serait donc fort à désirer que le nombre des comètes, leurs masses et leurs mouvements fussent assez connus pour que l'on pût déterminer Teffet de leur action sur les planètes; c'est ce qu'on ne doit attendre que d'une très longue suite d'observations.

Mais voici un moyen fort simple de s'assurer d'ailleurs si les altérations des mouvements moyens de Jupiter et de Saturne sont l'effet de leur action mutuelle; pour cela, je fais usage d'un principe que M. le chevalier d'Arcy a donné dans les Mémoires de l'Académie, année 174?» et qu'il a fort heureusement appliqué k la solution de différents Problèmes de Dynamique. Voici l'énoncé de ce principe : Si plusieurs corps se meuvent autour d'un point quelconque , que je considère amune foyer, la somme des produits de la masse de chaque corps, par l'aire que décrit le rayon vecteur de sa projection sur un plan fixe, qui passe par ce foyer, est proportionnelle au temps.

Soit donc C {fig. 3) le centre commun de gravité du Soleil S, de Jupiter/? et de Saturne p'\ je regarde ce point comme foyer, et je fais passer par ce même point un plan fixe que je suppose être celui do

l'écliptique, pour le commencement de l'année 1750. Cela posé, le produit de l'aire que décrit le rayon vecteur de la projection de Jupiter autour de C, multipliée par sa masse, plus celui de l'aire décrite par le rayon vecteur de la projection de Saturne, multipliée par sa masse, plus celui de l'aire décrite par le rayon vecteur de la projection du Soleil, multipliée par sa masse, est constant en temps égal.

En regardant les masses de Jupiter et de Saturne comme infiniment petites par rapport à celle du Soleil, que nous prendrons pour unité de masse, il est clair que CS sera infiniment petit du premier ordre; partant, l'aire décrite par le rayon vecteur de la projection du Soleil autour de C est infiniment petite du second ordre, et conséqucmment négligeable. Maintenant, si l'on suppose les orbites de Jupiter et de Saturne elliptiques dans l'inlcrvalle d'une révolution; que l'on nomme S|jl la masse de Jupiter, S^' celle de Saturne, et que l'on conserve en général les mêmes dénominations que ci-dessus, en observant de marquer d'un trait pour Saturne, les quantités correspondantes à celles de Jupiter; j'ai trouvé, en négligeant les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, que l'aire décrite, durant un instant infiniment petit dt, par le rayon vecteur de la projection de Jupiter est égale à

etqi :tion de Saturne

on aura donc

d[x/ia»(i— -<x^e^-~ "«'yM -h Six.' n'a'^fi — - a»e'»— ia'y'A zz: C,

C étant une constante; or on a

fS

— n» et :=«'»;

réquation précédente deviendra, par conséquent,

n~^Uix(i—^(x^e^—^a^y^\-{-n'~hix'{i— i a'^'«— -ia»/»") m C.

Si Ton suppose actuellement qu'après plusieurs siècles, les orbites des deux planètes changent par leur action mutuelle, et que Ton exprime par la caractéristique S les variations de leurs éléments, on différentiera l'équation précédente par rapport à S, en regardant C comme constante; ce qui établit une relation entre les inégalités des deux planètes, relation à laquelle les observations doivent satisfaire, si ces planètes n'ont éprouvé d'autre action sensible que leur gravitation réciproque. On aura donc

-+- /i~' dix{a}ede -{-a^ydy)

Si l'on nomme T le temps après lequel on suppose que les éléments /i, e. Y» ^\ ^' et y ont varié des quantités Sn, Se, Sy, S/i', Se' et Sy', et que l'on suppose que durant ce temps Jupiter ait fait i révolutions, on aura {voir le Mémoire de M. de Lagrange)

. i'',oo3o . ^ , 2% 7449 ,n'

D'ailleurs, — = 0,402528. De là, je conclus

ift/i ^{a^eie -i-a*ydy) -y-dft'n' *{x*e' Se' + ot^y' dy')=:o\

parlant, en négligeant les quantités de l'ordre de a'SnSy. et a.'Bn'S[i.', l'équation (Z) devient

ce qui donne

in'= — 3n.o,84iii9.

De là, il suit que l'équation séculaire de Jupiter est à celle de Saturne dans le même intervalle de temps, comme 1 ;o,84i49> et que d'ailleurs elles ont des signes contraires. Les observations satisfont, à la vérité, à cette dernière condition, mais non pas à la première, puisque l'équation séculaire de Saturne, loin d'être moindre que celle de Jupiter, est beaucoup plus grande.

