cLx^ 1.2.3 dx
Or, afin que les deux courbes coïncident dans tous leurs points, il faut que Ton ait constamment y = Y', quel que soit a, ce qui ne peut être, à moins que l'on n'ait, au point C,
ày cfy dx dx
àx'
dx^
ix^ dx*
J'observe présentement que si, au lieu du point C, on eût pris sur la courbe HCM un autre point quelconque C\ on aurait eu pour ce
|>alnt les mêmes équations, parce que ta constante arbitraire de l'équalion 9 = 0 n'entre point dans les valeurs de^. -r^, ■■■; de là il suit que les équations précédentes doivent avoir lieu en mémo temps que celle-ci [i = o, quelle que soit a*, pour que cette dernière équation soit une intégrale particulière. On peutdonc ainsi déterminer si l'équation (A = o est comprise ou non dans celle-ci, 9 = 0; elle y sera comprise, si elle satisfait aux équations
^ rf>- ^y — ^' ^ — ^J.
autrement, elle ne sera qu'une solution particulière. Or on peut s'assurer si ces équations peuvent être satisfaites, sans connaître Tinté- ){rale générale 9 = 0; car, de l'équation ^ = o, il est facile de conclure les valeurs de^^. i-^. ■■■; je les représente par f, v', v" De plus.
d'y dp ^P^ — ^P ^ da* d-x dy djc dx dy
Soit/»' cette quantité ( par ■—- j'entends la différence entière de/), divisée par dx, et par -p j'entends le coefllcient de dx, dans la diflerencede/>; il en est de même de toutes les expressions semblables j; il est facile d'avoir, par un pareil procédé, les valeurs de 7^1 -?(' " '■ soient />",/>', . . . ces valeurs; les équations précédentes deviendront
La première de ces équations a nécessairement lieu, puisque l'équation ft = o satisfait à l'équation différentielle dy =pdx; ainsi, ce ne
t apercevoir si la soUiuliëre.
Si l'équation 7 = 0 était une intégrale particulière, on aurait
il faudrait donc que Téquation y = o rendit nulles les quantités/?, p\ p'\ ... ou, ce qui revient au même, les valeurs de ^i -t-^» ^3' •••»
tirées de l'équation dy=^pdx; voyons quelle doit être pour cela la nature de p : je suppose qu'on le réduise dans une suite ascendante par rapport à j, on aura
/,/',/", ... étant fonctions de a?, et n étant nécessairement positif; on peut donc mettre/? sous cette forme j^çr, q ne devenant ni infini, ni zéro, en vertu de l'équation j = o; présentement, que l'on différentie l'expression précédente de p réduit en séries, on aura
Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de ^> sa valeur /j" '^fy -*-•••» on aura
On trouvera pareillement
et ainsi de suite; or il est aisé de voir, en examinant la loi de ces différences, qu'elles ne peuvent s'évanouir toutes par la supposition de y = o que dans le cas où n est égal ou plus grand que l'unité; d'où il suit que si l'équation y = o est une intégrale particulière de Téquation différentielle dy=pdx, p est réductible à cette forme j"y, // étant nécessairement positif, égal ou plus grand que l'unité, et q res-
tant fini, lorsqu'on y faity == o; si /i est positif et moindre que Tunité, l'équation y = o n'est qu^une solution particulière. Il pourrait arriver cependant que/>, au lieu d'être réductible à cette
forme y''q, le fût à celle-ci, ..^ > r étant positif; la supposition de y = o satisferait à l'équation dy =pdx, parce que, en faisant y = o, TT^-y devient nul, le logarithme de zéro étant infini. Mais l'équation y = o n'est alors qu'une solution particulière, parce que (l-yY est toujours infiniment moindre que — > quelque grand que soit r, et
quelque petit que soit /z, lorsque^ = o; ce cas rentre donc dans celui où n est moindre que l'unité.
On peut concevoir encore que p est réductible à celte Terme e yq, c étant plus grand que Tunité; car Téqualion y = o satisfait alors à celle-ci
dy -^ .
mais 7 i=o est, dans ce cas, une intégrale particulière, parce que e^ est infiniment plus grand que —9 quelque considérable que Ton suppose n; ce cas
rentre donc dans celui où n est plus grand que Tunité. On prouvera de la môme manière que, quelle que soit la Terme de/?, l'équation différentielle se rapportera toujours au cas de n égal ou plus grand que l'unité, ou à celui de n moindre que l'unité (*).
