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on trouvera que leur inclinaison moyenne est de ^2^ii\ Pour soupçonner dans ces comètes une cause qui tende à les faire mouvoir dans le plan de Técliptique, il faudrait qu'il y eût un très grand nombre à parier contre l'unité que, si elles étaient lancées au hasard, leur inclinaison moyenne surpasserait 42^3o'; or nous venons de trouver qu'il y a 839 contre 161, ce qui ne fait pas six contre un à parier qu'elle sera au-dessus de 37®^, et il y a considérablement moins à parier qu'elle sern au-dessus de 42° 3o'.

Sur la figure de la Terre.

Lorsque Newton voulut déterminer la figure de la Terre, il considéra cette planète comme une masse fluide homogène, et il supposa que la figure qu'elle a prise en vertu de son mouvement de rotation est celle d'un sphéroïde elliptique. Cette supposition était fort précaire; les géomètres en ont ensuite démontré la possibilité; mais, si la figure nécessaire pour l'équilibre, au lieu d'être elliptique, eût été d'un autre genre, on aurait été fort embarrassé pour la déterminer, parce qu'il est beaucoup plus facile de s'assurer si une figure donnée convient à

Téquilibre, que de chercher immédiatement celles qui peuvent y convenir. Ce dernier problème est sans contredit un des points les plus intéressants du Système du monde; voici quelques recherches qui y sont relatives :

Problème. — Si une masse fluide homogène, dont toutes les parties s'attirent en raison réciproque du carré des distances, tourne autour d'un de ses axes quelconques, on propose de déterminer la figure quelle doit prendre.

Je supposerai ici deux choses : i^ que cette figure diffère infiniment peu de la sphère ; 2*^ qu'elle est une surface de révolution. Cela posé :

Soit AMB {fig. 5) la courbe qui, par sa révolution autour de Taxe AB, engendre la surface proposée, et ATB un cercle décrit sur AB comme

diamètre; soit R un point quelconque du corps dont V soit la projection sur le plan AMB, et que Ton mène par le point M, et dans le plan AMB, la tangente MN à la courbe AMB, la droite HQ parallèle à AB, et la droite MP perpendiculaire sur AB ; que Ton mène ensuite AQ et LY, parallèles à PM, et que Ton élève, perpendiculairement au plan AMB, la droite MZ, qui sera visiblement tangente à la surface de révolution ; soient q l'angle VMN, xs l'angle NMQ, ? Tare AT, CB = CA = 1 ; soient encore RM = r, et /i l'angle RMZ, on trouvera facilement que la molécule R est égale à r^ sinpdpdq dr; ainsi l'action de cette molécule sur le point M est sinpdpdqdr; en la décomposant en trois, la première parallèlement à MN et de M vers N; la seconde, perpendiculai-

:m SUR L'INCLINAISON MOYENNK

romcnt à cette droite; et la troisième, parallèlement à MZ, on aura, pour la première, sin^p cos q dp dqdr; d'où, en intégrant successivement par rapport aux trois variables p^ q et r, on aura l'action entière de la masse sur le point M, parallèlement à MN, et de M vers N; mais, en intégrant par rapport à r, on a sin'/^cos^âf/^^/ijr; r étant la droite MR, prolongée jusqu'à ce qu'elle sorte du corps; donc

r sin'/? cos q dp dq

exprimera l'action de la masse suivant MN. Maintenant, si l'on nomme aA la force centrifuge d'un point placé à l'équateur, a étant supposé infiniment petit, on aura, en négligeant les quantités de l'ordre a^, aAsinç pour cette force au point M, ce qui produira suivant la tangente MN la force aAsinç cosf, et comme elle agit de M vers S, elle doit, pour l'équilibre, balancer l'attraction du corps de M vers N; d'où résulte l'équation

•/ft */«

17 ytIC

r %\v}p cosqdp dq = ah sin 9 COS9.

Il ne s'agit donc plus que de déterminer r. Pour cela, j'observe que TM doit rester le même, en changeant seulement de signe, lorsque 9 devient négatif; soit donc

TM = a sinç r(cos9),

r(cosf) exprimant une fonction de cosç qu'il s'agit de connaître;

FM = sin9[i 4- a r(cos9)],

et cette équation peut généralement représenter toutes les courbes rentrantes composées de deux parties égales, etsemblablement situées de part et d'autre de l'axe AB ; on a

MV = r sin/?, RV = r cos/?, VL = PM — r sinp s\n(q -h w),

CL = COS9 + r sinp cos{q + m) ;

partant

(RV)' -h ( VL)* = r' cos*/? -h sin'ç -h a a sin*9 r(cos9) — a r sin 9 sïnp sin (^ H-w)

— aarsin9sin/>sin(7 -4-cj)r(cos9) H-r*sin*/?sin*(^-f-cj);

mais» le point R étant supposé à la surface du corps, on a, par la nature de la courbe génératrice,

(RV)«4- ( VL)«= [i - (CL)»] [i + a«r(CL)].

