INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES PLANÈTES

Mànoires de l'Académie royale det Sciences de Paru, année 1773, 1" Partie; 1775.

Si l'on a une équation diflërentielle. telle que dy = pdx, p étant fonction de :r et dey, son intégrale générale renferme une constante arbitraire à laquelle on peut conséqueroment supposer toutes les valeurs possibles; on aura ainsi une infinité de solutions de l'équation différentielle, c'est-!)-dire d'équations entre œ et y, qui la rendront identiquement nulle.

Il était assez naturel d'en conclure que toute solution d'une équation diFTérentielIc se trouvait comprise dans l'intégrale générale et qu'il suffisait, pour les faire coïncider, de donner à la constante arbitraire une valeur déterminée. M. Euler est le premier qui ait remarqué le contraire {S^émoires de l'Académie de Berlin, année géomètre a de plus donné, dans le I" Volume de une méthode pour déterminer si une solution d'un tielle du premier ordre est comprise ou non dans rate, sans connaître cette intégrale; mais, outre qi semble pas pouvoir s'étendre aux degrés ultérieurs

leurs que la solution est sous cette forme, y == X, X étant fonction de x; ce qui la rend souvent impraticable.

Puisqu'il peut exister des équations qui satisfont à une équation différentielle, sans être comprises dans son intégrale générale, on ne peut se flatter d'avoir, par la seule intégration, la résolution complète des problèmes qui en dépendent; il est de plus essentiel d'avoir égard à toutes les solutions particulières, et de les déterminer. Une théorie de ce genre de solutions importe conséquemment au progrès de l'Analyse infinitésimale, et doit être regardée comme un supplément nécessaire au Calcul intégral. Ces considérations m'ont fait entreprendre les recherches suivantes sur cette matière.

J'appellerai solution d'une équation diff^érentielle d'un degré quelconque toute équation d'un degré inférieur qui satisfera a cette équation difl*érentielle; intégrale particulière, toute solution qui se trouvera de plus comprise dans l'intégrale générale; et solution particulière^ toute solution qui n'y est pas comprise.

Si l'on a l'équation diff^érentielle

fxM dx -h fxN dy r= o,

il est visible qu'elle deviendra nulle par la supposition de (x = o, en sorte que l'on pourrait considérer cette dernière équation comme une solution de l'équation diflerentielle; mais il ne sera point ici question de ce genre de solutions, qu'il est très facile d'ailleurs de déterminer; nous considérerons celles qui satisfont à l'équation différentielle proprement dite, c'est-à-dire à l'équation mise sous cette forme

dy=^p dx.

Il est aisé de prouver l'existence des solutions particulières, en considérant l'équation difîérentielle

y dy -h X dx z=l dy \]x^ -+- ^* — o} ;

car l'équation

satisfait visiblement à cette équation différentielle» sans être cependant comprise dans l'intégrale générale

puisque, de quelque manière que l'on détermine la constante arbitraire C, il est impossible d'en conclure

Présentement, tous les problèmes que l'on peut se proposer sur ce genre de solutions se réduisent aux deux suivants :

Étant donnée une équation différentielle d'un ordre quelconque, d'un nombre quelconque de variables, et dont on ne connaît point V intégrale complète :

i^ Déterminer si une équation d'un ordre inférieur qui y satisfait

est comprise ou non dans son intégrale générale;

2^ Déterminer toutes les solutions particulières de cette équation différentielle.

Voici pour, les résoudre une méthode fort simple, et qui n'est restreinte ni par l'ordre de l'équation différentielle, ni par le nombre des variables. Je supposerai d'abord qu'il n'y en a que deux, et que l'équation est différentielle du premier ordre. Je la représenterai conséquemment par celle-ci

p étant fonction de x et de^. Cela posé :

Problème I. — Déterminer si une solution donnée de l'équation diffé-

rentielle dy =pdx est comprise ou non dans son intégrale générale, sans connaître cette intégrale.

Soit [A = o la solution donnée de l'équation différentielle dont je supposerai l'intégrale complète exprimée par l'équation (p == o. Si l'on construit, au moyen de deu^ ^* — *' — ^^ a = o et ç = o, deux courbes

HCM et LCN {^fig* i), sur le même axe AB des abscisses dont l'origine soit fixée au point A, et que Ton détermine la constante arbitraire de Téquation 9 = 0, par cette condition que la courbe LCN passe par un point donné C de la courbe HCM, il est visible que si l'équation (x = o est comprise dans celle-ci, ç = o, les deux courbes LCN et HCM doivent coïncider dans tous leurs points; si cela n'est pas, l'équation (x = o est une solution particulière.

Fig. 1.

Si l'on prend maintenant, dans les deux courbes, deux ordonnées quelconques PM et PN répondantes à la même abscisse AP, et que Ton fasse BP = a, AB = o?, CB = j, PM = /, et PN = Y' ; marquant d'ailleurs par la caractéristique S les différences dans la courbe HCM, par la caractéristique d les différences dans la courbe LCN, et supposant dx et Zx constants, on aura, comme l'on sait.

OLcly a} d^y

dx