On peut remarquer, en passant, que si l'équation séculaire de Jupiter était nulle, celle de Saturne devrait l'être pareillement; ce qui coïncide avec les résultats que j*ai trouvés précédemment, et ce qui confirme par conséquent leur exactitude.

Il parait donc certain que l'on doit chercher ailleurs que dans l'action mutuelle de Jupiter et de Saturne l'altération que l'on observe dans leurs moyens mouvements. On l'attribuera peut-être à l'action de leurs satellites; mais cela est impossible; car, si un système de corps très voisins les uns des autres se meut à une fort grande distance du Soleil, le centre de gravité du système décrit très sensiblement une ellipse constante autour du Soleil (mir le VI* Volume des Opuscules de M. d'Alembcrt). D'ailleurs, par la théorie des satellites et par les observations, il est prouvé qi satellites est compris dans des un très grand nombre de sièclt près du centre commun de gi

OKutrti de L. — VUI.

éléments de l'ellipse décrite par la planète peuvent être considérés comme invariables, en ne considérant que l'action de ses satellites.

J'ai observé (art. LVII) que la substitution des valeurs numériques de 6, 6, , . . . , i', 6', , . . . , 6", . . . , relatives à Jupiter et à Saturne, dans l'expression analytique de l'équation séculaire du moyen mouvement des planètes, la rendait nulle à très peu près, en sorte que les quantités extrêmement petites qui restent à la fin du calcul peuvent être

attribuées aux erreurs inévitables dans la détermination de 6, 6| ,

L'exactitude avec laquelle les différents termes de cette expression se sont mutuellement détruits dans ce cas m'a fait soupçonner qu'elle est identiquement nulle; en effet, il est assez peu vraisemblable qu'une égalité aussi parfaite entre ses termes positifs et négatifs soit due aux circonstances particulières du mouvement de Jupiter et de Saturne : j'ai donc cherché à vérifier cette conjecture, et je l'ai trouvée juste; d'où il suit que l'action des planètes les unes sur les autres et sur le Soleil n'a pu sensiblement altérer leurs moyens mouvements, depuis le temps au moins auquel on a commencé à cultiver l'Astronomie, jusqu'à ce moment. Gomme cette remarque me parait de la plus grande importance dans la théorie des planètes, et que, d'ailleurs, elle est contraire à ce qu'ont cru jusqu'ici tous les géomètres qui se sont occupés de cet objet, je vais exposer en peu de mots le procédé qui m'y a conduit.

Les géomètres savent que, b et b^ étant donnés, on a facilement par des expressions finies les autres quantités 63, ..., b\ b\^ 6!^, ..., 6\ 6",, . . ., comme M. d'Alembert l'a trouvé le premier (t?oirle II* Volume de ses Recherches sur le Système du monde). Soient

; 2 =z 6 -i- 61 cos0-i- ^jcosaô-f-. . .,

7 z ïTirzr = ^'-»-^'iCos9-i- 6, cosa0-+-. . .,

on aura [^voir les Recherches de M. de Lagrange sur Jupiter et Saturne ( * )]

, (i -f-5')ôi— aôfx^

*»- ^3ir]I) '

*»- ïô^r^I) '

U — I bil-ir z^) + biZ

-JM

De là, en faisant [x — |, j'ai conclu 6.= 2iL±i!)6.66,

, ^bz 3

lo , a 6,(i — 2*)*

— ^ 2Sbz Il6i(l-+-^') — ^ -!-^ — 5 — ^

tf f , £ ^

(*) CBwnw de Lagrange, T. I, p. 609.

,„ -^bz^+lb{i+z*y -6.. (14-.')-^ ^

Si l'on substitue ces valeurs dans l'expression de l'équation séculaire du moyen mouvement, on trouvera, après toutes les réductions, qu'elle se réduit à zéro.

