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Mémoires de l'Académie des Sciences de Pétris, année 177a, n* Partie; 1776.
Je me propose de donner dans ce Mémoire une nouvelle méthode pour intégrer par approximation les équations différentielles, avec une application de cette méthode au mouvement des planètes premières. Cette matière, l'une des plus intéressantes de toute TAnalyse, a déjà donné lieu à des recherches très profondes; heureux si celles que je présente ici aux géomètres peuvent mériter leur attention!
C'est principalement dans l'application de l'Analyse au système du monde que l'on a besoin de méthodes simples et convergentes, pour intégrer par approximation les équations différentielles; celles du mouvement des corps célestes se présentent, en effet, sous une forme si compliquée, qu'elles ne laissent aucun espoir de réussir jamais à les intégrer rigoureusement; mais, comme les valeurs des variables sont k peu près connues, on imagina de substituer à leur place les quantités connues dont elles diffèrent toujours fort peu, plus une très petite quantité; et, en négligeant le carré et les puissances supérieures de
OMums de L, — VIII. 47
cette nouvelle indéterminée, on réduisit le problème à l'intégration d'autant d'équations différentielles linéaires qu'il y avait de variables. Il ne restait plus ainsi qu'à intégrer ces équations; or les géomètres imaginèrent pour cela différentes méthodes, dont la plus ingénieuse me parait être celle des coefticients indéterminés de M. d'Alembert. Ayant ainsi une première valeur approchée des variables, on substitua dans les équations différentielles, au lieu de chaque variable, celte valeur, plus une très petite indéterminée dont on négligea le carré et les puissances supérieures, et, en continuant d'opérer ainsi, on eut une seconde, une troisième, etc. valeur approchée. Cette méthode, analogue à celle de Newton pour déterminer par approximation les racines des équations numériques, se présenta naturellement aux géomètres qui résolurent les premiers le problème des trois corps; appliquée à la recherche du mouvement de la Lune, elle avait l'inconvénient de donner dans la seconde approximation des arcs de cercle, dans le cas même où il était démontré qu'il ne devait point y en avoir; mais on parvint à les faire disparaître par différents moyens.
Lorsque la planète n'a qu'un satellite, la méthode que nous venons d'exposer est suffisante; mais, quand elle en a plusieurs, ou lorsqu'il s'agit de déterminer le mouvement de deux ou d'un plus grand nombre de planètes autour du Soleil, on trouve, par la seconde approximation, des termes du même ordre que ceux qui résultent de la première, tandis qu'on les suppose d'un ordre inférieur. M. de Lagrange eM le premier qui ait senti et résolu cette difficulté par une analyse sublime, dans son excellente pièce sur les inégalités des satellites de Jupiter, et dans le Tome III des Mémoires de Turin. MM. d'Alembert et de Condorcet ont depuis donné des méthodes fort ingénieuses pour le même objet; celle que je propose ici est, si je ne me trompe, absolument nouvelle et d'ailleurs très utile, lorsque les variables sont fonctions de quantités périodiques et d'autres quantités croissantes très lentement, ce qui est le cas de toutes les questions relatives à l'Astronomie physique« Elle consiste à faire varier les constantes arbitraires dans les intégrales approchées, et à trouver ensuite par l'intégration leurs va-
leurs pour ud temps quelconque. Celte méthode conduit à des équations fort simples et très faciles à intéf^rer, quel que soit le nombre des variables, et c'est ih un de ses principaux avantages. J'en ai donné une idée fort succincte dans le Volume de l'Académie pour l'année 1772, I'' Partie, p. 65i ('). Je vais la développer ici avec plus d'étendue, et l'appliquer au mouvement des planètes. Les exemples suivants la feront mieux entendre que des généralités toujours difficiles à saisir.
