PRINCIPE
La probabilité d'un événement est égale à la somme des produits de chaque cas favorable par sa probabilité divisée par la somme des produits de chaque cas possible par sa probabilité, et si chaque cas est également
ET SUR LEURS USAGES. Jl
probable y la probabilité de Vés^énement est égale au nombre des casfavorâbles divisé par le nombre de tous les cas possibles.
Problème III. — Deux joueurs A et ^jouent à cette condition, quh. chaque coup celui qui perdra donnera un écu à l'autre ;ye suppose que r adresse de A soit à celle de B comme aib^et que A ait un nombre m d'écus et B un nombre n; on demande quelle est la probabilité que le feu ne finira vas avant ou au nombre x de coups.
Je suppose d'abord a = b, m = /i, et que n soit un nombre pair; il est visible que x doit être alors pair; soit o/« le nombre des cas possibles suivant lesquels, au coup x^ le gain des deux joueurs est zéro: 2/jp le nombre des cas suivant lesquels il est égal à 2, et ainsi de suite; il est évident que le nombre de tous les cas possibles est 2^; si donc l'on nomme „:;^ la probabilité que le jeu ne finira pas au coup x, on aura
mais il est facile de former les équations suivantes, d'après les condi tiens du problème,
o^x ^^= 2 . t^yx-t "+■ O^x-1»
^ar — 2 . %yx-t H- 2 . fO'x^t H- 47x-Ji i/x ~ 2 . 4j'a.-., 4- O'x-f -+- «JKx-t. «Jx = a . ^ar-i 4- 47x-J H- hXx-t^
d'où l'on tire ce qui donne
ou
^•ii-x-2 désignant la différence finie de n'^x-2* en regardant x seule comme variable, la différence constante étant 2.
12 SUR LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES
Reprenons maintenant les deux équations
(0 î/x = 2 . ,7^., -f- 2 . o7x-î -H * Vx,.
La première donne
et la seconde donne
(3) f7*-î= 2.,7x 4-+- 2.o7x-4H- 4jx-*.
Si Ton multiplie Téquation (2) par a, et Féquation (3) par p, et qu'ensuite on les ajoute avec Téquatioq (1), on aura
j/x~ (2 — (3).,7x-i-t- (a.-^- 2P).,7x 4-+- (2 — a).oJx-i
(2a-f-2P).o/x-*-f-*/x-ïH-i3.47x-4.
Soit
2 — a==o ou a=2, et 2a-h2{3=:o ou {3 = — 2;
on aura ainsi les équations suivantes :
ï Vx= 4.î7x-î— 2 .,7,«4 -^ 47x^1— 2 .47,.4,
»7x== 2 . 47x-, -H tyx-i -H «^x-ïf
ç^X 2 . çyx—t "*" ç-t^X-ï "T- ç+ï7«-ï'
n-%yx = 2 . »-j7x-« "+■ n-^yx-f
Ces équations se rapportent évidemment au problème II ; je suppose donc que l'on ait en général
( qyx = fiq • qyx-t "^ ^ç • Ç^X-4 "+~ ^ç ' q y X-% "H • • • "H //^
I 4- ^7 . ç-hiyx-i ~^ 'q • ^-♦-ïj'x-* "+" Pq'q-*-tyx-% 4" . • . .
On aura donc
9-î/x-2 =^ ^ç-î • ç-ï/x-* ~+- àq^% . 7,7jf-« -*- ^ç-ï • q-tfx-i -"H • • • "f" '/7-I 4- "q-%»qyx-k~^ *ç--î«çJ'x-«~+" Pq—t* qyx-t '^ • • • •
Substituant dans cette équation, au lieu de ^-ajx-a» ç-2jx-4» • • •» leurs
valeurs que fournit l'équation (A), on aura
Donc, en comparant cette équation avec l'équation (^•), on aura :
or, comme ici la différence constante est 2, on aura en intégrant a^= ^r H- c, c étant une constante, et, posant 7 = 2, on a «^=4; donc c = 2, partant 0^= ç' -f- 2 = /w, en faisant ç' 4- 2 = /w.
d'où l'on conclura en intégrant et ajoutant la constante convenable
4" /y — — ttq^i — — ( m — 2 ).