J'ai cherché ensuite si, par de semblables substitutions, il ne serait pas possible de simplifier les expressions de l'accroissement de l'équation du centre et du mouvement de l'apogée, et j'ai trouvé qu'elles deviennent par là extrêmement simples et commodes pour le calcul :

Accroissement de Téquation du centre ii:iae'afjL'sinV£.36o»[6i(H-5«) — 3^5];

Mouvement de l'apogée suivant Tordre des signes = dfjL' /.36o») j z ^1 — ^^^ cos V [ 6i ( 1+ 5« ) — 3 6^ )]

Si l'on joint à ces formules celles du mouvement rétrograde des nœuds de l'orbite et de la diminution séculaire de son inclinaison sur le plan fixe, on aura toutes les inégalités séculaires du mouvement moyen des planètes exprimées par des formules aussi simples qu'on puisse le désirer, en sorte qu'il ne reste plus de difficulté que dans la détermination de 6 et 6,; mais les géomètres ont imaginé pour cela différentes méthodes qu'il serait inutile de rapporter ici.

Je puis me servir, pour prouver l'exactitude des calculs précédents, de la méthode dont j'ai fait usage, article LVIII, dans le cas particu-

lier de Jupiter et de Saturne; car si les formules précédentes sont exactes, il faut que l'équation (Z)

trouvée, article LVIII, soit vraie, en y supposant ^n = o, S/i'= o. Il faut donc que les valeurs de Se, Sy, Se', Sy' satisfassent à Téquation

(a) /i •d/x(ae3e-h aydy) -+- /i' *i|jL'(ae'de'-h ay'iy') = 0;

or on a

5e'=— aedfjLsinVt— 36o'>5[6,(i 4- «') — 3^5],

dy=zj (xy'zbx sini dfJL'£.36o

3y'=;:'- ^ay6|5*sinIdfjLi — 36o

De plus

Cela posé, si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (tf), on verra qu'elles y satisfont.

Voici maintenant une petite Table qui renferme toutes les inégalités séculaires du mouvement de la planète p^ troublée par l'action de la planète /?'.

Soient

S[x' le rapport de la masse de p' à celle du Soleil ; a la moyenne distance de p au Soleil ; OLca l'excentricité de son orbite; ay son inclinaison sur le plan fixe;

L la longitude de son apogée et F celle de son nœud à l'époque où l'on fixe l'origine du mouvement;

que a' y cLe'a\ ay', L' et F désignent des quantités analogues pour la planète/?'.

Soient, de plus,

et

-^=b -\-bx COS0-+-. . .;

(i — a5cos0-+- s')'

on déterminera b et b^ au moyen des expressions suivantes {voir le Calcul intégral de M. Euler) :

-^ [-^ 4(3tr)] ['^ 415^7)] ['+ 4(^] (r^y-^- •

Soit enfin île nombre des révolutions de p depuis Tépoque donnée, il faudra faire i négatif, si Ton veut remonter aux temps antérieurs à cette époque. Cela posé :

Table des inégalités séculaires du mouvement de p produites

par l'action de p'.

Mouvement moyen de Tapogée suivant Tordre des signes :

lae' afx7.36ool i^^i - ^-^cos(L'- L) [^(i -h 5«) — 3^-8]

Accroissement de Téquation du centre :

ae'afjL'sin(L'-L)«.36o<»[6,(i-h«*) — 36-5].

Diminution de Tinclinaison de l'orbite sur le plan fixe :

jzbi a/ sin (F— T) iy! iMo\ Mouvement rétrograde du nœud sur le plan fixe :

Équation séculaire du moyen mouvement, nulle.

Il parait donc constant que l'action réciproque des planètes ne peut causer de variation remarquable dans leurs moyens mouvements, au moins, aux quantités près de l'ordre de a*S(jL'; il pourrait arriver cependant qu'en poussant plus loin les approximations, on trouvât une équation séculaire; mais il y a tout lieu de croire qu'elle serait insensible, car elle ne peut être, ainsi que je l'ai observé (art. LV), que de l'ordre de a* S(jl', c'est-à-dire du même ordre que le produit de la quatrième puissance de l'excentricité de la planète troublante par le rapport de sa masse à celle du Soleil. Or, les quantités de l'ordre de a^ l\k' étant déjà excessivement petites, il est très probable que celles de l'ordre de a^ Sa' sont absolument insensibles.

