KS-^'*^)=''K

et l'intégrale de l'équation d^y ^ pdx* est

Présentement, je suppose que (jl = o soit une solution particulière, (i

dx

étant fonction de x^ y, -^; puisque cette solution ne peut faire éva-

nouir (flx^y^ ^) "^^' quelque valeur que l'on donne à C, elle ne fera pas évanouir la différence Sf -^ — pdx\\ mais, par la supposition, elle fait évanouir -^ —pdx\ donc elle rend 6 infini, c'est-à-dire qu'elle fait évanouir g- Je suppose que, en différentiant l'équation g = o, on

ait -~- =ydx; l'équation (x = o fait évanouir y — /? et g- Donc [l est

facteur commun à ces deux quantités; de plus, tout facteur commun à ces deux quantités est une solution de l'équation différentielle

Or on distinguera aisément, parmi ces solutions, celles qui sont des inlégralcs particulières d'avec celles qui ne le sont pas.

Si l'intégrale complète aux premières différences de l'équation (Py = pdx^ est inconnue, on trouvera, de la manière suivante, toutes les solutions particulières aux premières différences de cette équation.

L'équation d'y — pdx^ peut recevoir, par l'article précédent, cette forme

diLzz: ix^q dXy

n étant moindre que l'unité. Partant, on aura

d[t. dix dy dx dv dx

dx

on peut toujours supposer au facteur \l cette forme ^ — R» ce qui donne

^ da du. ô^ du âW

o^y dx Ox oy ôy

Donc

ce qui donne en substituant, dans y, R -t- tx au lieu de ^, et réduisant en une suite ascendante par rapport à [x,

/, /', ... étant fonctions de x et dey; si l'on différentie cetteéquation par rapport à dy^ on aura

dx -f^ = nu.^-H'^{n -h w')a'»-»-'» -«^-f-

Ur, puisque n est moindre que l'unité, il est clair que dx ^ devient infini par la supposition de [j. — o. Partant, — ^ devient nul, en sorte

dx^^ d'Y

que (X est facteur de cette quantité. Je suppose que de Téquation

on tire par la différentiation

|JL sera facteur commun aux deux quantités y — /> et — ^ — De plus,

dx -~—

tout facteur commun à ces deux quantités et qui renfermera -^-^ égalé à zéro» sera une solution particulière de Téquation différentielle

d^y^=:pdx^.

Puisque

d^p d^p dy

dxd^y dyd^Y dx 7= — ^ »

on aura le théorème suivant :

TuÉORÈME. — L'équation différentielle d^y =pdx^ étant donnée, si ion dyfférentie p par rapport à -j- seul, que l'on nomme - cette différence

divisée par -^^ que l'on différentie q en regardant -^ comme constant ; soitYidx cette différence, et Kdx la différence de q prise en ne faisant varier que -^ > et divisée par ^-^; cela posé y 5/ (jl = o est une solution particulière du premier ordre de l'équation d}y = p dx* ; (jl sera facteur cornmun aux deux quantités p -H -^etq'^et réciproquement, tout facteur du

premier ordre, commun à ces deux quantités, égalé à zéro, est une soUition particulière de la proposée. (Théorème analogue à celui de Taiticle VI9 sur les équations différentielles du premier ordre.)

On peut généraliser ce théorème et l'étendre aux équations différentielles de tous les ordres.

Si Ton a l'équation différentielle

p étant fonction de x, y, ^, • • ., . ^^, dx étant supposé constant; que

Ton différentie/? par rapport à ^-j^' et que l'on nomme - cette diffé-

rence divisée par ^^n-\ > ^^ ^'^^ différentie q, en regardant t-;^ comme constant, et que l'on nomme Rctr cette différence; qu'ensuite on différentie y, en regardant . i, comme seule variable, et que l'on

nomme W dx cette différence divisée par ^-^; cela posé, si (x = o est une solution particulière de l'ordre n — i de l'équation proposée, (x

est facteur commun aux deux quantités 9 et/>+ ^,; et réciproquement tout facteur de l'ordre /z — i commun à ces deux quantités, égalé à zéi'o, est une solution particulière de la proposée.