5* Cy "^^ ^q—l — 2 &y— s -+- Iq—t 'y
donc Cy = — ^^ ï^-3 • • • , enfin u^ = w^.a ; partant i/^ = C ; or y
étant 2, on a C = o, donc w^= o; ainsi l'on aura
Si nous supposons maintenant q -=, n — 1^ alors il ne faudra point tenir compte des termes ^^aj^.a, q^^x-s^ •••» et nous aurons dans cette supposition /w = //; donc
n-^x — ^ ' n-xyx-t ~~~ • n—iyx-K 4- . . . .
Substituant dans cette équation, au lieu de „2jx» n-2ja--2» • • • » leurs valeurs — 2*^* A.,/3j:» — ^^^-n^x-s» •••» nous aurons, après
U SUR LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES
avoir intégré,
pour déterminer cette constante H, on doit observer qu'en supposant o^ = 71, on aura
donc
Or on sait que, si l'on nomme cosf =y, on aura
cos/i9 = a»-i^i» — /i a"-*/*-' H ^ ^ 2'^"* y~^ -h . . . .
Posant donc ç = o, on aura
'"~ â^-"* ~ 4 17274^" "* rr2T3T4» "" '"
d'où l'on conclut H = o.
Supposons actuellement que n soit un nombre impair, x sera alors impair, et nous aurons
ensuite on formera les équations suivantes :
^yx^'^'iyx-t-^tyx^u
^, = 2 . ^^ar-t -^ i^*-i + %yx-t^
en opérant ensuite comme précédemment, on aura l'équation
la même que pour les nombres pairs.
Supposons maintenant que les nombres des écus des deux joueurs soient égaux et pairs, et que les adresses de ces joueurs soient inégales et dans la raison deakb; en nommant oyx 1^ nombre des cas suivant lesquels au coup x le gain des deux joueurs est zéro, ^yx 'e nombre des cas suivant lesquels le gain de A peut être 2, et ^y^c 1^ nombre des cas suivant lesquels le gain de B peut être 2, et ainsi de suite, on formera aisément les équations suivantes :
(«0 iyx= 2a6.47a:-,H- a*.^Xar-t-H b^O^x-n
n-lfx ='iab. a-iyx-t -^ a* . n-kyx-t , >
iyx= ^ab' iyx-t-^ à^'iax-i-^ et*' iyx-i,
or ici le nombre de tous les cas multipliés par leur probabilité particulière est (a -H by : nous aurons donc
or il est aisé de voir que Ton a iyx= —% • 2yxf substituant cette valeur de ^y^g dans l'équation (/), on aura
Eliminant de cette équation (*) ^y^ au moyen de Téquation (i^), on aura
(*) 11 faut changer dans celte équation x en jt — 2, et éliminer ojx-i ®^ o/;c~i entre réquation ainsi obtenue, l'équation (i^) et colle qu'on en déduit on remplaçant x par jc—x.
(Note de r Éditeur,)
16 SUR LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES
Cette équation, avec l'équation (w) et les suivantes, donnera, par un procédé semblable au précédent,
d'où nous conclurons
nab n(n — 3 ) a^b*
""'-(a-h^)» ""'-' 1.2 (a-hbr '•"'-*
Si n était impair, le problème se résoudrait exactement de la même manière; ainsi il serait inutile de nous y arrêter davantage.
Mais voici une autre manière de traiter le même problème, toujours suivant la méthode des suites récurro-récurrentes; on fera
/i-ij'x — 0^X9 n-^yx — î^'o:»
et Ton aura les équations
D'où l'on tirera facilement, par le Problème II, une équation entre n-A^'x^ n-4^x-2» • • • ^^n-~2^x-i^ n-2^jr-«» • • •• ^^^ ^^ fl^i cst la même chose, entre jjar» aJx-a» • • • et ojjp-at oJa;-4» . . • ; à l'aide de cette équation et des deux équations (/) et (r), on éliminera facilement '^y^^ '^yx-i et o7x-2» o7a?-4» et l'on aura une équation entre ^yx^ a^x-a» ••• et 4j«-2. 4jx-4» •••» d'où ensuite il sera facile, par le Problème II, de trouver une équation entre «-ajx» «-aj^x-a» •••» et, changeant dans cette équation a en 6 et 6 en a, on aura une seconde équation entre n-'^y^^ „«27ar-2» • • •» et do ces deux équations on aura facilement „5^.
Ce serait le même procédé si le nombre d'écus était différent pour les deux joueurs, et le problème n'a d'autre difficulté que la longueur du calcul.
6. Je passe maintenant au Problème suivant, qui m'a été proposé à l'occasion d'un pari fait sur la loterie de l'École militaire.