Comme on a, dans le cas particulier oix y = o est une solution de l'équation diflerentielle, un moyen fort simple pour reconnaître si cette solution est en même temps une intégrale particulière, je vais chercher à y ramener le cas général où la solution est une équation quelconque entre x et y.
(^) Cetle addition en pclits caractères, ainsi que celle do la page 36i, ont été publiées par Laplace postérieurement à l'impression du Mémoire, mais dans le même volume des Mémoires pour 1772, 1'' Partie, p. 65 1. On a cru devoir les placer aux endroits indiqués par Laplace lui-même. (Ifote de l'Éditeur,)
Soit, comme ci-dessus, [x = o une solution quelconque de l'équation dy =pdx\ elle donnera, par ce qui précède, v — p = o; ces deux quantités ^Qiv — p doivent conséquemment avoir un facteur commun, lequel sera la vraie solution de Téquation différentielle; ainsi, je puis considérer [x comme étant ce facteur lui-même. J'observerai ici que, par facteur d'une quantité, j'entends toute fonction qui, égalée à zéro, la fait évanouir. Je conçois maintenant [x sous une forme telle que
-p et -p ne deviennent ni zéro, ni infinis par la supposition de (x = o;
c'est ce qui aura toujours lieu, si les facteurs de (x n'y sont point élevés à d'autres puissances que l'unité; je suppose, en effet, que toutes les valeurs qui satisfont pour y dans l'équation (x = o; soient y = M, y = W, y = M'', . . . , M, M', M", . . . étant des fonctions différentes de X, et que l'on ait
Partant,
^ = (7-M')(/-M')...-h(/^M)(7-M-')...-+-(7-M)(7-M')...+... et
Or il est aisé de voir, cela posé, qu'aucune des équations j — M = o, j — M'=o, ... ne peut rendre infinies ou nulles les quantités -^
Maintenant, soit n l'exposant de la puissance à laquelle le facteur tx est élevé dans la quantité v —p, en sorte que l'on ait
q ne devenant ni infini, ni zéro, par la supposition de [x = o, et /i étant
nécessairement positif; puisque l'on a
àf.
•qdx =
àj
cette équation est évidemment l'équation dy^pdv, mise sous une autre forme. Maintenant, puisque fA est fonction de x et de /, on peut avoir ^ en fonction de a; et de [ji; de cette manière. — ? 3^ deviendra une fonction de ce et de [x, que je représente par h, h restant toujours fini dans la supposition de (i = o ; on aura ainsi
rffji r^ f^i" A dx ;
l'équation dy =pdx étant mise sous cette forme, il est aisé de voir, par l'article précédent, que l'équation [j: = o ne peut en être une intégrale particulière que dans le cas où n est égal ou plus grand que l'unité; autrement celte équation n'est qu'une solution particulière. Je suppose que l'on ait
djC y ^j;\ ( ^I
équation à laquelle satisfait celle-ci
a;*-j-^' — a' — o; on aura, dans ce cas,
Partant, n=^, d'où il résulte que l'équation a?*4- j^ — a* = o n'est qu'une solution particulière.
Je reprends l'équation rf(jL = \k"hdx, et je réduis (jl^A, dans une suite ascendante par rapport à [jl; soit
/, /', ... étant fonctions de x; que l'on différentie présentement cette expression de [jl"A par rapport à x seul, en regardant (jl comme fonction de X et dey; elle deviendra, en divisant par dx^
11 est aisé de voir que cette quantité devient infinie par la supposition de (X := o, en supposant que n est moindre que l'unité; or
^ dx dx dy dx dx dy
Partant, si l'équation tx = o est une solution particulière, elle doit rendre infinie la différence de -^ -^p-J-^ prise en ne faisant varier que X et divisée par dx; d'où résulte ce théorème :
Théorème. — 5/ l' équation ik = o est une solution de l'équation différentielle dy = pdx^ elle sera une solution particulière, toutes les fois quelle rendra nulle la quantité
dx^ ^ dx dy dx dy
autrement, elle sera une intégrale particulière.
