an-+-i) J

L'équation (A) devient ainsi

=/"«'"^ [^^^ «"•'/' - ^^^';.'a!3^~'^ -"*/' --•••] dp.

ce qui donne

f sin/>(i — sin*/?)î*c(p— / sïnp{i — ixs\n*p)dp

I S in/? cos*i*/> — {ï — ii)dpl s'mp dp —[x j s'inp ces*/? ^P ? d'où Ton tire, en intégrant,

( j) o = C COS*'*"*''/? + (i — ft) COS/I -f- {/X COS'/?'

H faut déterminer la constante arbitraire C de manière que l'intégrale soit nulle lorsque cos/7=i, et faire ensuite, dans l'équation (v), Qosp = — i; or il peut arriver deux cas : i** La valeur de [t. peut être telle que

dans ce cas Téquation (y) donne

mais cette valeur doit être rejctée par la nature du problème, puisque le terme ^0?!^ deviendrait imaginaire lorsque x serait négatif; 2® La valeur de (x peut être telle que

dans ce cas, l'équation ( j) donne

-a(i — fx) — Jfxrzro;

2fJL-+- I

d'où Ton tire [jl* — (jl = o; partant [jl = o et [l=i; d'où il suit que l'expression de y ne peut avoir que cette forme

v = ûf -f- bx -{'Cx''-h fx'-h. . .,

r,s, ... étant moindres que l'unité; or, en substituant cette valeur dans l'équation (Z), il est visible que l'équation

y satisfera séparément; d'où il suit, par l'analyse précédente, que r étant supposé le plus grand des exposants r, ^, . . . ne peut être que o ou i; donc, toutes les fois que la valeur de y peut être exprimée par un nombre fini de termes, elle ne peut avoir que cette forme y=a-hbœ; maintenant il est aisé de voir que, dans ce cas, la figure du corps doit être sphérique; car on a (/ig. 5), y = o lorsque a: = i et lorsque .r = — i; d'où l'on tire

a-h6 = o et a — b = o; partant j' = o.

Je dois observer ici que M. d'Alemberl a déjà fait une remarque semblable pour le cas où les exposants de ^ sont des nombres entiers et positifs (voir le Tome V des Opuscules de ce grand géomètre).

Il serait utile d'étendre ces recherches au cas où les couches de la masse fluide sont inégalement denses; c'est ce que je me propose de faire dans un autre Mémoire.

OSiwrM Je L, — TUI. 4o

Sur les fonctions.

M. de Lagrange a donné, dans le Volume de l'Académie de Berlin pour l'année 1772, un très beau Mémoire sur Tanalogie qui rëgne entre les puissances positives et lesdifférences, aussi bien qu'entre les puissances négatives et les intégrales. (Voir, dans le Volume cité, un Mémoire qui a pour titre : Sur unenou\^elle espèce de calcul relatif à Vintégration et à la différentiation des quantités variables.) En suivant cette analogie, il est parvenu à plusieurs théorèmes fort intéressants sur les fonctions; mais, comme cette voie est indirecte, et que d'ailleurs ce grand géomètre semble regarder comme difficile la démonstration directe de ces théorèmes, je vais ici les démontrer par une méthode assez simple, et qui, de plus, a l'avantage de faire voir pourquoi l'analogie des puissances et des sommes ou des différences a lieu.

Pour simplifier le calcul, je ne considérerai qu'une seule variable; il est facile d'étendre les recherches suivantes à tant de variables que l'on voudra. Soit donc u une fonction quelconque de â? : on peut chercher l'intégrale ou la différence finie /i'*™* de m, en fonction des intégrales et des différences infiniment petites de cette quantité; on peut chercher l'intégrale ou la différence infiniment petite /i'*™* do u en fonction de ses intégrales et de ses différences finies; or voici comme M. de Lagrange résout ces deux problèmes.

En désignant par les caractéristiques A et S les différences et les intégrales finies, et supposant accroître de a dans ii, cet illustre auteur trouve d'une manière directe et fort élégante l'équation

(i) Aa^e^' — i;

en observant dans le développement du second membre d'appliquer les exposants à la caractéristique d\ c'est-à-dire au lieu de [^] »

d'écrire ^» et ainsi de suite; e est le nombre dont le logarithme hy-

perbolique est l'unité. De l'équation (i) M. de Lagrange conclut, en vertu de l'analogie entre les puissances positives et les différences,

/ ^a Y (a) A'tfmVc^-*' — ij ;

et supposant n négatif et changeant A""!/ en 2"m, il conclut, en vertu de l'analogie entre les puissances négatives et les intégrales,

(3) 2««ii=

en observant toujours d'appliquer les exposants à la caractéristique d, et de changer les différences négatives en intégrales; c'est-à-dire, au lieu de d~^udx^ d'écrire Judx, et ainsi du reste.

