dy
dz z=ip dx -h g dy dz dz
d^z __ dp dp dz^ dp dp
dx* dx dz dx dx ^ dz
Soit p cette quantité, on aura facilement
d^z d^z âTs dy* dx dy dy*
je nomm^ p\p'\ . . . ces quantités; maintenant, si de l'équation (x = o
on tire les valeurs de j^> g^> j-^> •••et qu'on les nomme i', V, /,
/',..., il est aisé de conclure, par un raisonnement entièrement analogue à celui de l'article II, que l'équation |x = o ne peut être une intégrale particulière que dans le cas où elle fait évanouir non seulement les quantités v —p, V — q, mais encore les suivantes /— />', '— /'^ — Puisque l'équation (x = o fait disparaître v —p^on aura
et puisqu'elle fait disparaître V — q^ on aura
Si Ton multiplie la première de ces équations par dx^ la seconde, par dy, qu'ensuite on les ajoute, on aura
V dx -^^v dy — p dx — qdy=. \k^Yk.dx -t- |x'*'K' dy, OU, à cause àQdz=pdx-\-q dy,
vdx-^ U* dy — dz^^iJL'^Kdx-h fx"' K' dy;
mais on a
Donc
àx ^ . dy
ds dz
rf,.=-,.-K^./x-fx'^K'^d!r.
Or il est aisé de voir que [jl = o ne peut être une intégrale particulière, que dans le cas où le moindre des exposants /i, lî est égal ou plus grand que l'unité; autrement [jl = o n'est qu'une solution particulière.
Problëhe VI. — On propose de trouver toutes les solutions particulières
de l'équation
dz = p etx + q dy.
Soit fi = o une de ces solutions; on aura, par l'article précédent. dfi. d{j.
et, puisque l'un des deux exposants n et n' doit être moindre que l'unité, si l'on suppose que ce soit tt, on aura
^=-«u— 'K^ — de '^ di '"'
d'où l'on voit que ^ devient infini par la supposition de [x = o; partant, -3— devient nulle par cette même supposition. Si c'était n' qui
di fût moindre que l'unité, -j- deviendrait nul, en faisant [ji = o. En
cherchant donc, parmi les facteurs de -^ et -t-> ceux qui satisfont à
di 51
l'équation
rf» ^p dx -i-qdy
et distinguant ceux qui sont des intégrales particulières, on aura toutes les solutions particulières de cette équation différentielle.
Il arrive souvent que l'équation
n'est po: qua-
tion (le condition
dq dp dp dq ^
^dz Uz dy-^dx ^
n*est point identiquement nulle. Dans ce cas, on ne peut donc espérer que des solutions particulières de la proposée. M. Euler donne cette règle pour les déterminer, dans ses Institutions du Calcul différentiel, p. 275 :
Formez V équation de condition^ laquelle ne sera point identiquement nulle, puisque, par hypothèse, la proposée n'est pa^s intégrable; examinez ensuite si cette équation satisfait à la proposée; si cela est, vous aurez, par ce moyen, toutes les solutions possibles de V équation différentielle; mais si cela n'est pas, vous serez sûr qu'aucune équation finie ne peut y satisfaire.
Cette règle n*est pas générale; car, si Ton a
dz = rfjr[i 4- \/z — y — x (/-ha \/z — y — x — b \/z —y — x)\ -4- dy{i 4- X yz—y-^x),
Téquation résultante de Téquation de condition est
équation qui ne satisfait point à Téquation différentielle. On aurait tort cependant d'en conclure que cette équation ne peut avoir de solutions, puisqu'elle est satisfaite par celle-ci
A'oici présentement une méthode pour trouver toutes ces solutions. Soit (il = o une de ces solutions; Téquation
dz z=z p dx -{- q dy
peut être transformée dans la suivante
rfjjL = fjL» ^ rfx 4- fx"' A' dv.