Ce théorème suppose que {x est fonction des deux variables x et y; si l'on voulait en faire usage dans le cas où (x serait fonction de x seul, ou de y seul, il faudrait transformer les variables a? et y en d'autres x' et y, telles que l'on ait, par exemple, x = x'-^y et j = x' — y.
il y a lies équations diiTérentielles qui n'ont aucunes solutions particulières, et qui par leur forme excluent ce genre de solutions. Ainsi l'on peut assurer, en général, que l'équation dy=pdx ne peut avoir de solutions particulières qui soient fonctions de x et de^, ou de jk seul, toutes les fois que p, étant fonction de x et do y, est rationnel par rapport A y; car ces solutions sont toujours réductibles à la forme
X étant fonction de «et de constantes; or il est aisé de voir que, si l'on fait ^y — X = [JL, l'équation dy=pdx se transformera, par ce qui précède, dans la suivante
n étant nécessairement alors un nombre entier positif, égal ou plus grand que l'unité; la même chose a lieu pour la variable x; donc, si p est rationnel par rapport à fc et à y à la fois, l'équation dy =pdx ne peut avoir aucunes solutions particulières.
Déterminons présentement toutes les solutions particulières des équations diiTérentielles du premier ordre.
Problème II. — L'équation diffénntieUe dy^=pdx étant donnée, il faut en déterminer toutes tes solutions particulières.
Je suppose d'abord que l'intégrale complète soit connue; soit p le facteur par lequel on doit multiplier dy — pdx, pour rendre cette quantité une différence exacte, et [x = o une solution particulière de l'équation dilTérentielle proposée; on aura
êrff — S/» rfx = rf q»( j:, 7) ; mais, de
donc df
ïégrale complète de l'équation dy = pdx^ C étant une constante arbitraire : présentement, puisque l'équation (x = o n'est point une inté- {]frale particulière, elle ne peut faire évanouir ^j;(a;, a) -h C, quelque valeur que l'on donne à C; donc elle ne peut faire évanouir la différence è(dy — pdx); mais par la supposition elle rend nuWe dy — pdœ; il faut donc que l'équation u. = o rende 6 infini, et partant qu'elle fasse
évanouir g; donc pi est facteur de g- Je dois observer ici que M. le marquis de Condorcet est parvenu à ce résultat, mais par une autre méthode (voir son Calcul intégral).
Maintenant, si l'on essaye, parmi les facteurs de g> ceux qui satisfont à l'équation dy=pdx, et que l'on distingue ceux qui sont des intégrales particulières d'avec ceux qui ne le sont pas, on sera sûr d'avoir toutes les solutions particulières de cette équation différentielle. Il ne s'agit donc que de connaître la fonction 6; or elle est facile à conclure de l'intégrale générale; car, soit T = C cette intégrale, on aura, en différentiant,
hdv — Odxz=zo ou Sdy — Spdx:=o;
donc
On sait que S a une infinité de valeurs, lesquelles peuvent être généralement représentées par 6(p(T); mais on ne doit admettre que la plus simple 6 de ces valeurs, car toutes les autres donneront pour solution,
ou T H- y = o, ou ,p = o, y étant constant; or, ces deux solutions
sont comprises dans l'intégrale générale T = C, en supposant, dans le
premier cas, C H- y = o, et, dans le second cas, t^ = o.
Pour déterminer tous les facteurs de g qui, égalés à zéro, sont des
solutions de l'équation dy = pda:^ je nomme (jl l'un de ces facteurs;
si l'on différentie l'équation §=0, on en conclura dy = ydx, et
l'équation (jl = o satisfera visiblement à cette équation différentielle; mais, par la supposition, elle fait évanouir dy —pdœ; donc elle fera évanouir ^ -'P\ ^ sera donc un facteur commun aux deux quantités
g et Y — /7. La détermination de ce facteur est du ressort de TAnalysc
ordinaire; tout facteur commun à ces deux quantités, égalé à zéro, est une solution de l'équation dy=pdx; car ce facteur, égalé à zéro, faisant évanouir les deux quantités dy — ^dx et ^dx — pdx doit faire évanouir leur somme dy — pdx. On distinguera ensuite fort aisément si pi = o est ou n'est pas une intégrale particulière. Voilà donc un moyen assez simple pour trouver toutes les solutions particulières d'une équation différentielle dont on connaît l'intégrale complète.
