I : cosj' :: tango : coiCRF
Partant,
cos CRF
9 étant toujours supposé très petit; on a donc
ce qui donne
Soit
on aura
I — sin*CRF = 9« cos«i> sin'CRF,
sin CRF ^ I cp' cos* r.
Partant,
or on a
ou
Partant,
donc
CRF = 900 -y,
sinCRF = i- '^'
y = Ç COS i\
MRF=:90°4-y — V;
ces CRF : cosMRF :: cotr : cet RM
9cosr:sin(V — çcosi') ::cotr: cotRM.
.r»w cott'SinfV — ©cosi*)
cotRM = ^^ -^ -i
cpcost'
dç = . .7 ^=az—'(pdz ces v cet V.
çin V ^
2*^ Si Ton fait varier Tangle B, on a
, û^cpsini'
langV '
donc
, ,^ 9c^5C0s^-h^9sinr
tangV
Je suppose que l'on veuille déterminer la position de Téquinoxe pour un instant donné; pour cela, je le rapporte au plan fixe, en abaissant des points 0 et H (Jîg. 4) les arcs OK' et HV perpendiculaires sur AM. On aura très sensiblement BK'= BO et CH = CV; mais si l'on
fait HR = </x,> *h^ représentant le mouvement instantané des équinoxes produit par l'action du Soleil et de la Lune, on aura
VK'= VF - FK'= rfx - '9d'^o^^ + d<^^^^^
^ langV *
ce sera le mouvement instantané en longitude du point de Téquinoxe rapporté au plan fixe.
La latitude du point de Téquinoxe sera (psini^; on aura donc ainsi sa position dans l'espace; Taugroentation différentielle de Tobliquitc de l'écliptique sera
Pour avoir cette augmentation pour un temps quelconque, il faudrait intégrer les équations
, - , d(psini>-h (pdzcosif
dç^idy-hdz \7 9
^ tangV
dy=:da'^ d<^ cos if — dz sïtii^ sïn^ ;
et, si Ton voulait remonter à des temps éloignés, comme le siècle d'Hipparque, il paraîtrait nécessaire de faire attention dans les expressions de ç et de J3 aux inégalités proportionnelles au carré du temps ; ce calcul est très facile, d'après ce que j'ai dit précédemment; mais, comme les observations anciennes sont trop peu exactes pour y comparer les résultats du calcul, je me contenterai de déterminer la variation de l'obliquité de l'écliptique qui a lieu pour ce siècle-ci.
Je puis m'en tenir alors à l'expression différentielle, sans recourir à l'intégration. Je suppose donc que d\ représente la variation de l'obliquité de l'écliptique depuis 1760 jusqu'en i85o; au commencement de 1760, on a cosi'==i, sinç'=o, de plus, rfç = — o'',5ii20f ; et, puisqu'il s'agit d'avoir d(f durant l'espace d'un siècle, il faut faire i= 100, ce qui donne
D'ailleurs, je ne ferai ici aucune attention à doL, qui, comme on sait,
ne renferme que des quantités périodiques; on aura donc
c?V= — Si", 120;
c'est la diminution séculaire actuelle de l'obliquité de Fécliptique.
Cette diminution est une suite nécessaire des attractions des planètes, en admettant le mouvement annuel de Tapogée du Soleil, de G5'%5, par rapport aux équinoxes, ce qui parait assez bien constaté par les observations. Si donc les observations célestes donnaient l'obliquité de l'écliptique constante ou à peu près constante, cela indiquerait sûrement l'action de quelques causes étrangères; et, pour expliquer cette constance, il faudrait recourir aux attractions des comètes dont l'effet a pu détruire, au moins en grande partie, celui des planètes. En effet, les orbites des comètes étant fort inclinées à l'écliptique, il peut arriver que leur action, quoique passagère, fasse équilibre avec l'action permanente des planètes; mais une pareille supposition est trop peu vraisemblable pour l'admettre. On doit donc regarder la diminution de l'obliquité de l'écliptique comme aussi certaine que tou3 les autres phénomènes célestes, puisqu'elle dépend de la même cause. Les observations anciennes et modernes paraissent même l'indiquer, quoiqu'elles soient encore insuffisantes pour fixer sa valeur. Cette découverte est ainsi réservée aux siècles à venir; mais, comme il semble, par le peu de différence qui règne entre les résultats des astronomes, que le véritable mouvement de l'apogée du Soleil sera plutôt connu par les observations, que la diminution de l'obliquité de l'écliptique, les calculs précédents qui donnent l'un de ces phénomènes au moyen de l'autre serviront à accélérer cette découverte.
Addition à l'article XLVIII.