Il est aisé de conclure de ce qui précède que si, dans l'équation

— ^ =p, p est rationnel par rapport à , ^j^» cette équation ne peut avoir de solutions particulières de l'ordre /i — i .

Examinons présentement les solutions particulières et sans différences de Téquation d^y=pdx^. Je suppose que (ji = o soit une de ces solutions; en conservant les mêmes dénominations que dans l'article VII, on verra que, puisque v—p s'évanouit par la supposition de [A = G, on aura

mais

d^lJ. dy^ d*ix dy d^fx

~" dy^ dx* dxdy dx àx*

dx*

tPfi dix/ ^cl'{i. ^ , .,rf'> \

Cela posé» voici comment on reconnaîtra si jjl = o est ou n'est pas une solution particulière. Prenez les différences successives ^-^, ^> ^> •••»

elles seront toutes données en fonctions de a:, 7 et ^; examinez ensuite la loi de ces différences. Si Ton peut les faire évanouir toutes en supposant le rapport de ^ ^ (^ fini ou infiniqoent grand, Téquation

(jL = o est une intégrale particulière ; autrement» elle n'est qu'une solution particulière.

Je suppose que l'on ait

h étant fonction de x et de (x, on trouvera facilement que pi = o n'est intégrale particulière que dans le cas où n est égal ou plus grand que Tunité. Ainsi dans l'équation

à laquelle satisfait l'équation ^ = a?, si l'on fait y — 2? =2 [x, on aura

en réduisant en suite ascendante par rapport à pi, on a

Or l'exposant de pi étant, dans ce cas, égal à l'unité, il suit que (x = o est une intégrale particulière; mais dans l'équation

à laquelle satisfait pareillement celle-ci, y = ir, on verra facilement que cette dernière équation n'est qu'une solution particulière.

Pour trouver maintenant toutes les solutions particulières sans différences de l'équation d}y=^pdx^y je suppose que (x = o soit une de ces solutions; la proposée peut être transformée dans la suivante :

Or, si l'on conçoit (x sous la forme y — X, X étant fonction de x, on aura

d*lx = d^y — d*X.

Donc

Or, si la plus petite des quantités i, i\ . . ., que je suppose être i, est positive et moindre que l'unité, d^ = o est une solution particulière qui se déterminera parles articles précédents. Si i est négatif, en supposant d\k = Oy p deviendra infini; partant, d\j. sera facteur de-- Enfin, si c = o, n sera moindre que l'unité; donc (x sera facteur de

dp /i/jt'*-*/^-*-. . .

Dans tous ces cas, il sera facile de déterminer toutes les solutions particulières sans différences de l'équation d}y =^pdx^.

On peut donc, au moyen de la méthode précédente, déterminer toutes les solutions particulières des équations différentielles du second ordre; il est aisé de voir qu'elle s'étend également aux ordres ultérieurs, mais il serait inutile de nous y arrêter davantage. Appliquons-la présentement aux équations qui renferment trois variables.

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC. Ui)

Problème V. — Déterminer si une solution [1 = 0 est une intégrale particuUére de l'équation différentielle à trois variables

dz=:p dx H- q dy.

Je suppose que cette équation soit intégrable. Cela posé, si l'on a Téquation js = f (a?,j^) et que l'on veuille déterminer la variable z\ qui répond à a: -+- a et à j^ -f- 6, on aura

Or, en supposant dx constant, on a

9(^4-a,r-^€) = 9(^,74-6) 4- a-^ll.^^ --i-— ^\^ ^ + ....

fie plus, en supposant dy constant,

dx dx dxdy " * '

Donc on aura

L* équation donne

Donc

, dz a' d^z

dx 1.2 ox^

il ^