Tome VI, p. Gai
La théorie des hasards est une des parties les plus curieuses et les plus délicates de l'Analyse, par la finesse des combinaisons qu'elle exige et par la difficulté de les soumettre au calcul; celui qui parait l'avoir traitée avec le plus de succès est M. Moivre, dans un excellent Ouvrage qui a pour titre : Theory of chances ; nous devons à cet habile géomètre les premières recherclres que l'on ait faites sur l'intégration des équations différentielles aux différences finies; la méthode qu'il a imaginée pour cet objet est fort ingénieuse et il l'a très heureusement appliquée à la solution de plusieurs problèmes sur les Probabilités; on doit convenir cependant que le point de vue sous lequel il a envisagé cette matière est indirect. Les équations aux différences finies sont susceptibles des mêmes considérations que celles aux différences infiniment petites, et doivent être traitées d'une manière analogue; la seule différence qui s'y rencontre est que, dans le cas des différences infiniment petites, on peut négliger certaines quantités qu'il n'est pas
(*) Par M. de la Place, Professeur à l'École royale militaire.
permis de rejeter dans le cas des équations aux diiïércnces finies, ce qui rend l'intégration de celles-ci plus épineuse; Tillustre M. de Lagrange est le premier qui les ait envisagées sous ce rapport, dans un beau Mémoire qui se trouve dans le premier Volume de ceux de Turin ; cette théorie des équations aux difTérences finies est du plus grand usage dans la science des Probabilités, et ce n*est qu*à son moyen que Ton peut espérer une méthode générale de les assujettir à l'Ana- Ivse.
En cherchant à résoudre de cette manière plusieurs problèmes sur* les hasards, je suis tombé fréquemment dans une espèce d'équations aux difTérences finies, très différentes de celles que l'on a considérées jusqu'ici; on peut les regarder comme des équations finies aux différences partielles; leur importance dans l'Analyse des hasards m'a déterminé à les considérer d'une manière particulière dans un Mémoire Sur les suites récurro^récurrentes, imprimé dans ce Volume (*); mais, ayant repris cette matière, je me suis aperçu qu'elle était d'une très grande utilité dans la science des hasards, et qu'elle donnait un moyen de la traiter beaucoup plus généralement qu'on ne l'a fait encore; cette considération m'a porté à l'approfondir davantage, ainsi que toute la théorie de l'intégration des équations finies différentielles; c'est ce que je me suis proposé dans un Mémoire que j'ai lu à l'Académie, et qui a pour titre : Recherches sur V intégration des équations différentielles aujc différences finies, et sur leur usage dans la T/iéorie des hasards; ce Mémoire devant paraître dans le Volume de l'Académie pour l'année 1773, j'y renvoie le lecteur (^); l'objet de celui-ci est très différent : je me propose de déterminer la probabilité des causes par les événements, matière neuve à bien des égards et qui mérite d'autant plus d'être cultivée que c'est principalement sous ce point de vue que la science des hasards peut être utile dans la vie civile.
(*) Foir p. 67.
L'incertitude des connaideances humaines porte sur les événements ou sur les causes des événements; si Ton est assuré, par exemple, qu'une urne ne renferme que des billets blancs et noirs dans un rapport donné, et que l'on demande la probabilité qu'en prenant au hasard un de ces billets il sera blanc, l'événement alors est incertain, mais la cause dont dépend la probabilité de son existence, c'est-à-dire le rapport des billets blancs aux noirs, est connue.
Dans le problème suivant : Une urne étant supposée renfermer un nombre donné de biliets blancs et noirs dans un rapport inconnu, si Von tire un billet et quil soit blanc, déterminer la probabilité que le rapport des billets blancs aux noirs est celui de p à q; l'événement est connu et la cause inconnue.
On peut ramener à ces deux classes de problèmes tous ceux qui dépendent de la théorie des hasards; nous ne discuterons ici que ceux de la seconde classe, et pour cela nous établirons le principe suivant :
Principe. — 5^ un éi>énement peut être produit par un nombre n de causes différentes, les probabilités de l'existence de ces causes prises de réi'énement sont entre elles comme les probabilités de Vés^énement prises de ces causes, et la probabilité de V existence de chacune d'elles est égaie à la probabilité de l'événement prise de cette cause, divisée par la somme de toutes les probabilités de l'événement prises de chacune de ces causes.