Exemple I. — Soit proposé d'intégrer l'équation diffère ntielle a étant supposé fort petit et di constant. J'intègre d'abord celle-ci
ce qui donne, par les méthodes connues,
y T= p i\nt •^- q cost,
pet g étant deux constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de y et de ^ > lorsque / = o ; c'est l'expression de y, en y supposant a = o. Soit maintenant
y ^ p sint -t- q coit + as, et l'équation (i) donnera, en négligeant les quantités de l'ordre a',
(fit P . p , Q n Q
-rr +3 r:^ — sin3t — -sinf + -cosS^-i- -cos/; dt* a a a a
d'oii l'on aura, en intégrant.
Il est inutile d'ajouter ici de nouve
(') OEwm de Laptace, T. VIU, p. S61.
déjà renfermées dans la première valeur de y; partant, on aura
(2) jr = (p-^ 7^^) sîn^-h (g -f- j P^) cos^— ^sin3/ |cos3^
Je fais ensuite, dans l'équation (i), ^ = T + /|, T étant constant; elle devient
-^ -h y = ocy cos(2T -h 2 ti);
et l'on trouvera en l'intégrant, en portant la précision jusqu'aux quantités de l'ordre a inclusivement, et en ajoutant les constantes arbitraires de manière qu'elles coïncident avec celles de l'équation (2), lorsque a = o,
j^=A/,-4-|«^/,)sin(T + /,)4-(«^4-|'/>/,)cos(T + /,)
- ^sin{3T-+-3/,)-- ^cos(3T-4-3f,), 16 16
*pei *9 étant deux nouvelles constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de j^ et de ^ lorsque /, = o.
On pourrait simplifier un peu le calcul, en substituant tout de suite dans l'équation (i), au lieu de /, ! + /«, et en parvenant ainsi à l'équation (3); car l'équation (2) peut aisément s'en déduire en y faisant T = o, partant / = /,, *p=p et *q=q'
Si l'on avait a = 0, on aurait, en comparant les équations (2) et (3), *p =p, *q = q; donc p ne diffère de *p et q de *q que de quantités de l'ordre a; soit donc
Bp et Bq étant de l'ordre a; cela posé, si Ton retranche l'équation (2) de l'équation (3), après avoir substitué dans celle-ci / — T au lieu de /i, on aura, en négligeant les quantités de l'ordre a',
ozzzhp — j Tgj sïnt-h (iq — | Tpj cos/,
équation qui, à cause de t variable et de T supposé constant, se partage
dans les deux suivantes :
(4) ip=l'rÇ.
(5) iq = ^Tp.
On voit ainsi que/i et q sont fonctions de 7 T. Pour déterminer ces
fonctions» soit 7T = or» on aura, comme l'on sait,
dp X* d*p
partant
^ dq ûc* d^q
^ dx 1 . 2 dx^
^ dq x^ d-q
^ dx 1 . 2 a j?'
les équations (4) et (5) deviendront ainsi, en négligeant les quantités de l'ordre x^^ ou, ce qui revient au même, en comparant les termes multipliés par a;,
Pour intégrer ces deux équations, je fais
p = /e»* et q — ^c«*,
e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et/et /i étant constants ; en substituant ces valeurs de p eiAeq dans les équations différentielles (6) et (7), on aura
fn=ig et gn — f,
d'où Ton tire
37k RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL
partant, on aura
de plus.
on a
donc
-fe
5iT -5fT
* 4-ye '
et q — gé^-^^ge-^\
et ^f^-^g;
et q — fe' - y tf * ,
/et */ étant deux nouvelles constantes arbitraires; ce sont les expressions de /7 et de 7 après le temps T, ou, ce qui est la même chose, les valeurs de ^p et de ^q\ maintenant, si Ton substitue dans Téquation (3) ces valeurs de */? et de *y, et que Ton y suppose /, = o, elle deviendra
y — /?* ^ ^sinT -t- cosT - ~ sinST — ~ cos3T^
+ yr * ^ UiiiJ — cosT - ^ sinST + -^ cosStV
C'est l'expression de y, après le temps quelconque T, en négligeant les quantités de Tordre a^.
