indx^'^ (2/H-i)(2/i-h3)...(4^-Hi

^In+t^/i-i-l y

[/ tx« (2/H-l)2/l ,, ,. ,

^ (^^ + i)a/i(2/i-i)(2/i-2) an H- 3^ ^ ,, ^

Voilà l'équation infinie qu'il faut résoudre pour avoir la valeur de j^; il est évident que l'équation dPy = o en est une intégrale particulière, ce qui donne une ellipse pour la courbe du méridien ; on aura, dans ce cas,

or il est visible, à l'inspection de \^/ig» 5 (p. 3o3), que j^ = o lorsque ic = I et lorsque a? = — i, ce qui donne

o = c-f-^4-a et o=zc — b-ha;

d*où Ton tire

b=:o et a=z—c;

partant

or l'équation (Z) donne, en y substituant au lieu de j cette valeur,

partant

Donc

d'où Ton tire

r = -^ - (i — wt'*) =: -rr — sin'o= asinc/.

F-76-sin?;

Je suppose que la force centrifuge à Téquateur soit à la pesanteur comme amii; on pourra, en regardant la masse comme sphérique, supposer la pesanteur égale à la masse divisée par le carré du rayon CB, ce qui donne ^t: pour l'expression de cette force, partant

a/i=:5cm|7: et PM — sin9(n- j-aw/);

d'où il suit que le rayon de l'équateur est i -h^a/w, et, par conséquent, l'aplatissement de la masse est égal à ^^oLm; ce que Ton sait d'ailleurs, le suppose maintenant

on aura

TT 10 ID 1,1, dx^

et déterminant c de manière que

O = ! rC,

on aura l'équation

i.2.aa7* i5 1 .2.3.aa;' 35;r

Je suppose que l'intégrale de cette équation soit z = 9(^)9 on aura

>' = 9(^) -+- ex* -h bx -h a;

la supposition de A = o donne ^^ = 5 = <p(ir); on voit donc que le mouvement de rotation du corps ne fait qu'ajouter à la valeur de y la quantité cx^ -+- bx-^a; ainsi toutes les figures de révolution dans lesquelles l'équilibre a lieu lorsque la masse est immobile ont également lieu lorsqu'elle tourne autour de son axe de révolution, pourvu qu'on ajoute à l'expression de y, cx^-^ bx 4- a. Mais, lorsque A = o, existet-il d'autre cas d'équilibre que la figure sphérique? Il parait difficile de se prononcer sur cet objet; voici cependant une remarque fort générale qui exclut un grand nombre de figures. Je suppose que, dans le cas de A = o, on ait

r, ^, . . ., [X étant des nombres quelconques, et a^ étant la puissance de X la plus haute; si l'on substitue cette valeur dans l'équation (Z), le terme goc^ en donnera un de cette forme

^^,-.L4H(filliJ,.4f*(fx-.)(f*-s.)^ 1

et, comme il sera le plus élevé par rapport à x, il faut que l'on ait

(t) 0-3^4 f^(f^-l) »4 fX(fX-l)(tX-2)

Voyons donc quelles sont les valeurs de [x qui peuvent satisfaire à cette équation; en la considérant sous cette forme, il serait fort difficile de déterminer ces valeurs, mais on peut la mettre sous une forme beaucoup plus simple de la manière suivante.

Je reprends pour cela l'équation (A), et j'observe qu'elle se réduit à celle^i, en faisant A — o,

o=j j ^y 2'BinV8'nîcosî(cos?sinç — sinçcosT)'^-^-^,

+ a*sin'/>sin*^cos7(cos9SÎn9 — sin^cos^)* T^f~a

+ Idpdtj.

Si l'on suppose, dans cette équation,

y^gm* et sin'ç:^ — ic', il est visible qu'elle donnera l'équation (ï); or, dans cette supposition, on a

partant (')

(cosfsinf — sin^cosyj'^ j;'(v'^^'(cos9 + V'^ siny)' = a:'(v'— i)'(cosi^ + V^^ sintiy).

Le terme

/ / -. = ^ — -r-iz 3"'8În*''+'p8in'""'ff cosfffcososinœ — siriffcos»)'" <//»</'/

deviendra donc

^..(fA — l)(p — 3)...(f^ — 3W>t-l)

i.3.3...an XI I -T=r- ^"-'(— i)"sin"«*'/>.a'"8in'"-'îco39(cogan^-t-\/— I t\ninq)dpdq ;

or on a

3*"-'BÎn*"-'y = ± [8in(an — t)ç — (an — i)sin(a/i — 3)? +. ..],

<') On devrait avoir

(cosç siof — BJDf coa^y = ^W— i)' 1 cobç + 1/— ' i/ ' + ^S'"?) '

:, on peut prendra.

' de l^ Éditeur.)

:312 SUR LINCLINAISON MOYENNE

le signe -h- ayant lieu si n est impair et le signe — s'il est pair; de là on aura, en intégrant,

I 2^n-i sin"*" *^cosy ^ 1 (cosa/ty -hy/—-! sin2 n(/)dfj[ z= — {n;

parlant

iT, j^TZ

t -. 5 î^7-^sin*'*+*/?sin*'*-*y cosy(cosy sin9 — %\nq cos^y^ dp d(j

on trouvera, de même,

7rfx(fx — i)...(^ — an) r''