LA FIGURE DE LA TERRE ET SUR LES FONCTIONS
multiplie la fraction » — g^ par celle qui exprime la probabilité que les
orbites seront comprises dans une aussi petite zone que celle qui les renferme, on verra que la disposition actuelle de notre système planétaire serait infiniment peu probable si elle était due au hasard, et qu'elle annonce par conséquent, avec une certitude équivalente ou même supérieure à celle d'un grand nombre d'événements dont il nous paraîtrait absurde de douter, l'existence d'une cause régulière qui a déterminé les planètes et leurs satellites à se mouvoir dans le même sens et presque dans le même plan; je supprime cette analyse, que M. Daniel Bernoulli a donnée depuis longtemps, et qui d'ailleurs est fort simple.
Quelle est présentement la cause qui peut avoir ainsi déterminé le mouvement des planètes et des satellites ?A-t-eIle été particulière à ces astres, ou bien a-t-ellc influé sur le mouvement de tous ceux qui tournent autour du Soleil? La première de ces questions me semble fort difficile à résoudre; et j'avoue qu'après y avoir longtemps réfléchi, et après avoir examiné avec attention toutes les hypothèses imaginées jusqu'ici pour expliquer ce phénomène, je n'ai rien trouvé de satisfaisant. Quant à la seconde question, on peut aisément y répondre; il suffit pour cela : i^ de calculer l'inclinaison moyenne des orbites de toutes les comètes observées, et de voir de combien elle s'éloigne de 4^*^; car, en supposant les comètes lancées au hasard, il y a -autant à parier qu'elle sera au-dessus qu'au-dessous de 45®; 2® de connaître le rapport du nombre des comètes directes à celui des rétrogrades, et devoir de combien il s'éloigne de l'unité; car il est aussi probable qu'il sera plus grand que moindre. Ces calculs ont été faits par M. du Séjour dans son excellent Ouvrage sur les comètes; ce savant auteur a trouvé que l'inclinaison moyenne des soixante-trois comètes observées jusqu'à présent était de 46^16', ce qui s'éloigne peu de 45®» et que le rapport des comètes directes aux rétrogrades était |, ce qui s'écarte peu de l'unité. De là il conclut, avec raison, qu'il n'existe pour les comètes aucune cause qui les détermine à se mouvoir dans un sens
DES OItBITES DES COMETES. S81
plutôt que dans un autre, et à peu près dans le même plan, et qu'ainsi celle qui détermine le mouvement des planètes est entièrement indépendante du système général de l'univers.
Cette observation intéressante de M. du Séjour m'a fait naître l'idée de soumettre à l'Analyse les probabilités que l'inclinaison moyenne des comètes et le rapport du nombre des directes à celui des rétrogrades, seront compris entre des limites données, en supposant qu'elles aient été projetées au hasard ; ce calcul est même nécessaire pour donner plus de certitude à cette observation; car si, par exemple, l'inclinaison moyenne des orbites était 45"-!- «. et qu'il y eût un très grand nombre, comme un million, à parier contre l'unité qu'elle doit être au-dessous, on pourrait en conclure avec beaucoup de vraisemblance qu'il existe une cause qui détermine les comètes à se mouvoir dans un plan plutôt que dans un autre; il est donc essentiel de connaître tes probabilités que l'inclinaison moyenne sera au-dessus ou au-dessous de i5''-hx. Le même raisonnement peut s'appliquer au rapport du nombre des comètes directes à celui des rétrogrades. Il est facile do calculer la probabililéquece rapport sera entre deux limites données; il sudBt. pour cela, d'élever le binôme (| -f- 3) ^ '^ puissance indiquée parle nombre des comètes; soit n ce nombre, en développant (; + 5)", le terme
exprimera la probabilité qu'il y aura n — (a comètes directes, et \l comètes rétrogrades; donc, si l'on veut déterminer la probabilité que le rapport des directes aux rétrogrades sera compris entre les deux limites "~-^ et "~,'^i il faut prendre la somme des termes du binôme (\ ■+■ î) élevé à la puissance n, compris entre le terme
et le le
cette somme exprimera la probabilité demandée; mais il est bien plus difficile de déterminer la probabilité que rinclinaison moyenne des orbites sera comprise entre deux limites données; ce problème me parait être un des plus compliqués de toute l'analyse des hasards, surtout lorsqu'on se propose, ainsi que je l'ai fait, de trouver une formule générale pour un nombre quelconque de comètes. J'avoue qu'il m'aurait été impossible d'y parvenir sans le secours d'une méthode que j'ai donnée ailleurs ( ' ), pour trouver directement l'expression générale des quantités assujetties à une loi qui sert à les former. J'espère que l'application de cette méthode au problème dont il s'agit ne sera pas inutile pour en faire connaître la nature et les avantages.