Si Ton voulait porter la précision jusqu'aux quantités de l'ordre a', on le ferait d'une manière semblable en faisant varier les nouvelles arbitraires /et */
On pourrait parvenir encore à l'équation (a) de cette manière : je reprends l'équation (2)
(2) y z=i Ip -\- j qt\ sviit -{- iq -\- j pt\co^t ^sin3/ ~cos3/,
et j'observe que, puisqu'on a négligé les termes de Tordre a^, on peut substituer, dans les termes de Tordre a, au lieu de p et 9, d'autres quantités ^p et *^, telles que leurs différences d'avec p et q soient de Tordre a, en sorte que *p et *q seraient constants si Ton avait a = o; je suppose donc *p et *q tels que Ton ait
'p'-p = ^qt et 'q — q=:^pt,
Téquation (2) donnera
y = ^p sint -h^q cosl ^sin3^ ^cos3/;
de plus, on aura comme précédemment, en faisant jt = x,
dp ^ dq
d'où l'on tirera l'équation
«* Ê § /v /tf \
yzmfe^ (sinf-+-co8f ^sin3/ ^cosS^j
-H ye * (sin/— -cos/ ^sin3^ 4- -^cos3^ j,
la même que l'équation (a).
Quoique de cette seconde manière le calcul soit plus simple, cependant je préférerai, dans la suite, la première, qui me parait plus directe.
Exemple IL — Soit encore l'équation différentielle
(8) ' ^4.^ = a^«sin3/.
En intégrant d'abord celle-ci
on aura
y=:p%\nt -h 7 ces ^
/> et 9 étant deux constantes arbitraires dépendantes des valeurs dey et de -^i lorsque / = o.
On fera ensuite
j^=jD8in^-+-7Cos^-+- «5,
et Téquation (8) donnera, en négligeant les quantités de Tordre a', -T;r-H«= ^-^cos/4- - — 7-^-sm^-h^- ^sm3/-h ^ , ^ sm^t — ^-^ cosbi;
d'où l'on tire, en intégrant,
partant.
— «^ ^^ sin3/4-g- — ^^s\n5t-h -^cos5/.
Si Ton fait présentement dans l'équation (8), / = T4-/,, elle deviendra
et, en intégrant, on aura
-« ^ j^ ^ sin3(T-h^0-4-a^ ^^ 8in5(T + ^t) -f- «-^ cos5(T-h
*;i et *9 étant deux nouvelles constantes arbitraires dépendantes des
dy
valeurs de y et de h^» lorsque /, = o.
Si Ion avait a = o, on aurait *p =p et ^q = y, donc *p et *q ne diffèrent de pet q que de quantités de l'ordre a; soit donc
^pz=zp-\-dp et ^g z=z g -\- 8g,
on aura, en comparant les équations (9) et (10), et négligeant les quantités de Tordre a^,
o/,= «^T, ig = aP^T;
d*où Ton voit que p et q sont fonctions de aT; soit
et l'on aura, comme dans l'exemple précédent,
dp ^7 • »
en multipliant la première de ces équations par yj— i, et en rajoutant et la retranchant successivement de la seconde, on formera les deux suivantes :
ë '^^'^ =/>«- ^«-+- 2pq^i ^ (p -^qsj~i)\
Soit
p-^-q y/— I = ^ V^— I et P — q sj— ' == * y^— i ;
on aura
ds* dq I dp
dx dx ^ dx
ds dq I dp ^
dx dx ^ dx^
donc
en différentiant cette dernière équation, on aura
dx
donc
d^s ,ds' , , ,^ /ds
\dx) dx
QEumt 4» L. — YIII 48
et, en intégrant,
a étant une constante arbitraire; partant
ds
= dx et
A et a étant arbitraires; de là on aura s et, par conséquent, /? et 7 en
aT
.r, et, restituant au lieu de x sa valeur -g-> on aura les valeurs de */> et de ^q\ et l'équation (10) donnera, en y supposant /| = o,