h et h étant fonctions de a?, y et [jl. Or, si Tun des deux exposants, li ou n\ est moindre que l'unité, on trouvera facilement [jl par l'article précédent. Reste donc à déterminer (x, lorsque le moindre des exposants n et Ti" est égal ou plus grand que l'unité. Or, dans ce cas, l'équation |x = G satisfait à l'équation de condition, et la règle de M. Euler est exacte. Pour le faire voir, j'observe que l'équation de condition, pour que
soit intégrable, est
Il est clair que, si n et n! sont égaux ou plus grands que l'unité, cette quantité devient nulle par la supposition de (x = o; car les quantités ^ et ^ ne peuvent devenir infinies en vertu de cette Supposition, comme il est aisé de s'en convaincre en réduisant h et h' en suites ascendantes par rapport à fx; les quantités ^> -c- peuvent le devenir,
si, par exemple, h et h' renferment des termes tels que p-'ç(^,j). I étant positif et moindre que l'unité; mais la différence de ces termes prise par rapport à (x, et multipliée par fx""^"', sera toujours nulle en y faisant (x = o, puisque n et n' sont supposés plus grands que l'unité. L'équation de condition
est donc satisfaite par la supposition de (x = o. On pourrait craindre, cependant, que celle-ci
' dz ' dz dy ôx
ne le fût pas en vertu de cette même supposition; car, bien que ces deux équations soient les mêmes, cependant il peut arriver que, pour avoir la seconde, il fallût diviser la première par un facteur; et, si ce facteur était une puissance positive de fx, alors l'équation [x = o, qui
Offwrw ds /.. — VIII. 4^
âx
rend la première nulle, pourrait ne pas satisfaire à la seconde. Il est donc essentiel de faire voir que ces deux équations ont le même facteur [x; pour cela je les représente, la première par celle-ci, R = o, et la seconde par celle-ci, S = o. Cela posé, on a, par l'article X,
dz dz
d*oii, en faisant le calcul, je tire
ÙZ
ainsi |x, étant facteur de R, sera nécessairement facteur de S; partant, il sera facile de le déterminer.
Sur les inégalités séculaires des planètes.
J'ai donné dans un autre Mémoire (*) les expressions des inégalités séculaires des planètes sous une forme, ce me semble, aussi simple qu'on puisse le désirer; et, ce qui peut être de quelque utilité dans l'Astronomie physique, j'ai fait voir que les moyens mouvements des planètes et, par conséquent, leurs moyennes distances n'étaient assujettis à aucune équation séculaire, en vertu de leur action les unes sur les autres; mais les formules auxquelles je suis parvenu ne peuvent avoir lieu que pour un temps limité, après lequel elles deviennent inexactes, et, quoiqu'elles me paraissent suffisantes pour tout le temps
( » ) Voir, dans le Tomo VU des Saveuitx étreuigers^ un Mémoire qui a pour titre : Re^ cherches, i** sur V intégration des équations aux différences finies et sur leur usage dans l'analjrse des hasards; %"" sur le principe de la gravitation universelle et sur let inégalités séculaires des planètes qui en dépendent. Comme j'aurai occasion de citer ce Mémoire, j'en désignerai les articles de cette manière {M. E., art.); ainsi {M, K., art. 30) en désignera le 3o' article (<>).
(•) Voir Œuvres de Laplaee, T. VIII, p. Cf et i«i.
J'imagine une planète p^ troublée par l'action de tant de planètes/?', p"^ Z?*', . . . qu'on voudra; soient a, a\ a", ... les moyennes distances de /?, p\ p"^ ... au Soleil; ea^ e'a\ ef'a'^ ... les excentricités de leurs orbites; L, h\ U, ... les longitudes de leurs aphélies, le point d'où l'on commence à compter les longitudes étant supposé fixe, et les angles L, L\ ... pouvant être comptés sur un plan fixe et peu incliné à celui de l'orbite de p. Soient encore y, y', y", ... les tangentes des inclinaisons de leurs orbites sur le plan fixe; F, T\ P", ... les longitudes de leurs nœuds comptées sur le plan fixe; $[jl, S(jl', S[jl^ ... les rapports de leurs masses à celles du Soleil ; i, i\ i", ... le nombre de leurs révolutions depuis une époque donnée où l'on fixe l'origine de leurs mouvements : on suppose les inclinaisons et les excentricités fort petites. Soit
— =5 et 1 :=i:6 4- ÔlC0S9-+-. . .;
que dt exprime l'arc infiniment petit décrit par la Terre dans son orbite avec sa vitesse moyenne, la distance moyenne de la Terre au Soleil étant prise pour l'unité; et que </<.36o^ exprime le mouvement angulaire moyen de p autour du Soleil, tandis que la Terre décrit l'angle dt; soit
(o, i)dt:=: jzbiifx' di. 36o**^
OU
(o,i)==^^^3fx'-^^,
c/i.36o® dt
exprimera le rapport du temps de la révolution de la Terre à
aux géomèlres, en forme de supplément, ce qui lui manquait encore pour être complet, en rendant d'ailleurs au Mémoire de M. de Lagrange toute la justice qu'il mérite; je m'y suis d'autant plus volontiers déterminé, que j'espère qu'ils me sauront gré de leur présenter d'avance l'esquisse de cet excellent Ouvrage.
celui de la révolution de la planète p; soit, de plus.