Je si^pose un nombre indéfini de corps lancés au hasard dans l'espace et circulant autour du Soleil; il s'agit de trouver la probabilité que l'inclinaison moyenne de leurs orbites sur un plan donne, tel que l'édiptique, sera comprise entre deux limites données, comme 40" et oc".
Par inclinaison moyenne, j'entends la somme de toutes les inclinaisons divisée par le nombre des orbites.
Pour résoudre ce problème, je ne considère d'abord que deux corps M et N, et je suppose que la droite AB (^g. 1) représente go" ou la plus
grande inclinaison moyenne des deux orbites ; je commence par tracer une ligne AZMB, dont chaque ordonnée soit proportionnelle li la pro-
(■) OEui'rtt de Laplaee, T. VllI, p. 97.
habilité que rinclinaison moyenne sera égale à l'abscisse correspondante ÂY; je nommerai cette ligne courbe des probabilités. Or, si Ton fait AY = 0? et YZ = j, j' sera proportionnel à 20?, depuis A jusqu'au milieu P de la droite AB; car si l'inclinaison moyenne des deux orbites est x^ X étant moindre que ^a^ il est visible que cela peut arriver d'autant de manières qu'il y a de points dans la droite ^x\ en effet, l'inclinaison de l'orbite de M peut, dans ce cas, être également ou o, ou dx^ ou idx^ ou ^dxy ou etc. jusqu'à aor, en représentant par dx l'accroissement infiniment petit de l'inclinaison de cette orbite. On peut donc faire YZ=: 2AY; et partant, AZM sera une ligne droite, et APM un triangle rectangle tel que PM = 2 AP = a.
Présentement, la ligne BM doit être entièrement égale à la droite AM, parce que, à égale distance des points A et B, les ordonnées doivent être égales, vu qu'il est aussi probable que l'inclinaison moyenne approche de la limite A comme de la limite B; la ligne AMB sera donc composée de deux droites égales AM et BM, telles que PM = a.
Si l'on veut avoir maintenant la probabilité que l'inclinaison moyenne sera comprise entre les deux limites Y et y^ il faudra diviser l'aire YDlizy par l'aire entière AMB, et le quotient représentera cette probabilité.
Supposons qu'il y ait trois corps M, N et P; soit divisée {fig^ 2) la
Pîg. a.
droite AB = a en trois parties égales, Aa, a6, 6B; et cherchons la probabilité que l'inclinaison moyenne sera ^ale à l'abscisse quel-
conque AY» ou, ce qui revient au même, traçons la courbe AmMnB (les probabilités; soit AY = x, x étant supposé d*abord moindre que A a ou \a. Je suppose que Tun quelconque des trois corps, M par exemple, ait une inclinaison que je désigne par/; il faut conséquem.
ment que Tinclinaison moyenne des deux autres soit -y puisque,
par hypothèse, l'inclinaison moyenne des trois corps esta:; or,
étant moindre que -» il est aisé de voir, par Tarticle précédent, que le
nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est Sa: — /. Il faut multiplier présentement cette quantité par df, et en prendre l'intégrale, depuis /= o jusqu'à/= 3a:, pour avoir le nombre total des cas dans lesquels l'inclinaison moyenne des trois corps peut être a:, et Ton trouvera \x^ pour ce nombre; on peut donc, depuis A jusqu'en a, sup-
poser l'ordonnée YZ égale à - — ; ce qui donne
ay=\x^
pour l'équation de la courbe AZM, et partant aussi pour celle de la courbe B/i, en y faisant commencer les x au point B.
