esin[ T(i-{-a/ — |a«/*— Vï

ae'

-(i — 2a/)cos[2T(n- «/ — !«' /»—-î%a>e«) -H 2Ô]

sin[3T(i-ha/ — !«»/«— j^a'e«)-f-30];

c'est, aux quantités près de l'ordre a', la valeur de j^ après le temps quelconque T; on pourrait, en suivant ce procédé, continuer aussi loin que Ton voudrait l'approximation.

La méthode de l'article précédent consiste, comme Ton voit, à déterminer à chaque approximation les constantes arbitraires, de manière à faire disparaître les arcs de cercle, lorsque cela est possible; mais, au lieu de répéter cette opération autant de fois qu'il y a d'approximations, on peut d'abord intégrer l'équation différentielle, en conservant les arcs de cercle et en poussant la précision jusqu'aux quantités de l'ordre auquel on veut s'arrêter; ensuite, on n'aura plus besoin que d'une seule opération pour faire disparaître les arcs de cercle. Développons cette méthode et, pour cela, considérons l'équation différentielle

que nous venons d'intégrer.

Comme je ne veux porter la précision que jusqu'aux quantités de l'ordre a* inclusivement, je fais

En substituant cette valeur de y dans l'équation (ii), et comparant séparément les termes sans a, ceux de l'ordre a et ceux de l'ordre a^, j'ai les trois équations suivantes

dt^

dt'

■~t~ z — f~ 2 zz — o ;

ce qui donne, en les intégrant successivement,

z —. l -hpsïnl -hq cos /,

z' — — \(2t^-{- p*-\-q^)'- lqtS\nt-{- Ipù COS t

-h - — ~- COS 2C -h ^'- sin 2 t,

z''^l{2l^-h'P*'hq^)

-h sin t[\iqt{iSn-h5p^-h 5^») — iplU*] - cos^[^/?/(i8/*4- 5/?«-i- 57») -+- î ^Z»/*]

■f- /? — ^ A -— sm 3 ^ -h <7 -^— TTT-^ COS 3 / ;

partant

cos^ [7 -\-0Llpt- ^ (i8/« -h 5p« -{- 57») - -^- /«l asin 2rM^ [

pql al(p*"-q^)

p et 9 étant des constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de j et de ^, lorsque / = o.

Si l'on fait présentement, dans l'équation (i i), / = T -f- /, on aura,

en rintégrant,

7rz/-a(|-a/)(2/^-+-»/?«-f-»^»)