Au moyen des équations (2) et (3), on aura donc la différence finie /i»*™*', et l'intégrale finie n**"* de 1/, en fonction de ses intégrales et de ses différences infiniment petites.

Présentement Téquation (1) donne

e*^ = I 4- Au ;

donc, en prenant les logarithmes,

d*oii, en vertu de l'analogie des puissances positives et des différences, on aura

en observant dans le développement du second membre de cette équation d'appliquer à A les exposants des puissances de u. Si l'on fait n négatif dans l'équation (4)» et que Ton change

d^^udx'* <^"

on aura

//i U dx"^ =Z — -^ -r- , [1(14- Aa)J'»

un observant dans le développement du second membre de cette équation d'appliquer les exposants des puissances de lu à la caractéristique A, et de changer en intégrales finies les différences finies négatives.

Voici maintenant une méthode directe pour trouver ces théorèmes. Je représente par u' la quantité i/, lorsqu^on y suppose a: devenir cr 4- a. Soit u'= u-h 5, on aura, en difi*érentiant par rapport à a,

au' as

[lonc

âx da* dx

=Jdcc

et

du'

u'=u-^fd,c^;

on aura pareillement

du' du r , d^u'

dx dx J dx^ '

et ainsi de suite; d'où l'on tire

, du , .d^u ,, ^d^u

u' = u-^0L-j- -hhoi} -=-; + ^ « T^i

dx dx^ dx*

et

^ du , ^d*u ., ^d*u

h, h\ . . . étant des coefficients constants et indépendants de a. On aura pareillement

\dx dx)

d'où je conclus

En suivant ce procédé, on aura généralement L'équation (a) donne

du . .wie^a

c^ '. du

Soit j- = 5, on aura

dz

on aura pareillement

dz 1 , \ri d^z

et ainsi de suite; <l'où je tire

^^ z "=: -- j z dx — mz — a/n' -7— — ....

On aura pareillement Or

^^ I zdx=z - I z dx^ — m j zdx — . . . ,

d'où l'on voit que £^2 a une expression de cette forme

V ^=: -i / zdx*'\ — I zdx-hK'z-h K'a^ H-...;

en suivant ceprocédé» on conclura généralement

r,f^ ... étant d^n coefficients constants et indépendants de a.

Je suppose, dans les équations (a) et (6), u = e', ce qui donne

Al/ :=: 6^(6^-- l), âk* u = e' {e"" -- l)*,

ot généralement

ensuite

V ^ Tî '^

et généralement

cela posé, les équations (a) et (6) donneront : la première

(e*— i)"rz:a'»-H7a'*-^*-h. . .,

la seconde

donc on aura

et

A'»a = \e *"— ly

pourvu que, en développant les seconds membres de ces équations, on applique les exposants des puissances à la caractéristique d, et qu'on change les différences négatives en sommes. L'équation (a) donne

^" =« ^ ■*"« -^rfïï^-^--

d'où l'on voit que a" ^-^ sera donné par une équation de cette forme

L'équation (6) donne pareillement

\ f ii«fa:« = 2'»a-t-/2«-»a-^/'2'-«w4-...,

s, s\ ...y /, /', ... étant des coefficients constants et indépendants de a. Soit donc u = e^; Téquation (c) donnera

a«=ie«— n-5(^-— i)*4-5'(e«— i)'-h . . .;

or on a

donc, si l'on développe le second membre de cette équation par rapport aux puissances de c*— i, il donnera

partant» l'équation (c) est la même que celle-ci,

pourvu que, dans le développement du second membre, on applique les exposants à la caractéristique A.

L'équation (d) donne, en faisant u = e^.

or

d'où il est facile de conclure

320 SUU L'INCLINAISON MOYENNE

pourvu que, dans le second men^bre de cette équation, on applique à la caractéristique A les exposants des puissances, et qu'on change les différences négatives en intégrales.

Reprenons l'équation

du

e^^ — I = Ai£ ou

M. de Lagrange en conclut, en vertu de l'analogie des puissances et des

différences,

du ,

or e'^^ représente ici l'unité, plus la différence finie de m, lorsqu'on y suppose X devenir x -h a'; cette équation renferme la théorie générale des interpolations, et elle est facile à démontrer par ce qui précède; car, puisqu'on a

on aura

.du ex.' ^ a' A • (x! -j- — lu H-/— A'a4-. . ., dx OL •'a

Donc, nommant 'Ai/ la différence finie de u, lorsqu'on y suppose x devenir X ■+- a', on aura

aj? a \^ a* ^ a /

^', g\ ... étant des coefficients constants et indépendants de a et de a'

Soit a = e*, et l'on aura

fit' / a'* a' \

e«' = I -H -- (c«- i) H- (e«- 1)1 ( ^ 4- ^' - -h^M -h . . . . oc \ oc ot /

Or

développant donc le second membre de cette équation par rapport aux puissances de e*— i, on aura

donc on aura