Déterminons maintenant la nature de la courbe /?tM/i; j^observe d*abord qu'elle doit être composée de deux parties entièrement égales, mM et M/i, P étant le milieu de la droite AB; soit ay=^z {fig- 2)» ^^ \y = ja-h5, et soit /l'inclinaison de l'orbite du corps M; les deux autres corps N et P auront donc ensemble l'inclinaison a -+- Ss — /; or, soit 3z — /= M, en sorte que l'inclinaison de ces deux corps soit
a -h M, et partant leur inclinaison moyenne - -f- -; le nombre des cas
dans lesquels cela peut arriver est, par l'article précédent, a — u o\x a 4-/— 3-; il faut donc multiplier cette quantité par dfti l'intégrer, depuis/ = 0 jusqu'à /= 35, pour avoir le nombre des cas qui ont lieu dans cet intervalle; on aura ainsi Zaz — \z^ pour le nombre de ces cas; il faut maintenant déterminer le nombre des cas qui ont lieu depuis/=3« jusqu'à/=a, et pour cela je fais /= 35 -+-5; l'inclinaison totale des deux corps N et P sera donc a — s, et, partant, leur
inclinaison moyenne -; or, le nombre des cas dans lesquels cela
peut arriver est, par l'article précédent, a — s\ multipliant donc ccllo quantité ds^ et l'intégrant depuis 5 = 0 jusqu'à ^ = a — 3^5, on aura Ja' — fs', pour le nombre des cas qui ont lieu depuis/== 3:; jusqu'à /= a. Rassemblant donc tous ces cas, on aura \a} -h 3^3 — 95^, pour le nombre de ceux qui donnent l'inclinaison moyenne des trois corps égale à {a 4- 5. Ainsi, on peut supposer l'ordonnée yz égale à
\ — ^ — ^, et l'équation de la courbe /wM/i sera
Si l'on veut présentement avoir la probabilité que l'inclinaison moyenne des trois orbites sera comprise entre deux limites données, on cherchera Taire comprise entre ces limites, et on la divisera par Taire entière de la courbe AMB; le quotient exprimera la probabilité demandée.
Supposons maintenant quatre corps M, N, P, Q, et divisons la droite AB (^fig. 3) en quatre parties égales A a, aP, Vh et /^B; la
courbe AmM/iB sera composée de quatre parties A/«, /wM, M/2 et n\\, telles» cependant, que l'on ait km égal à B/i, et mM égal à /tM.
Déterminons la nature de ces courbes, et, pour cela, soit comme ci-dessus AY = j:, o: étant moindre que ^a, YZ = j; soit de plus/l'iiiclinaison de l'orbite du corps M; la somme des inclinaisons des orbilos des trois autres corps N, P et Q sera \x — /, et partant leur inclinaison
moyenne sera ^^ l or, par Tarticle précédent, le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est
Si Ton multiplie cette quantité par df, et qu'on l'intègre depuis /=o jusqu'à /= 4^» on aura yâ?' pour le nombre des cas dans lesquels
l'inclinaison moyenne des quatre orbites peut être x; partant, on peut supposer que depuis A jusqu'en a, l'équation de la courbe Am est
Pour avoir l'équation de la courbe mM, je supppose ay = js, partant Ay:=ja -hz; soit / l'inclinaison du corps M, la somme des inclinaisons des trois autres corps sera donc a -+- 4^ — /; partant, leur inclinaison moyenne sera - — x^ '^ ^^» ^^"^ 9"® 4^ —/est une quantité
positive, le nombre des cas dans lesquels cette inclinaison est possible, est (art. précédent)
si l'on multiplie cette quantité par df, et que l'on intègre depuis/= o
jusqu'à /= 4^» on aura ia}z -f- %az^ — -j^^'t pour le nombre des cas qui ont lieu dans cet intervalle.
Pour avoir le nombre de ceux qui répondent à l'intervalle compris
entre /=45 et f=a, je fais/— 4^ = ^; - — %" devient donc ^-T—y soit a — s = u, on aura j pour Tinclinaison moyenne des trois
orbites; or le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est, par
l'article précédent, ^ u^ ou {{a — sy ; multipliant cette quantité par ds
et l'intégrant, depuis $ = o jusqu'à s = a — ^z, on aura g^' — y^'»
pour le nombre de tous les cas possibles depuis/= ^z jusqu'à /== a;
donc, le nombre de tous les cas dans lesquels l'inclinaison moyenne des quatre orbites peut être Ja + a est
Jo'+ ao'« + 803' — Sa»'; on peut ainsi supposer que. depuis a jusqu'en P, l'équation de la
courbe mM est
a*y^^\a*+ ia}z + 8aa' — 3a a'.