Soit

sin"9r(cos9) = n(cos9);

on aura

[i — (CL)«] [i 4- aa r(CL)] = i - (CL)» 4- aa n(CL);

donc, en comparant les deux expressions de (RV)* 4- ( VL)' et substituant au lieu de CL sa valeur, on aura l'équation

/•t ar sin9 sïnp sin (^ -h w) -f- ar C0S9 sin/> cos(7 -h w) = aan[cos9 -H rsin/>cos(^-f-!n)] ~aan(cos9)

^^ n(cos9) sinp sin(q -h m) ;

d'où l'on tire

r = a sin9 sinp sin (^ -*- in) — a COS9 sin/^ cos(çr h- bj)

H — ^n[cos9-Hrsinjocos(^H-Bj)] n(cos9)

aoc

n(cos9) sin/7 sin (9 + ci).

sin 9

Or soit TM = afx, on aura

|ULsin9 = n(cos9); ensuite

y£/9»+aoc(/fA€/9COS9 "?

sin9</9 c/u .

C0S1SJ= ^ ^ — =Rin9 — tt-LTRinfprnRfp;

Vc/9'+aac/ffc^9COS9 "?

(le là on tirera

r ^= 2 s'inp sïnq -h 2(x -J-siiKfSxnp cosq

aafxsincp sinj^sint/ -f- aafx COS9 sîn/^cos^

«n[cosy -h 2 sin*/?sin^(cosy siny — siny cosy)] — «n(cos(p)^

sinpsin^ '

partant on aura

.1t ^TC

/ / sin'/>cos^J 2 sinpsin^ 4- aa-j-siny sin/?cos<7

-f- aafjLsinysin/^sin^ 4-2a/jicos<psin/>cos^

an[cos9 H-asîn'/>sin^(cos7sin9 — sin^cosy)] — aII(cos9)"| ,

sinp sinq \

.— (xh sinycosy.

Mais on a généralement

/ / V CO^qdpdqz^o

en supposant que cos^ ne se trouve point, dans P, élevé à une puissance impaire; car, dans cette supposition, il est visible que l'élément P dq sera le même pour deux valeurs de q prises à égale distance

de part et d'autre de -; mais cos^ sera le même dans les deux cas, avec

des signes contraires; d'où l'on voit que la somme des deux éléments

Pcosçrrfy, correspondants l'un à 9= a, l'autre à y = - 4- a, sera

nulle, et qu'ainsi

j j P COSqdpdq=zo;

l'équation précédente deviendra donc

/ / 2 sin'^ cos'7 ( T^sin9-+-fxco89] cÇprf^

lît ^tz

j I — ^ ^ jII[cos9-!-2sin*josin^(cos^sin9— 8in^cos9)]— II(co89)J£//[?€/<7 = Asin

du . d(u.8inv) dUicosQ)

soit doDccosf =x, et II(cosf)=^; partant

rfn(co8ip) __ ^ ■ dtf dx

Il[cos7 + 3 9in'/>8in9(co8?sin<p — siufcos^)]

=^ + a8inVsiny(cos98inç — 811190089)^

d'y + 4sin'^5ln'9(co8çsinç — 8inf CO89)' v-,

de plus, on aura

/ / "isia* p cas* q dp dq=:-;Ti\

H- 4Bin'^8ÎR7cos9(cosf 8înf — Biofcos^)' ^-5

+ 8sinVsin*7COs?(cos?sin<p — sinçcos?)* ^'^ ,

H- <//»(/7 = Ax.

Or il est aisé de voir, par ce qui précède, que l'un ne doit admettre dans le développement des puissances de (cos^ sin<p — sin^cos^), que les termes dans lesquels cosy se trouve élevé à une puissance impaire, d'où l'on lire

^dy + / ( sin*/>cos?|a^cos? + 4 —BinVsinîC-- axsinycosy)

'pdq.

iMais on a

f ^ ^ I .3.5.7. . .(2« -f- l) Jù 2.4.0. ..21

iT:

r • fn.'^i t« t/ ^ i.3.5...(2/i-4-2£ — i) r"" . ,

(2/1— 2£-hl)(2/î — 2£-h3). ..(4^ — 3) J '

on aura donc

h , fl^y 4

77 1.2. e/j7* 1 5 1.2.3. é/j?' 35 jc

(1 + 2JÎ*) -+-.. .