que l'on forme des expressions analogues pour/)',/>', ..., considérés par rapport à/> de la même manière que ;?' vient de l'être, et qu'on les représente par (o,2)rf/, (o,a)rfï; (o,3)rf/, (o,3)A; ..., que l'on désigne par (i.o), (i,o); (1,2), (r,a); ...; (2,0), (2,0); (2,1), (2,1); ... des quantités analogues divisées par di, en considérant les autres planètes par rapport à p' ou p', ... comme on vient de les considérer par rapport à p; enfin que l'on désigne par dL, de, dT, dy, dL', ... les variations moyennes infiniment petites de L, e, F, y, V, ..., on aura [àf. E., art. 59, p. 221 (')]
rfL t= (0,1) A — (ô;T) - cos(L'- L) rff -t- (0,2) rfi H- . . . , de — (ôTôe* A 8in(L'—L) + CÔ^e' rf/sin(L'—L) -(-...,
— rfr=(o,i)ri— 3^co8(r'-r)1rf(+...,
— dy=(o,i)y'sm(T'—T)dt + ...;
on aura des équations semblables pour dL', de", d-f, dV Je fais
présentement
x = e sinL,
s — Y sinr,
y = e cosL,
s^ycosT,
;r'=«'sinL',
v=/sinr'.
/=e'cosL',
y^/cosr,
De là, je conclus
^x*+y' et
^^xdx + ydy
ensuite
cosLrfL==
edx — xde -1 '
(>) OEut^^ de Lt^tlace, T. VUl, p
d'ailleurs
sin(L'— L) =isinL'cosL— sinL cosL'= — >-^j
cos(L'— L) =:sinL'sinL-4-cosL'co8L= -J^'
Cela posé» on aura les deux équations suivantes :
ydx — xdyzm (^"-HJ'') (o,i)é// — (o,i) {xx'-^yy)dt-^, . .
et
xdx-h ydf:=(o,ï) (yx^— xy^ )dt-{-. . ,.
Je multiplie la première de ces équations par y et la seconde par x, je les ajoute ensemble, ce qui donne, après avoir divisé par (x^ -f- j
( I ) dx =:dt {
Je multiplie ensuite la première des équations précédentes par et je la retranche de la seconde multipliée par/; ce qui donne
, , — (o,a);r-f- (0,2)^' (2) dy:=zdt{ ^ * ^ :
— (o,3)^-h(o,3)aH»
On aura de la même manière
dx'=dt{ -H-(i,a)7'— (1,2)7^ }, -h
dy'—dt\ — (i,a)j7'4-(i,2)^ };
et ainsi du reste. Si donc il y a un nombre n de planètes et, par conséquent, un nombre 2n de variables, on aura un nombre in d'équations différentielles linéaires du premier ordre pour les déterminer; ayant ensuite x et^, on aura facilement L et e au moyen des équations
et
tangLiz: -
En faisant des opérations analogues sur les équations relatives au mouvement des nœuds et à l'inclinaison des orbites, on aura
dz = [(o,i)(5'— 5 )-h (0,2) (5*— 5 )-\-. ,.]dt, ds = [(o,i)(5— 5')-t-(o,a)(3 —5') -+-... ]ûf^ dz'=z [( 1 ,0) {s — 5') -4- ( i,a) (5*- s')-h...]dt.
Ces dernières équations sont les mêmes que celles de M. de Lagrange, et Ton voit que les équations du mouvement des apbélies et de l'excentricité ont une forme à peu près semblable, quoique différente à quelques égards; celles du mouvement des nœuds et de l'inclinaison y sont réductibles en y supposant (0,1) = (0,1), (0,2) = (0,2), ..., il nous suffira donc ici de considérer les équations de Texcentricité et des aphélies, d'autant plus que M. de Lagrange a traité les autres dans le plus grand détail.