S'il y avait cinq corps M, N, P. Q et R, en partageant la droite AB en cinq parties égales, on aurait les courbes correspondantes à chacune de ces parties, au moyen des courbes relatives à quatre corps, comme nous venons de conclure celles-ci, au moyen des courbes relatîves à trois corps. De là on peut inférer généralement que les courbes relatives à n corps peuvent toujours se déduire de celles qui sont relatives à n — I corps. Pour établir d'une manière générale la relation qui eiiste entre ces difliérentes courbes, supposons la droite ÂB {fig. 3) divisée en n parties égales, et déterminons l'équation de la courbe relative à la partie r^*""; soit ^^ a -h s la distance d'une de ses ordonnées au point A, 2 étant moindre que -; soit encore '-^^ cette ordonnée, ou, ce qui revient au même, soit rYa.» 'e nombre des cas dans lesquels il peut arriver que l'inclinaison moyenne des n corps soit -^^—a-^z. Cela posé, si l'on désigne par/ l'inclinaison du corps M, la somme des inclinaisons des n — i autres corps sera (r — i)a + ns —/; partant, leur inclinaison moyenne sera
(r-.)fl + «^-/
or il peut arriver que ns — / soit positif ou négatif; je le suppose d'abord positif; le nombre des cas dans lesquels il peut arriver que
■3Z «nt
288 SLR L INCLIN AlSOxN MOYENNE
Kn multipliant cette quantité par df^ et Tintégrant depuis /= o jusqu'à/=w:?, on aura, pour le nombre des cas qui répondent à cet intervalle,
nt
Si nz—feai une quantité négative, soit nz —/= — s, on aura ' — !2^ — pour rinclinaison moyenne des /^ — i corps; or
et le nombre des cas dans lesquels cela est possible est r-^^ donc on a
a — ns r
pour le nombre des cas depuis s = o jusqu'à 5 = a — /is ou, ce qui revient au même, depuis /=i75 jusqu'à /= a; partant
f t— Il ', ■ / n — i, .
telle est l'équation générale au moyen de laquelle, lorsqu'on connait les courbes relatives à n — i corps, on peut déterminer celles qui sont relatives à n corps.
11 faut présentement, au moyen de l'équation (a), trouver l'expression générale de ryn.z'^ pour cela, j'obsen'e que ^7»,» a une valeur de cette forme
OÙ r^n* r^tn • • • sout dcs fouctions dc T ct 72 qu'il s'agit de déterminer; pour y parvenir, je ferai usage d'une métbode que j'ai exposée ailleurs
(voir la page 97 de ce Volume) ; l'expression précédente de ryn,t donne
donc on aura
on aura pareillement
..r,^^ = r-,A«.,(^j +r-iB«t(^j H...4-r-iG„-,.
Donc
-^S'-.».-.[(;rêT)"--(^)-'=-]-
L*équation (a) donnera donc
En comparant cette équation avec l'équation (i), on aura les sui-
vantes :
j '•^'ï ^^ ( ,,__" j ) (rArt-i r-lA;,i),
(^) / rCn =^ TTUTS l /» J" ) (rCn-i — r-lW-i),
rG/, = '* ( r''/ï-i — ,.iG;,i ),
Ces équations sont aux difTérences finies partielles, excepté la dernière qui donne sans aucune intégration la valeur de ^H,, lorsqu'on connaît ;.A„, ^B„, ....
On peut déterminer encore ^H;, par la considération suivante; il est visible que
rJ'/i.O — r—\y a
c'est-à-dire que l'ordonnée de la courbe des probabilités, qui répond à l'extrémité de la (r — iy«»nc partie de la droite AB divisée en n parties égales, est la même que l'ordonnée qui répond au commencement de la r**"* partie; donc on a
(D ,H„-r-,Aj-j -hr-iBJ-J -H...4-r-iH„
ou
Partant, en intégrant par rapport à r seul, on a
-•'■=2['-*-(ïr'-'->'-er'--].
la caractéristique £ étant le signe d'intégration pour les différences finies. Déterminons présentement ^A», ^.Bn, ....