La question suivante éclaircira ce principe, en même temps qu'elle en fera voir l'usage :
Je suppose que l'on me présente deux urnes A e/ B, dont la première contienne p billets blancs et q billets noirs, et la seconde contienne p' billets blancs et q' billets noirs; je tire de iune de ces urnes {j'ignore de laquelle) f -^-h billets, dont f sont blancs et h sont noirs ; on demande, cela posé, quelle est la probabilité que l'urne dont j'ai tiré ces billets est A ou qu'elle est B.
En supposant que cette urne soit A, la probabilité d'en tirer/billets blancs et h billets noirs est
Soit K cette quantité; si Ton suppose maintenant que Turne dont j*aî tiré les billets est B, la probabilité d'en tirer / billets blancs et h billets noirs se déterminera en cbangeant, dans K^ petq en p'ei q'\ soit K' ce que devient alors cette expression. Cela posé, les probabilités que l'urne dont j'ai tiré les billets est A ou B sont entre elles, par le principe énoncé ci-dessus, comme K est à K'; la probabilité que cette urne
est A est égale à ^ j,, et celle qu'elle est B est égale à ^ — jt>-
Nous allons présentement appliquer ce principe à la résolution do quelques problèmes.
Problème I. —Si une urne renferme une infinité de billets blancs et noirs dans un rapport inœnnu, et que Von en tire p -h q billets dont p soient blancs et q soient noirs ; on demande la probabilité quen tirant un nouveau billet de cette urne il sera blanc.
Solution. — Le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets contenus dans Turne peut être un quelconque des nombres fractionnaires compris depuis o jusqu'à i; or, si Ton prend un de ces nombres a? pour représenter ce rapport inconnu, la probabilité de tirer de l'urne /? billets blancs et y billets noirs est, dans ce cas, xP{\ — xy\ partant la probabilité que x est le vrai rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est par le principe de l'article précé-
dent égale à --r-^ > l'intégrale étant prise de manière qu'elle
/ xP{i — x)t dx
soit nulle lorsque a? = o, et qu'elle finisse lorsque rr = i; or, dans la supposition que a? est le vrai rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets, la probabilité de tirer un billet blanc de l'urne esta;; si Ton multiplie maintenant cette quantité par la proba-
bilité (le la supposition, on aura, pour la probabilité de tirer un billet blanc (le l'urne en vertu du rapporter, —^ — \^~~^) — f ^ gj conséquein-
ment, si Ton nomme Ë la probabilité entière de tirer un billet blanc de l'urne, on aura
Ç xP^^ [\ — xY dx
Ç ^^(} — x^dx
en observant de faire commencer les intégrales lorsque 07 = 0 et de les terminer lorsque a? = i .
