Q^ cos(aT 4- ar,) 4- a -^ sin(aT + af

'p et 'g étant deux nouvelles constantes arbitraires que je détermine au

dy moyen des valeurs de y et de ^> lorsque f,= o. Au lieu d'intégrer deux

fois l'équation (i) : i^ sans y substituer T + /,, au lieu de /; a<» en se servant de cette substitution, il sera plus simple de faire usage d'abord de cette sub-

stitution et de former ainsi l'équatioa (3); car il n'est besoin alors que d'une seule intégration, l'équation (a) étant facile à conclure de l'équation (3) en y supposant T = o, auquel cas '/> et 'q deviennent p eiq; maintenant, si l'on avait a = Oy^on aurait, en comparant les équations (a) et (3 )//? = /? et '^ = çr; donc 'p et 'q ne diffèrent de /? et de ^ que des quantités de l'ordre a; soit donc 'p=P'^8p et '^ = ^-i-d^, ip et iq étant de l'ordre a; cela posé, si l'on retranche l'équation (a) de l'équation (3), on aura, en négligeant les quantités de l'ordre a* et observant que ^ = T -+- /„

o = {8p -halTq) sint-h {iq — alTp) cosr,

équation qui, à cause de t variable et de T supposé constant, se partage dans les deux suivantes

(4) dp = ^alTq,

(5) iq= oilTp,

d'où l'on voit que p et q sont fonctions de a /T. Pour déterminer ces fonctions, soit an = x, et l'on aura, comme l'on sait,

dp x^ d}p

donc

^ dp . «^ ^7

8p z=, X --j- -{- . . , et oç = a:-~-H

Les équations (4) et (5) deviendront ainsi, en négligeant les quantités de

l'ordre j?*, ou, ce qui revient au même, en comparant les termes multipliés

par a?,

dp . dq

di""^^' 5Ï~^'

d'où l'on tire, en intégrant, ,

/? =/cosa? — Asinj?, ^=/sina: -+- Acosj?;

/et A étant deux nouvelles constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de p et de çr, lorsque j? = o; donc on aura

'p =/cosalT — h sina/T, '^zzi/sina/T 4-Acosa/T.

L'équalion (3) deviendra donc, en y substituant au lieu de 'p et de 'q ces valeurs, et en y supposant /, = o,

-^=/-ai^±Zl±L^ 4-/sin(T-h«/T)-t-Acos(T-f.a/T)

h^—f^ fh

-ha — g-=^cos(aT-H2a/T)-f-a^sin(2T4-2a/T).

C'est Tcxpression de/, après le temps quelconque T.

Si Ton voulait porter la précision jusqu'aux quantités de Tordre a', on ferait

7 = /— a i-/sin(^H-a/^) -h/«cos(/ 4- a /^) h-. . .4- «*-:?,

et Ton opérerait comme on vient de le voir, en faisant varier les nouvelles arbitraires/ et A, et ainsi de suite.

L'équation que je viens d'intégrer est très simple, aussi ne Tai-jc choisie que pour faire entendre cette nouvelle méthode; mais, si l'on avait, entre les n variables r, /', y\ . . ., 7'*, les n équations suivantes, lesquelles sont de la même nature que celles du mouvement des planètes.

dy'

(o, i)-^sin(7'

(o)/ 4-(o, i) y cos(7'— 7)f

q)t (0,2) y' cosC^"— <7)/

dy"

(o,2)~^sin(/-

-i 7 ày , ,

^LZ- 4. Q^\ y'

/ (0/-+-(i.o) y cos(7~7')/ '

•q')l (1,2) y' COS{q''-'q')t }

(ï,2)-^sm(7'

-Z^-^q'Y=cc\ {2)y'^

(0)9 (0> (3)> • • 'f (^9 0» (^f ^)f ' • •' ('> 0)9 • • • élant des coefficients constants quelconques, on tomberait, par les méthodes connues, dans des calculs impraticables; au lieu que la méthode précédente donne leur intégrale approchée avec une extrême facilité, en ramenant leur intégration à celle de 2 n équations différentielles du premier ordre, de la même nature et susceptibles de la même méthode que celles de l'article XIV; c'est ce dont il est aisé de s'assurer par un calcul fort simple.

Remarque. -— Ayant envoyé à M. de Lagrange mes recherches sur les inégalités séculaires des planètes, lorsqu'elles furent imprimées, ce grand géomètre me communiqua dans une Lettre, datée du 10 avril 1775, qu'il me fit l'honneur de m'écrire à ce sujet, une méthode très élégante et que les géomètres verront avec plaisir pour trouver directement les équations différentielles de l'excentricité et de l'aphélie; la voici telle qu'il me Ta envoyée :

a Je prends la solution du problème des trois corps de M. Clairaut ( Théorie de la Lune, p. 6), et j'observe que, puisque

^ = I — sin«(^— rQcosuûftt) — cosM(c-h rQsin«t/w),

si l'on fait

g— J Q cos tf</a = tf si n I ,

c 4- / Q siniirfii =:ecosI, on a

4r- = ' — ^cos(m— -I);

en sorte que e sera Texcentricité et I le lieu de l'aphélie, et il est remarquable que les quantités « et I peuvent être regardées comme constantes, pendant que les quantités /* et u varient de dr et du\ car, comme

4r- =1 — «sinlsinw — «cosicosci, Mr

il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle, en ne faisant varier que les deux quantités esini, «cosi; c'est-à-dire que

sinKt/(tf sini) -f- cosarf(ecosl) = o;

mais

d{e sin I) = — Q cos u du et d{e cosi) = Ç^%\ïiudu;

donc Je fais donc a:=:esinl et j' = ecosI; j*ai

Mr -^

et ensuite j'ai, en différentiant, les équations

rfj: = — Q cos u du, df=iQsinudu;

si l'on substitue dans ces équations et dans les autres semblables les valeurs de r et de u, en œ, y et /, et que l'on ne conserve que les termes où x, y, ^\ y' 9 "' seront linéaires et multipliés par des coefflcients constants, on aura les équations cherchées; il faut seulement avoir soin de ne pas rejeter dans la quantité Q les termes de la forme

fxsinudu, fx cos u du, CyAnudu, fy cos u du

et les autres semblables; car, ces termes étant transformés en

— X cos «^ -H / cos u dx, . . .

produiront, dans les équations différentielles, des termes de la forme demandée; à l'égard des quantités Tcosué/j?, ..., on pourra les négliger entièrement, parce que dx est déjà très petit de l'ordre des masses des planètes perturbatrices. »

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