La première des équations (W) donne
et en intégrant, par la méthode de la page 74 de ce Volume, on aura
lA» —
H étant une constante arbitraire; or, posant n = 2, on a fA^^a; donc H = i; on a d'ailleurs
\i) \i) " \/i — ly ■" 1.2.3. ..(/i — i) "^ V(/ï — i)'
en désignant, comme je l'ai fait ailleurs {voir la page 74 de ce Volume), le produit i.2.3...(« — i), par y(j7 — i); on aura donc
partant.
soit
on aura
donc
•^•""VC/i-i)""'
or, posant /i = 2, on a aA;,^ -— 2, car on a, par l'article II, donc
Hizii et ,A„ = -^^^^^— ^(n-i);
partant.
A.=(^ru-,-^«^ié!^(«-.)]=
soit
et Ton aura d'où Ton tire
or, posant /i = 2, on a jA^ = o; donc
H=:o et ,A„==/^(-l^liK^Li:^.
En continuant d'opérer ainsi, on trouvera
'' '* Vi;r=T) i.2.3...(r — I)
ou
le signe + ayant lieu si r est impair, et le signe — s'il est pair. Tobserverai ici, relativement au produit ^. — — -r, que l'on a
lorsque w — r = o et lorsque n — r=i; en effet,
Or, cette dernière quantité est égale à 1, lorsque n — r= i et lorsque n — r = o; si r est plus grand que n, ces deux nombres étant supposés
positifs et entiers, on a
parce qu'alors on a évidemment
Déterminons maintenant rB,.
Il est facile de voir, par les articles précédents, que l'on a
fi„=o, ,C„=o,
Ensuite ta seconde des équations (^) donne
d'où je tire, en intégrant,
H étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, j'observe que l'équation diSerentielle en ,8, ne commence à exister que lorsque R = 3, en sorte que, pour avoir H, il faut connaître jB,; or il est visible que jB} est le terme tout constant de l'expression de i^'s,,. et partant, la dernière des équations C^) donne
* " V(/i — a)' De là on aura
H étant une constante arbitraire ; or, posant n = a, on a ,B„ = u ; donc
H=-a et
On aura, de la même manière,
or, posant n — 2, ^8;, = o; donc
H-o. En continuant d'opérer ainsi, on trouvera généralement
^ n'^-^a (/i — 2)(/i — 3)...(/i — r-hi)
OU
La troisième des équations (^) donne
d'où je tire, en intégrant,
Pour déterminer H, j'observe que l'équation diflerentielle en jC„ ne commence à exister que lorsque n = 4; il f^ut donc, pour avoir H, connaître jC, ; or il ost visible que 2C3 est le terme tout constant de l'expression de ^^,z\ partant, la dernière des équations {W) donne
donc
-Mf)'^
ainsi
De là on tirera
,j/l-3fll
•<^—-r:7:vTr:rT) (" + ")•
Pour déterminer H, il faut connaître ,€,; or celte quantité est le terme tout constant de l'expression de ^^y^ ainsi la dernière des équations (^) donne
,C,= ,A,QVa..B.?z^Ç;
DES ORBITES DES CiOMÉTES. 395
partant,
De là je tire
«—„• r(„-3)(/i-4) «-3-1 ''^— rïlvTÏ^TïïL TTî +"]•
or on a «C, =o; donc H=o. En continuant d'opérer ainsi, on trouvera généralement
f, «—g' r(„-3)(«-it). ..(«-/-) (B-3)...f«-/- + in
" " -- i.a LV{r-3)V(n-/--i) V(/- - 3) V(« - /■)]'
ur ayant lieu si r est impa a même manière,
le signe supérieur ayant lieu si r est impair, et l'inférieur s'il est pair. J'ai trouvé, de la même manière.
rD„-
le signe supérieur ayant toujours lieu si rest impair, et l'inférieur s'il est pair.
On aura ainsi, par la méthode précédente, la loi de chaque terme, quels que soient r et n, mais cela ne suffit pas encore; il faut, de plus, avoir la loi de ces termes les uns par rapport aux autres, c'est-à-dire la loi du ç'™' terme de la suite
Nommons rTnS"-' ce terme; rT„ sera fonction de q, de r et de n;
lie manière il ner de quelle i termes déjà
trouvés
rA„ = ±
