X-'psinT-4-'7C0sT — «^''^'^îsin3T4-«'^'"l''^'cos5T-h«^cos5T
c'est Texpression de j, après le temps quelconque T; toute la difficulté
du
se réduit donc a intégrer la quantité '■ — -^\ or elle n'est renfermée
dans aucun des cas connus dans lesquels le binôme afdx{a -f- hx'^y est intégrable; car, pour cela, il faut, comme l'on sait, que --— -^, ou
\- p, soient des nombres entiers, ce qui n'a point lieu pour la
quantité ds{a^ — s^) *.
Exemple III. — Que l'on propose encore d'intégrer l'équation
d^y (II) o = -^-4-y-/-l-a7«.
On intégrera d'abord celle-ci
ce qui donne
y ^n l-^ ps'int 4- q COSt,
p etq étant des constantes arbitraires que je détermine au moyen des
valeurs de / et de ^. lorsque / = o ; je fais ensuite
/=/ + /) sin/-t-y C08 ( -t- a 3,
et substituant cette valeur de j dans l'équation (ii), elle donne, en négligeant les quantités de l'ordre a* et en intégrant.
3P-\- p^-t- Q* a* — p' PQ ■ , ,
s= — -+- ■ ; — cosaf + ^sm2t -h Iptcost — iqtsiat;
donc
Que l'on fasse présentement, dans l'équation (■ i). ( = T + („ T étant supposé constant, elle deviendra
d'où l'on tirera, en l'intégrant et négligeant les quantités de l'ordre a.'.
«(V-V)^.^,st,T + af.)+^^sin(3T+af.),
'/> et '9 étant deux nouvelles constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de y et de ~ lorsque t, — o.
Présentement, si l'on avait a = o, on aurait 'p=p, *q — q; donc *p et *q ne difien donc
Si l'on compare les équations (12) et (i3), on aura, comme dans l'exemple précédent, en négligeant les quantités de l'ordre a*,
èp^—allq et iq — alTp;
d'où l'on voit que /? et 9 sont fonctions de a/T; soit
et Ton aura
dp dq
en intégrant ces deux équations, on aura
/?=:ecos(:r -i-td) et 7 =:esin(a; -hcj),
e et GT étant deux nouvelles constantes arbitraires que l'on déterminera au moyen des valeurs de p et de 9, lorsque a? = o; on aura donc
»/? = ecos(a/T -i-gj), '^ = esin(a/T-4-!ij),
et l'équation (i3) donnera, en y supposant t^ = o,
yznzl— a(2 — -h£j ^gsin[T(i -ha/)-+-cj]— ^ cos[aT(i-h a/) -h aw];
c'est l'expression de y après le temps quelconque T, en négligeant la quantité de Tordre a^.
Si l'on veut pousser l'approximation jusques aux quantités de l'ordre a^, on fera
y = l ^ — ; -t-esin[^(n- a/) -\-in] ^j-cos[ar(i-f- a/) -hacj]-ha«5,
et l'équation (11) donnera, en négligeant les quantités de l'ordre a',
g sm[r(i-i- al) -h®]
e*/cos[af(n- a/) -h aw] — ^sin[3/(n- a/) 4-3©];
partant, en intégrant et en négligeant les quantités de Tordre a, on
aura
5 = 2/'-i-e*/ ^cos[i(i + al) n-XS]
-4- -«- ces [2^(1 -i- «/) 4- 2ci] — -^x sin[3^(i -+- a/) -T- 3w]
et
ae«
•^ 2 («4) I "•" «*^'^-^^sin[^(i -ha/) 4-Gj] — a* — - ^cos[/(n- a/) + ro]
-^ j— j C0S[2^(l -h «/) 4- 2CJ] ^ sin[3^(i H- «/) H- 3w I
e et cDf dépendant des valeurs de y et de ^> lorsque / = o.
Que Ton fasse présentement, comme ci-dessus, / = T-f-/, dans Téquation (i i), et l'on trouvera, de la même manière que nous venons (le conclure l'équation (i4)»
+ «esin^T -h «,) (i -h al) + «ro] — «'('^'^^'^^ ^'e») ^^ ^^^^^^ + <,)(! + «/) + Ibj |
-(-^ ^jcos[(2T-f-2fi)(i-+-a04-2»Gj] 7g-sin[(3T4-3/,)(i-h«/)-+.3»w|,
V et *ts dépendant des valeurs de y et de ^} lorsque /< — o; or, si
Ton négligeait les quantités de Tordre a^, on aurait visiblement *e=e et *tar = cr; donc V ne diffère de e, et ^tar de ex, que des quantités de
l'ordre a' ; soit donc
•e = e H- ôe cl *W = GT H- dd.
Gela poséy les équations (i4) et (i5) donnent, en les comparant, et en
négligeant les quantités de Tordre a^,
desin[t{i -\- al) -h^]-h eÔGicos[/(i -h al) -hw] — — ■^(i8e/«-h5e»)Tcos[^(i-ha/)-+-w],
d'où Ton tire
(i6) ôe = o et ocy=— — {i8/5H-5e«)T;
partant, e est constant et xs est fonction de
en nommant donc — x cette quantité, on aura
ors = X —. 1 y—- -h . . . ,
ax 1 . 3 ax*
et Téquation (i6) donnera, en comparant les termes multipliés par x,
dis dx