Il est facile, d'après ces deux conditions, d'avoir une expression fort simple de E, car on a
fxP^^(j — x)^ dx = — ^ fxP^*(\ — x)i-'^ dx
et ainsi de suite, partant
rxp^'(i-x)^dx=^^ ^, '-"^I^'f ;>
pareillement
/»/ v«j 1.2.3. ..7 XP(l — X)9 dx =r r ;
donc
Si l'on cherchait la probabilité de tirer de l'urne m billets blancs et n billets noirs, on trouverait
rxP*"^(i — x)i-*-''dx
/ xP{i --x^dx
d'où l'on tire
p eiq étant supposés fort grands, on peut simplifier cette expression de
:i'2 SUR LA PUOnABILITÉ DES CAUSES
la manière suivante : pour cela, j*ol)serve que Ton a
li-4-l2-+-13-+-...-4-lx = |la7r-+-(j:-4-i)lj: — J?H . ..,
:: exprimant le rapport de la demi-circonférence au rayon (tmr les //istitutions du Calcul différentiel de M. Euler); de là il suit que, si l*on nomme e le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on aura, en supposant /? et 7 de très grands nombres,
x/ V , X 1. a. 3... (7 -4-^0 (v-t-zi)*^"'^» (7 -h 0 (7 ^ 2). . .(y -t- n) = —--^.\(--^-J ^ ^ ' L^^ ,
pareillement
(A^-^o.-.C/' + ^ + o^-^— ^-4ii —
et
ei ^n^^ (p ^ mf'^'^'^^
Donc
nous observerons ici que parce que
en supposant/' + 9 infiniment grand. Scniblahlement, si nous supposons m et n fort petits par rapport à /> et à 7, nous aurons
et
donc alors nous aurons
ptngn
m-Hi»
De là on peut conclure que, p ^i q étant supposés fort grands, tant que m et n seront beaucoup moindres, on pourra, sans craindre aucune erreur sensible, calculer la probabilité de tirer de l'urne des billets blancs et noirs, en supposant que dans cette urne le rapport du nombre des billets blancs est à celui des billets noirs comme jd est à 9; mais cette supposition devient fautive lorsque /w et /i sont fort grands, ce qu'il me parait essentiel de remarquer. Pour le faire voir, supposons m =/i et n = 7, nous aurons
expression, comme Ton voit, différente de celle-ci
à laquelle on parvient en représentant par ^ le rapport du nombre
des billets blancs au nombre total des billets contenus dans l'urne.
La solution de ce problème donne une méthode directe pour déterminer la probabilité des événements futurs d'après ceux qui sont déjà arrivés; mais, cette matière étant fort étendue, je me bornerai ici à donner une démonstration assez singulière du théorème suivant :
On peut supposer les nombres p et q tellement grands, qu'il devienne aussi approchant que Von voudra de la certitude que le rapport du nombre de billets blancs au nombre total des billets renfermés dans l'urne est compris entre les deux limites — (o e/ -^ h co, o) pouvant être supposé moindre qu'aucune grandeur donnée.
Pour démontrer ce théorème, j'observe que la probabilité du rapport X est, par ce qui précède, égale à
OEuvres dt L. -- VHI. 5
Soit X = — h z, et nous aurons
p-hq
Si Ton intègre cette quantité depuis 5 = 0 jusqu'à z = ta, en multipliant cette intégrale par — 1^"^^"^ > on aura la probabilité
que le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est compris entre les limites — — et — h o).
P .* P Pareillement, si Ton intègre
fi'- '-r^n-'-r ')'■"■
depuis :; = o jusqu'à z = (s}, en multipliant cette intégrale par {p-^^)"'{p-^ç-^^)^ Qjj ^^J,g^ jj^ probabilité que le rapport du nombre
des billets blancs au nombre total des billets est compris entre les
limites — — et — ^ (o. La somme de ces deux quantités exprime
donc la probabilité que ce rapport est contenu entre les limites p . ^é P
— 0) et — ^- h û>. Nommons E cette probabilité; supposons
d'ailleurs /> et q infiniment grands, et que co, ou la plus grande valeur
de :;, soit infiniment moindre que ,. > et infiniment plus grande
Vp-^q
que y qu'elle soit égale, par exemple, à ;•> n étant plus
grand que 2 et moindre que 3.
Si l'on fait présentement I ( i — ^-^ z\ = m, on aura, en réduisant en séries,
Nous pouvons négliger ici le terme — ^^ ;~z^ et les suivants, car la
plus grande valeur de z étant par la supposition égale à — ? — ^9 on aura
dans le cas où e aura le plus grand exposant négatif; or, puisque n est moindre que 3, cet exposant est visiblement infiniment petit, et par-
tant on peut supposer e »^' ' égal h l'unité. On aura pareille-
ment
De là on conclura facilement
or on a
Donc
i.'i.S. . .<7 Kp-^qY^'^
^iTZ^pq
Soit - i^^tl}! 5^ = 1 [X, et l'on aura
lie «"^ é/5i= y i'i ^ à
ip-^gï
le nombre [x peut ici recevoir tous les accroissements possibles depuis o jusqu'à I, et, en supposant l'intégrale commencer lorsque [i. = i, nous avons ici besoin de sa valeur lorsque [x= o. Voici maintenant comment on peut la déterminer; pour cela, nous ferons usage du théorème suivant. (Voir le Calcul intégral Aq M. Euler.) En supposant que l'intégrale commence lorsque [x = o et finisse lorsque [x = i, on a
quels que soient n et i. Supposons conséquemment n = o ei i infini ment petit; nous aurons
, - nU
car le numérateur et le dénominateur de cette quantité devenant nuls par la supposition de i= o, si Ton différentie l'un et l'autre en regardant i seule comme variable, on aura
Il ^
partant i — (ji^'= — 2el[x; on aura donc dans ces suppositions
Tr^V n/^^^^J sf^isJ^^J V^V=^"^ ^'
partant
di.