Si Ton fait, -suivant la méthode que M. de Lagrange a donnée dans le Mémoire cité,
x =z\ s\n{ht -4- a), j — A cos{ht -+- a), j?'= A'sin(A^4- a), 7'= A'cos(A^H- a),
360 SUR LES SiOLUTIONS PARTICULIÈRES
on aura» pour le nombre n de planètes, les n équations
hk =(o,i)A — (o,oA'
AA'=r(i,o)A'— (i,o)A
(ff) / -+-(i,2)A'-(i,a)A*
AA'=(a,o)A''— (2,o)A
au moyen de ces équations, on aura une équation en h du degré n, d*où Ton aura n racines pour A; et, en désignant par A, 'A, ''A, ... ces n racines, on aura, pour les expressions complètes de x et de j,
X r:- A sin ( Ar -f- a) -h 'A sin( 'ht -h 'a) -h "A sin^A^ 4- '«) h- . . . , j = Acos(Ar-f-a) -f- 'Acos('A/-h'a) 4- ''AcosCA/ H- ''a) -+-. . .,
A, 'A, "A, . . .; a, 'a, ''a, . . . étant des constantes telles que A et a doivent dépendre de A de la même manière que 'A et 'a dépendent de 'A, ou que "A et ""a dépendent de ""A, .... On aura, de la même manière,
x'= A' sin ( A^ 4- a) 4- 'A' sin ( 'A^ 4- 'a) -f- . . . , y = A'cos(A^ 4- «) 4- 'A'cos('A^ 4- '«) 4- . . . ;
et ainsi de suite. Il faut présentement déterminer les constantes A,
'A, "A, ...; A', 'A', ...; a, 'a, ''a, Pour cela, nommons X, X',
X", ...; Y, Y', Y^ ... les valeurs de a;, x\ of^ "^'\y^y^yy ••• lorsque / = o, et nous aurons
X = A sina4- 'A sin'a4-. . ., Y = A cosa 4- 'A cos'a4-. . .,
X'= A' sina 4- 'A' sin 'a 4- . . . , Y' = A' cosa 4- 'A' cos 'a 4- . . . ,
On aura ainsi un équations; mais on formera (n — i) systèmes d'équations semblables à celui des équations (c), en marquant successivement d'un trait, de deux traits, etc. à gauche, les lettres h. A, A\ ... ce qui donnera, après avoir éliminé A, *h, ..., n(n — i) équations qui, ajoutées avec les 2/1 précédentes, donneront n^-h n équations entre les variables A, 'A, . . .; A', 'A', . . .; a, 'a, . . ., lesquelles sont pareillement au nombre de n^-hn. Si Ton voulait faire usage des méthodes ordinaires d'élimination, on tomberait dans des calculs extrêmement compliqués; mais M. de Lagrange a donné dans le Mémoire cité une très belle méthode pour éliminer dans ce cas et dans d'autres semblables.
Ce serait ici le lieu d'appliquer les recherches précédentes aux différents corps de notre système planétaire, mais je me propose de donner dans un des Volumes suivants une théorie générale du mouvement des planètes, dans laquelle je reprendrai toute cette matière.
Je ferai usage d'une nouvelle méthode d'approximation à laquelle les recherches précédentes m'ont conduit, et qui est générale et surtout fort simple, quel que soit le nombre des variables; c'est principalement sous ce dernier rapport qu'elle peut avoir quelque avantage sur les méthodes déjà connues, qui mènent à des calculs impraticables, lorsque le nombre des variables est indéfini; elle consiste à faire varier les constantes arbitraires dans les intégrales approchées, et à faire disparaître par ce moyen les arcs de cercle, lorsque cela est possible. Cette manière de faire ainsi varier les constantes arbitraires esi, si je ne me trompe, absolument nouvelle et d'une grande fécondité dans l'Analyse; je vais en donner ici une idée très succincte, me réservant de la développer avec plus d'étendue dans le Volume suivant.
Je suppose que l'on ait à intégrer l'équation différentielle
a étant un coefficient constant fort petit, et dt étant supposé constant; j'intègre d'abord celle-ci
OÊùuTts de L, — VIII. 46
3e2 SUR LES SOLUTIONS PARTICULIÈRES
ce qui donne
/ = /-Hpsin^H-çcos^
p et q étant deux constantes arbitraires que je détermine au moyen des
dy valeurs de ^ ®t de -—^ lorsque t = o; c'est l'expression de y lorsqu'on y suppose a = o; je fais ensuite
y =: l -h p sint -h g cost -^ az;
substituant cette valeur dans l'équation (i)» elle donne, en négligeant les quantités de Tordre a*, et en Tintégrant,
a /• H- p* -H ^' , . , a* — p' PQ ,
z = ^ -^ lgtsmù-\-' Iptcost-^ ^ cosa^ h- —-sina^
Il est inutile d'ajouter ici de nouvelles constantes, parce qu'elles sont déjà renfermées dans la première valeur de y; partant, on aura
a /* -H p* -+- <7* y=il — (x ^ -H {p — alçt) sini -h (q '{' alpt) CùSt
g^ — p* apg ,
-h«^ r. cosa^-f--y-smar.
Que l'on fasse présentement, dans l'équation (i), ^ = T + /„ T étant supposé constant, elle deviendra
d'où l'on tirera en l'inlégrant, en négligeant les quantités de l'ordre a* et en joutant les constantes arbitraires de manière qu'elles coïncident avec celles de l'équation (a), lorsqu'on suppose a = o,
j^=:z/-~«^^"^'^'"^'^'-^(>--a//y^,)sin(T-h^,)-t-(^y-+-«/.H)cos(T-i-^,)