Cette intégrale est, dans un très grand nombre de cas, indéterminable au moins par les méthodes connues; on est donc obligé de recourir alors aux approximations, qui la donnent souvent avec une précision suffisante. Mais, comme il importe dans tous les cas d'avoir toutes les solutions particulières, et que la méthode précédente suppose l'intégrale exactement connue, il serait très intéressant d'avoir une méthode générale de les déterminer, entièrement indépendante de la connaissance de l'intégrale complète; en voici une très simple, et d'un usage plus facile que la précédente, dans le cas même où l'intégrale complète est donnée.
Soit \L = o une solution particulière de l'équation différentielle dy=pdx; cette dernière équation est, par l'article IV, réductible à cette forme
n étant moindre que l'unilé. Or, d\i. étant égal à ^dx 4- -^ ^y* on
aura
-J-dY^= tx'^h dx — -^ dx.
dy ^^ ^ dx
Mais
dy^pdx;
partant,
fx'^A dx
ày dy Je suppose maintenant, ce qui est toujours possible, que la
OEupres de L. — VHI.
ait cette forme j — X, X étant fonction de a?; on aura
âii . du d\
— — — : ici — — '— ^^^^ •
ày dx dx
Si, dans la quantité A, on substitue X h- (jl au lieu de j, et qu'on la développe dans une suite ascendante par rapport à fx, en sorte que Ton ait
/, /', ... étant fonctions de x seul, on aura
donc, en différentiant par rapport à y, on aura
dy
Cette expression de ^ devient infinie par la supposition de (x = o, car
il est clair que, par cette supposition, le premier terme /iix"*** /devient infini et infiniment plus grand que les suivants. L'équation (x = o rend
donc nulle la quantité -r— ; ainsi (x est facteur de -^« On prouverait,
ôy ôy
par le même procédé, qu'il est facteur de -r-« Pour trouver ce fac-
ôx
leur, je diflerentie l'équation -r— = o, et je suppose qu'elle donne
dy = Sdx. L'équation (jl = o satisfera visiblement à cette équation différentielle; mais elle satisfait à celle-ci, dy=pdx\ partant elle rendra nulle la quantité /? — Ç; (x sera donc facteur commun aux deux
quantités -.— et />— Ç; de plus, il est visible que tout facteur commun
ày à ces deux quantités est une solution particulière de l'équation différentielle dy=ipdœ\ car, \l étant ce facteur, l'équation (x = o fait évanouir les quantités dy — êrfir et pdx — èdx\ elle fera donc éva-
noair leur différence dy — pdx; et, puisqu'elle'rend -r— nul, elle ne
peut être une intégrale particulière. Il est aisé de voir que
à'p àxdy
d'où résulte ce théorème :
Théorème. —Si }j. = o esl une solution particulière de l'e'quation différenlielle dy := p dœ, (i est fadeur commun aux deux quantités
ày' ày
et, réciproquement, tout facteur commun à ces deux quantités, égalé à zéro, est une solution particulière de l'équation différentielle dy =^p dx.
C'est le théorëme que j'ai donné sans démonstration à la fin du Mémoire Sur la probabiliié des causes par les événements (voir le VI* Volume des Savants étrangers) (' ). Il en résulte une méthode fort simple pour trouver directement toutes les solutions partîculiëres d'une équation différentielle, sans connaître son intégrale générale.
Je suppose, par exemple, que l'on ait l'équation différentielle
dr
«<fc
d'où Ton aura
dx dy \Jx^ 4- j* — a* ( j* — a} — y \Jx^ n- J^* — «* )
dy'
11 est aisé de voir que les deux quantités/? h ^^-^ et -^ ont pour
dy" dy
facteur commun \jx^-\-y'^ — a*, et qu'elles n'ont que celui-là; d'où il résulte : i** que l'équation a?^-}-^* — «2 = 0 est une solution particulière de l'équation différentielle proposée; 2^ qu'elle est unique.