Les altérations observées dans le moyen mouvement de quelquesunes des planètes dépendent conséquemment d'une autre cause que de leur action mutuelle. J'avoue que cette conclusion serait moins certaine si ces altérations suivaient une loi proportionnelle au carré des temps, car cela indiquerait sûrement une cause toujours agissante; or, jusqu'à présent, nous n'en connaissons point d'autre que leur gravitation mutuelle; il serait donc alors indispensable de pousser la précision jusqu'aux quantités de l'ordre de a^; mais, avant que d'entreprendre un calcul aussi pénible par son excessive longueur, et dont on a si peu lieu d'attendre quelque équation sensible, il faudrait être bien assuré de l'existence d'une pareille variation; or les observations sont bien éloignées de la démontrer, puisqu'elles indiquent à peine une altération dans les moyens mouvements, sans qu'elles puissent même nous en faire connaître la véritable quantité.

Détermination des inégalités séculaires de la Terre.

Je vais présentement déterminer les inégalités séculaires de la Terre, inégalités qui, malgré leur importance, n'ont point encore, ce me semble, été discutées avec exactitude. A la vérité, le célèbre M. Ëuler a cherché à les déterminer dans sa pièce sur les inégalités séculaires de la Terre, qui a remporté le prix de l'Académie en 1756; mais: 1^ cet auteur n*a point eu égard à la variation séculaire de l'équation du centre; 2® sa formule du mouvement moyen de l'apogée me paraît incomplète et diffère de celle trouvée précédemment, ce qui vient de ce qu'il a négligé les termes multipliés par l'excentricité de la planète troublante, en conservant néanmoins ceux qui sont multipliés par l'excentricité de la planète troublée; j'ai donc cru qu'il n'était pas inutile de discuter de nouveau ces objets, d'autant plus que le mouvement moyen de l'apogée du Soleil, qui parait connu avec assez de précision, servira à déterminer la masse de Vénus, et, par conséquent, la diminution de l'obliquité de l'écliptique résultant de l'action des planètes. '

Inégalités séculaires produites par l'action de Vénus. Les Tables de M. Halley donnent

de là j'ai conclu

^ = 4,995814 et ^»i=: 8,871351.

Les mêmes Tables donnent, pour le commencement de 1750, la longueur de l'aphélie de Vénus égale io*7''io'3i'', et, suivant les Tables du Soleil de M. l'abbé de la Caille, la longitude de l'apogée du Soleil à cette époque égale 3*8**38'4"- De là, on aura

On a de plus, suivant M. Halley,

lac'— 3,8439549, ]ae =3,aQ536io,

Soient présenlement S^' = î— > et i le nombre des révolutions de la

Terre depuis l'époque donnée; cela posé, on aura

AugmenUtion de la plu3 grande équalion du centre.... — o',it6oini,i Mouvement direct de l'apogée 37', io3 m, i

Pour déterminer maintenant le mouvement de l'orbite du Soleil, il Tant la rapporter sur un plan fixe; or la position de ce plan étant arbitraire, je choisis celui qui, au commencement de lySo, était incliné à l'écliptique de i°3o', et dont le nœud descendant se trouvait à cette époque dans l'équinoxe du printemps; on aura ainsi, pour cet instant.

Longitude du nœud ascendant de l'orbite du Soleil sur le plan

fiie 0*0° o'o'

Inclinaison de l'orbite sur son plan fixe i*3o'

Suivant les Tables de M. Haltey, on a, pour la même époque,

Longitnde du nœud ascendant de Vénus sur l'écliptique.... a'U'aS'ja* InclinaisoD de l'orbite de Vénus à l'écliptique 3*33' ao'

De la j'ai conclu

Longitude du nœud ascendant de Vénus sur le plan fiie 33*33'5o'

Inelinaisoa de son orbite sur le plan Oxe i" 3' 37'

Ce sur le

pli égal k

LXI, Inégalités séculaires produites par l'action de Jupiter,

Les Tables de M. Halloy donnent

d'où j'ai conclu

^ = 0,0077351 et 6| = o,oo44ooa6;

on a de plus, suivant les mêmes Tables,

lae'r= 3,6882078; Longilude de Taphôlie do Jupiter au commencement de 1750. . . 6* io''33'4C'

ce qui donne

D'ailleurs

Cela posé, je trouve

Augmentation de la plus grande équation du centre du Soleil. . o'',i6o38< Mouvement de son apogée 7',io99ox

Les Tables de M. Halley donnent encore

Longitude du nœud ascendant de Jupiter sur Técliptique au commencement de 1760 3*8* i5'49'

Inclinaison de son orbite à Técliptique i* 19' 1 o''