J'ai dit, article XLYIII, que, malgré l'incertitude qui parait résulter des recherches de M. de Lagrange, sur l'équation séculaire de la Lune, elle était cependant vraisemblable; ayant examiné depuis, avec plus
d'attention, les calculs de cet illustre géomètre, il m'a paru que, loin d'être contraires à l'accélération du moyen mouvement de cet astre, ils lui sont favorables; c'est ce que je me propose de faire voir ici. Pour cela, je suppose que l'on ait sous les yeux l'excellente pièce de M. de Lagrange, qui a remporté le prix de l'Académie pour Tannée 1774 (*). J'en extrais la Table suivante :
Erreurs des Tables de Mayer Date "^
des avec sans
éclipses obsenrëes. réqaation séculaire, réquation séculaire.
720 avant Jésus-Christ — - 24 . 55 — aS . 3o
38!i » — 26 — ii.So
aoo » — 17 — i.i5
364 après Jédus-Ghrist — 12. 40 +12.12
J'observerai relativement à cette Table : 1° que les calculs où l'on a rejeté l'équation séculaire de M. Mayer ont été faits en rétablissant le mouvement moyen séculaire de M. Cassini, lequel est de yt^T." moindre que celui de M. Mayer; 2^ que M. de Lagrange, conformément à une remarque que M. de Lalande a faite dans son Mémoire sur les équations séculaires (^Mémoires de l'Académie^ année 1757), fixe l'instant de l'éclipsé de 720 av. J.-C. 47" plus tôt que MM. Cassini et Mayer. Or, ces deux astronomes s'étant appuyés sur cette observation pour déterminer le moyen mouvement de la Lune, il parait naturel de se servir : i^ du moyen mouvement séculaire que M. Cassini aurait trouvé en faisant usage de la remarque de M. de Lalande; 2^ du mouvement et de l'équation séculaire que M* Mayer en aurait tirée. Or, M. de Lagrange trouve que le moyen mouvement séculaire de la Lune de M. Mayer en est augmenté de 25"', et l'équation séculaire de 3'',5. D'ailleurs, le moyen mouvement séculaire de M. Cassini en doit être diminué de 58''. Il faudrait donc corriger, d'après ces nouveaux éléments, la Table de M. de Lagrange; mais j'observe que rien n'oblige
(<) Œuvres de Lagrtinge, T. VI, p. 335.
OBuvreê dt L. ^ VIII. 33
27i SUR LE PRINCIPE
de supposer exactement nulle Terreur de l'observation de Tannée 720 avant J.-C. J'ai donc préféré de n'augmenter le moyen mouvement de Mayer que de 1 5'', en augmentant son équation séculaire de 3"", 5, parce que bien qu'il en résulte une erreur pour l'observation de 720 avant J.-C, cependant celles de toutes les autres observations sont par là beaucoup diminuées. Je dois observer encore que j'ai négligé les petites variations qui doivent résulter de ces changements dans les équations de la Lune; sur cela, voir la Pièce de M. de la Grange (*). Voici présentement la Table de cet illustre géomètre corrigée :
^ Erreurs des Tables de Mayer
Date ^1, ^^
des avec sans
éclipses obseri'ëes. Téquation séculaire. Tëquatioii séculaire.
720 avant Jésus-Christ -t- 3. 12' 0.0
364 après Jésus-Christ — 5.36 -*- 25. 7
On voit ainsi que les Tables de Mayer, en y faisant les corrections que nous venons d'indiquer, représentent, avec l'équation séculaire, les anciennes observations aussi bien qu'il est possible, vu le peu d'exactitude de ces observations; tandis que, sans Téquation séculaire, elles donnent des erreurs beaucoup au-dessus de celles que Ton peut supposera ces mêmes observations. On pourrait, à la vérité, diminuer un peu ces erreurs, en changeant le moyen mouvement de M. Cassini : mais, quelque combinaison que Ton fasse, on aura toujours une erreur de plus de 20' sur quelques-unes de ces éclipses.
D'ailleurs, suivant M. de la Grange (*), si Ton veut calculer les éclipses précédentes sans Téquation séculaire, on doit rétablir le moyen mouvement de M. Cassini ; si cela est, il faut pareillement Tadopter pour les éclipses modernes. Cependant, ce savant auteur
(' ) OEuvres de Lagreuige, T. VI, p. 395. (*) " » p. 394,
trouve ('), en comparant aux Tables de Mayer quelques éclipses observées dans les xiv^ et x\^ siècles, que le moyen mouvement parait bien établi par Mayer; et il propose, en conséquence, de le conserver en supprimant Téquation séculaire; or, si Ton calcule dans cette supposition les éclipses anciennes de la Table précédente, on trouvera des erreurs énormes. Il parait donc impossible de faire cadrer, avec un moyen mouvement constant, les observations anciennes et modernes; et partant, il semble nécessaire (^admettre une équation séculaire à très peu près proportionnellelSai carré du temps.
(1) Œmres de Lagrange, T. VI, p. 397.
MÉMOIRE
SUR