Le théorème précédent a généralement lieu toutes les fois que la solution particulière (jl = o renferme x et y; mais il peut souffrir des exceptions, si [x est fonction de x seul ou de y seul. Voici comment on peut la déterminer dans ce cas. Je suppose d'abord (jl fonction de y seul. L'équation [t, = o donnera dy = o; donc, puisqu'elle rend nul rfy — pdxj elle donnera/? = o. Partant, on aura/? = [jl^A, h étant une fonction de x et de j^, qui ne devient ni zéro ni infinie, en vertu de l'équation (jl = o. Présentement, de ce que (jl est fonction de y, on aura y en fonction de (jl; A deviendra ainsi fonction de x et de [x, et, en réduisant/? dans une suite ascendante par rapport à (x, on aura
/, /', ... étant fonctions de x; on aura donc
Oy '^ ày
Donc, puisque n est moindre que l'unité, -^ devient infini en vertu de l'équation (jl — o. Partant, - .— est nul : ainsi (x est facteur commun
aux deux quantités/? et -^; et, réciproquement, tout facteur commun
dy à ces deux quantités qui sera fonction dey seul, égalé à zéro, sera une
solution particulière de l'équation dy = pdx.
Si [L est fonction de x seul, en considérant l'équation dx= - dy, on trouvera pareillement qu'il doit être facteur commun aux deux quantités - et -^j et, réciproquement, que tout facteur commun à ces
dx
deux quantités, qui sera fonction de x seul, égalé à zéro, est une solution particulière de l'équation dy =pdx.
Examinons présentement les équations différentielles du second ordre.
Une équation différentielle du second ordre peut avoir pour solutions particulières des équations finies, ou des équations différentielles du premier ordre; les unes et les autres peuvent également se déterminer par la méthode précédente.
Problème III. — Déterminer si une solution (jl — o rf^ V équation différentielle d}y = p dx* est une intégrale particulière , sans connaître r intégrale générale, [»- et p étant /onctions de x, y et -^^'dx étant supposé constant.
En faisant usage de la méthode du problème I, on verra facilement que, si de l'équation [JL=: G on tire les valeurs de -T^> ^-^> •••> et qu'on les représente par i^, ç\ ç-", ...; que, ensuite, on représente par p\ p\ ... les valeurs de ^> ^> • • • tirées de l'équation
P, «^, f^, . . .; />, p\ p\ , . . étant fonctions de x\ y et ^> si (Ji = o est
une intégrale particulière, non seulement la quantité ^ — p, mais les suivantes ^—p\ v^— pf'^ ... doivent s'évanouir par la supposition de |i = o, et, si cela n'arrive pas, l'équation [jl = o est une solution particulière.
Puisque |jl == o donne v —p = o, on aura v — p^ ^iTq, n étant po-
sitif et q ne s'évanouissant pas par la supposition de fx = o; donc
dii djj. dy d^Y ^ dx ây dx
dx ^ ^^d^
Donc
dixr^-li'^gdx^^;
dy
la quantité (jl peut toujours être imaginée sous la forme ^^ — R, R étant fonction de .r et de y, et, dans ce cas, dx-~- ~ i (*); maintenant,
puisque Ton a —^ = R -h (jl, si Ton substitue cette valeur de ~ dans
la quantité q^ elle deviendra fonction de x^y et (jl; je suppose qu'on la développant dans une suite ascendante par rapport à (jl on ait
/, l\ /", . . . étant fonctions de x et de y, on aura partant,
et en substituant, au lieu de -^> sa valeur, et, au lieu de ^> on aura
En continuant ainsi de prendre les différences successives de [x et ob-
( 1 ) La notation -^ demande une explication ; son sens est fixé par la formule
dr où Ton a fait pour un moment -^ — ^'. (IVoie de l'Éditeur.)
DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC. 3tô
servant la loi de ces différences» on verra facilement qu'elles ne peuvent s'évanouir toutes par la supposition de [a = o que dans le cas où n est égal ou plus grand que l'unité; Téquation (a = o n'est donc une intégrale particulière que dans ce cas; autrement, elle n'est qu'une solution particulière, résultat analogue à celui que j'ai trouvé (art. lY) pour les équations différentielles du premier ordre.
Problème IV. — Déterminer toutes les solutions particulières aux premières différences de V équation différentielle d}y = p dx^ .
Si l'on connaissait l'intégrale complète aux premières différences de
cette équation, on pourrait trouver ainsi toutes ses solutions particulières aux premières différences. Soit 6 le facteur par lequel il faut
multiplier l'équation d^y = pdx^ pour la rendre intégrable, on aura