De là j'ai conclu

Longitude du nœud ascendant de Torbite de Jupiter sur lo plan fixe 44'34'56'

Inclinaison au plan fixe \'*^i* o'

Partant,

Ce qui donne

Diminution do l'inelJDaiaon de l'orbite du Soleil sur le plan fixe, o', 158491 MouvcrooDt rétrograde du nœud o', 8793 i

La variation de l'équation du centre est proportionnelle à l'excentricité de la planète troublante. Or, l'excentricité de Mercure étant fort considérable, il semblerait nécessaire d'avoir égard à son action; mais la petitesse de sa masse et sa proximité du Soleil rendent son effet presque insensible, comme je m'en suis assuré par le calcul. On peut encore négliger l'action de Mars, quoique son excentricité soit pareillement fort grande, de sorte que je puis me borner ici à ne considérer que l'action de Vénus et de Jupiter.

L'action réunie de Jupiter et de Vénus produit, dans l'équation du centre du Soleil, un accroissement égal à

et dans son apogée, un mouvement égal à

a7',io3m,i+7',io99/.

Il reste présentement à déterminer la quantité m,. Le moyen le plus exact pour y parvenir est de chercher, par l'observation, le mouvement annuel de l'apogée du Soleil, et de l'égaler à celui que donne la théorie. Ce mouvement parait assez bien déterminé par l'observation, et les meilleurs astronomes s'accordent à peu près sur sa quantité. M. Le Monnier ta suppose, dans ses Institutions, de G') secondes par année, par rapport aux équinoxes; M. l'abbé de la Caille, de 65', 5, et M. Maycr, dans ses nouvelles Tables, de GG secondes. Je la supposerai, avec M. l'abbé de la Caille, de G5",5; et, en admettant avec cet astronome la précession moyenne des équinoxes de .^o"^, je formerai l'équation suivante

5o',3333-+- 27', io3, ' '"" '

d'où je conclus

ce qui donne la masse de Vénus égale à ôôgô— de celle du Soleil. On on conclut :

Augmonlation totale de l'équation du centre du Soleil

Mouvement de son apogée

Diminution de Tinclinaison de l'orbite du Soleil sur le plan fixe. . Mouvement direct du nœud

On voit, par ces formules, que Téquation du centre du Soleil n'est pas constante, et qu'elle va en augmentant de i3 secondes environ par siècle.

Méthode pour déterminer la variation de l'obliquité de l'écliptiquc.

Que DAS {Jig. 4) représente la position de l'écliptique pour une époque donnée; MAB celle du plan fixe auquel je rapporte le mouve-

Fig. 4.

ment de Torbite de la Terre, et AN celle de l'équateur. Je suppose maintenant que, en vertu de la précession des équinoxes, l'équateur parvienne à un instant donné dans la situation MOR et que, par le mouvement des nœuds, l'écliptique parvienne dans la situation BO. Cela posé, je conçois que l'écliptique BO prend la situation infiniment proche CR, et je fais BO = ç^, BA = s, et l'angle ABO = ?» ? étant très petit. Soit de plus l'angle BOZ, ou l'angle formé par l'écliptique et l'équateur, égal à Y, on aura par les analogies différentielles de la Trigonométrie sphérique :

i^ En supposant 9 constant et s variable,

rfV =Z'—dz sint' sinf ;

2® En supposant z constant et 9 variable,

dV = d(^ cos p.

Partant, en supposant ^ et js variables à la fois,

dW = dff cosf' — dz sint' sin9.

Ce serait l'expression de la variation de l'obliquité de l'écliptique, si Téquateur était fixe dans la position MR; mais, si je conçois qu'il prend la situation LH, et que durant ce mouvement l'inclinaison de l'écliptique croisse de la quantité </a, en sorte que BKH = BOR + dct, il est facile de voir que l'on aura

CHX = CRZ -h da.

Partant,

dV =idx-^d(f cosc — dz sin^^ sin9,

et c'est l'expression totale de la variation de l'obliquité de l'écliptique. On aura pareillement :

i^ En faisant varier s seul,

. ef^cosRMsinH smV '

or on a

sinH : siof' :: sinf : sinRM.

Partant,

. ., sin casino . , ^fzo sine col RM smM = — . p^^ et dv=^ — -^ — r— =7 •

Si, du point R, on abaisse sur CM l'arc perpendiculaire RF, on aura, dans le triangle sphérique rectangle CRF,