Problème IV. — Une loterie étant composée d'un nombre n de numéros i, 2, 3, . . ., w, dont il sort un nombre p à chaque tirage^ on demande la probabilité qu'après x tirages tous les numéros seront sortis.
Supposons que S parie que tous les numéros ne seront pas sortis après ce nombre de tirages, et cherchons tous les cas favorables à S ; il est clair que leur nombre est égal :
i^ Au nombre de cas suivant lesquels le numéro i peut n'être pas sorti après le tirage x;
2^ Au nombre des cas suivant lesquels le numéro 2 peut n'être pas sorti, le numéro i étant sorti;
3** Au nombre des cas suivant lesquels le numéro 3 peut n'être pas sorti, les numéros i et 2 étant sortis, et ainsi de suite; si donc l'on nomme ^j^^ la somme de tous ces cas jusqu'au numéro 9, on aura
qyn=g-tyn—q-Kyn-i-\-\ ' .\ ' ^ j >
nn^i)..,(n — p)'V
équation qui se rapporte au Problème l, q et n étant supposés variables et X constant ; voici comment on peut l'intégrer dans ce cas par« ticulier; posant^ successivement égal à i, 2, 3, .. ., on aura
d'où l'on conclura facilement
Or ici la somme de tous les cas possibles est -i)...(/2 — p-{-i) *^
OKuvret de U — VUI. 3
18 SUR LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES
nommant donc Zg. la probabilité de S, on aura
Si Ton veut appliquer cette formule à la loterie de TÉcole militaire, il faut, suivant la nature de cette loterie, supposer /i = 90 et/? = 5.
7. La notation que nous avons employée et la manière dont nous considérons le calcul aux différences finies à deux variables sont, comme Ton voit, d'un usage étendu dans la théorie des hasards. Pour en donner encore un exemple très simple, que Ton se propose le problème suivant :
Problème V. — Si dans un las de x pièces, oji en prend un nombre au hasard, on demande la probabilité que ce nombre sera pair ou impair.
Soit py^c le nombre des cas suivant lesquels ce nombre peut être pair, et p^^yx le nombre des cas suivant lesquels il peut être impair; on aura
( ' ) pyx-\-\ ^^ pyx "+" p— l^ar»
, Cette seconde équation donnera
p-xyx'^^ p-iyx-i "+" aX^t-i ~*" ' •
La première donne
p^x ^^ flXx-1 "^ p—iyx-i 5
donc on aura
d'où Ton tire, en intégrant,
or, posant a: = i , on a
pyx=o;
donc 2A — I = G et A = ^, partant pyx= 2*"* — 1, et puisque Téqua-
tion (i) donne
on aura
La somme de tous les cas possibles est visiblement
pyx-^p-0'x=^'—^'
Si donc on nomme pZ^g la probabilité que le nombre sera pair, et p^iS^ la probabilité qu'il sera impair, on aura
d'oii il est facile de voir qu'il y a toujours plus d'avantage à parier pour les nombres impairs que pour les pairs.
Je suppose que Ton soit assuré que le nombre x ne peut excéder /i, mais que ce nombre et tous les nombres inférieurs sont également possibles; on aura, pour la somme de tous les cas favorables aux impairs,
or, X étant i, on a
2'-hC = i;
donc C = — I et 2'-f- C = 2*^— i; on aura pareillement
or, X étant i, on a
2' — a? H- C=lO,
donc C = — i; partant, la somme de tous les cas favorables aux impairs est 2"— i, et la somme de tous les cas favorables aux pairs est 2"— /i — i; ainsi la probabilité pour les impairs est
20 SUR LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES
et la probabilité pour les pairs est
Dans V Histoire de l'Académie des Sciences, pour Tannée 1728, on voit que M. de Mairan a pareillement observé qu'il y a toujours plus d'avantage à parier pour les impairs que pour les pairs; mais il me semble que la manière dont cet ingénieux auteur envisage le problème n'est point exacte, et que, pour apprécier cet avantage, il est nécessaire de le considérer sous le point de vue sous lequel nous l'avons estimé.
On peut concevoir de la même manière des suites récurro-récurrentes, dont le terme général aurait trois ou même un plus grand nombre d'indices variables, et si elles se rencontrent dans la résolution des problèmes, on pourra les traiter par une méthode analogue à la précédente.