en supposant l'intégrale commencer lorsque [x = o et finir. lorsque [X = i; mais comme, dans le cas précédent, cette intégrale commence lorsque (x = i et finit lorsque (x = o, nous aurons
Donc
2€ «/'V z^dz—^LtLLJ. —
{p-^qY
d'où nous obtiendrons E = i; on voit donc qu'en négligeant les quantités infiniment petites, nous pouvons regarder comme certain que le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est
compris entre les limites — hû> et — co, (o étant égal à ^
p-^q p-\'q ^ Vp^q
n étant plus grand que 2 et moindre que 3, et à plus forte raison n étant plus grand que 3; partant co peut être supposé moindre qu'aucune grandeur donnée.
Supposons maintenant que Ton propose de déterminer l'erreur que Ton peut commettre en faisant E = i, lorsque l'on donne à z une très petite valeur co; voici un moyen fort simple d'y parvenir.
Il faut intégrer d'abord
/(-'r-'-ri-^'^)'-'
depuis 5 = 0 jusqu'à 5 = co. Pour cela, je suppose que K soit l'intégrale entière depuis 5 = 0 jusqu'à z = —^ ; cette intégrale est visiblement trop grande pour l'objet que nous nous proposons; il faut en retrancher l'intégrale
depuis 5 = co jusqu'à z = ^ ; soit 5 = co -h /, et l'on aura
J'observe que co doit, par ce qui précède, être supposé infiniment plus grand que ; supposons /infiniment moindre que > afin
de pouvoir négliger les termes affectés de/^, /', ... dans le développement de l'exposant de e, et nous aurons
{p-¥-4f)*tùf
g pq'-tù{pp-qq)-ta*[p-k-q)* fiy
pq — (ù{pp- qq) — (ù^p H- q)^ / ^- „a^^u>o-aa^-u>Uv^qA
Supposons ensuite co/ d'un ordre infiniment plus grand que
p-hq
(p-\-g)*tùf
ce qui est possible; alors e p^-^^pq-^q)-^^^?-^^)* devient négligeable par rapport à l'unité, et l'intégrale précédente deviendra, par la supposi-
lion de o) très petit, éffale à — ^^,^ : nous aurons ainsi
l'intégrale étant supposée commencer lorsque 5 = o) et finir lorsque z = lo -h -. — ~v»' ^ étant plus grand que -• Or la différence de cette
intégrale avec l'intégrale entière prise depuis 5 = co jusqu'à 5== — - — est infiniment moindre; pour le démontrer, j'observe que si Ton nomme, pour abréger, y la quantité ( i -h - — - 5 W i — ^ — ^ z\ , on
aura, lorsque 5 = o) ^- - — > n étant plus grand que -»
Si l'on donne à :; une plus grande valeur, y devient moindre, partant I yds depuis 5 = o) -f- - — ^ — r;^ jusqu'à ^ est moindre que
or, puisque nous avons supposé . ^ infiniment plus grand que
la quantité précédente est infiniment moindre que
pq
car, en général, e*">Qo"*, m et n étant des nombres finis quelconques.
Nous aurons donc
en supposant l'intégrale commencer lorsque 5 = o et finir lorsque
z = (a. Semblablement nous aurons, avec les mêmes conditions,
(p-hgYo)
K' étant ce que devient K lorsqu'on y change /> en ^ et ^ en p; nous aurons, par conséquent,