8. Quoique les théorèmes suivants n'aient qu'un rapport éloigné avec l'objet de ce Mémoire, cependant, comme ils m'ont paru être de quelque utilité dans l'Analyse, j'en donnerai ici l'énoncé, sans y joindre la démonstration; on la trouvera dans le Mémoire que j'ai déjà cité au commencement de celui-ci, et qui a pour titre : Recherches sur le Calcul intégral aux différences infiniment petites et aux différences finies.
Théorème I, sur les différences infiniment petites. — Soit l'intégrale complète de l'équation
C, C, C", ... étant des constantes arbitraires, u, m', z/', ... étant des intégrales particulières de l'équation (a), et H, H', H", . . . étant des fonctions de la variable x, dont la différence est supposée constante, et que
l'on suppose
- u' du — u du' = u' du — u du' - u' du — u du'
<^« au dû
—7 u" du — u du* == u' du — M du"
au du
—= u" du — u du*"
du
Jusqu'à ce que l'on parvienne ainsi à former u; soit alors — ^ =5^""*^;
siy dans l'expression de z^'^~'*^on change i/<*"^,iew.ii^'*~^\ et réciproquement, on formera z^"~^^; si, dans la même expression de 5^""*^ on change m^""*^ en [/^""'^ et réciproquement, on formera z^'^~^\ et ainsi de suite; je dis que l'intégrale complète de l'équation
X étant une fonction quelconque de a?, sera
yr=zu{C -^fz \dx) -^u'(C'-¥fz'Xdx) ■^u'iC'-^fz'Xdx)
~\-u(^-')(C^-^^-^fz^'"-'^Xdx).
Théorème II, sur les différences hnies. — Soit l'équation différentieUe aux différences finies
Hx, 'H^, . . . étant des fonctions quelconques de a?, et y g. désignant l'y qui répond à l'indice x\ soit V intégrale de cette équation
y^— ku -h 'A 'u 4- 'A '« 4- . . . 4- "-*A »->«,
22 SUR LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES
A, 'A, . . . étant des constantes arbitraires y et u/u, ... étant des intégrales particulières de r équation (6) ; que l'on suppose
jusqu à ce que Ton parvienne ainsi à former u; soit maintenant // =''-*'^, et concevons que dans '*~*z on change ""*w en "'*!/, et réciproquement, on formera ""'s; si dans la même expression on change ""*« en ""*«, e£ réciproquement, on formera ""'s, ...; Je dis que i intégrale complète de Véquation
sera
fe signe -f- aya/i/ /lew ^i n est impair, et le signe — s il est pair; on doit observer ici que la caractéristique A sert à désigner la différence finie, et la caractéristique ^ i intégrale finie.
Pour donner une application du premier théorème, considérons Téquation que M. de la Grange intègre dans le III* Volume des Mémoires de Turin, page 190, laquelle est de cette forme
A, B, D, E, . . . , V étant des coefficients constants.
En y supposant X = o, et faisant 7 = (A 4- Ko?)', elle devient, après avoir divisé par (A 4- Ka:)',
(9) o = i-f-AK/-+-BK«/(/-i)4-DK»/(/-i)(/-a)4-....
Soient />, p\ p\ ... les valeurs de / dans cette équation, et Ton aura
d'où l'on tire facilement
partant Donc
Ce résultat semble différer, au premier coup d'œil, de celui que trouve M. de la Grange à l'endroit cité des Mémoires de Turin, mais on peut en reconnaître l'identité de cette manière.
Ce grand géomètre trouve que r,, r^, r,, ... étant les racines de l'équation
j 0 = 1 — AK(r-M)-f-BK»(r-M)(r4-2)
si l'on différentic cette équation en faisant varier r, qu'après avoir divisé par dr on substitue successivement au lieu de r ses valeurs r,, Tj, r,, ... et qu'on nomme Q,, Q^, ... ce que devient alors cette différence, on aura
(Iv) yz= — K{ (A 4- Kj; )->•.-•
jMh + Kxy.dx (*
24 SUR LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES, ETC.
Or, si Ton suppose r 4- 1 = — /, Téquation (10) devient
donc, en comparant cette équation avec Téquation (9), on aura
/ = /, partant
Ensuite l'équation (10) peut être mise sous cette forme
o = ±V(r-rj)(r-r,)(r-r,)...,
le signe + ayant lieu si n est pair, et le signe — s'il est impair; d*où il est facile de conclure
Q, = di V(r, - r.) (r, - r^)(r,^ rj . . . ^±:\{p-p')(p^p')(p^p'),,..
Or l'équation (9) donne
donc
