cos(T4-/,)n^-ha/*/?^,--— ;^(i8/*-h5'/?'4-5»^^)-~'7/»/îl

'/i et *^ étant deux nouvelles constantes arbitraires dépendantes des valeurs de 7 et de ^j lorsque /, = o.

On peut, sans intégrer une seconde fois, conclure Téquation (V) de l'équation (V), en changeant dans celle-ci p en */>, y en *y, / en /, , excepté sous les sinus et les cosinus, où Ton doit écrire T 4- ^ au lieu de /.

Si l'on compare maintenant dans les équations (V) et (V) les coefficients de sin/ et de cos/, on aura, en observant que / -= T -1- /,, les deux équations

'7-t-a/«/'f,- îî^^ (18/»+ 5 '/>'+ 5 V) - - V''î

= 7 + a(T + f.) [//> - ^ (i8/»+ 5/)»-H 5^»)1 - j ql'(T ■+■ «,)'.

Je fais dans ces deux équations t, = o, et j'observe que l'on a

, ^dq T* d*q

•î = 7-hT^4- — ^4-....

Qffvrref de h. - VHI. 49

En substituant ces valeurs dep et de q dans les équations précédentes, on aura, en comparant séparément les termes multipliés par T, les deux équations suivantes :

Soit a/T = X, et Ton aura

dx ^ 12 l

dq__ -. «/^('8/'-i-5/?»4-5y*)

dx ^ 12 1

Je multiplie la première de ces équations par p^ la seconde par 7, et je les ajoute ensemble, ce qui donne

dp dq

donc

e étant constant; on aura conséquemment

dp r a{i8/«-+-5c«)1 ^="4' i^^ ^J'

rfa;"" '^L la/ J'

d'où je conclus, en intégrant,

( r a(i8^-|-5e«)"] .) />=:ecos]a:li--i — —^ 'J'*' r

e et 6 étant deux constantes arbitraires dépendantes des valeurs de p

et de ç, lorsque or = o; on aura donc

'p^ecos^aT^l ^ j^ \'^ Y

«^ = e sin J «T / ^ ' "*" ^ r

Ainsi Téquation (V) donnera, en y supposant /, = o,

/ = /— a(A~a/) (2 /« 4- e») 4- esin[ T(i-h «/- f a»/» — V^a'e») -h S]

— ^ (i - aa/) cos[2T(i -h a/- î a«/«— îV «*«*) -+- 2^]

— ^ sin[3T(n-a/ — fa'/*-^a»<?«) + 30].

Cestt aux quantités près de l'ordre a% l'expression de y, après le temps quelconque T; cette valeur est précisément la même que celle à laquelle nous sommes arrivés par un autre procédé dans l'article précédent.

Prenons encore pour exemple l'équation différentielle

T, T\ ... étant des fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus de cette forme sine/, cos6/.

Soit

y=^z -h as' -H (x*z"'h

et Ton aura, en comparant séparément les quantités sans a, celles de l'ordre a, celles de Tordre a^, etc., les équations différentielles

ePz

°^^ i AJ-» — T'k'-uT"— ^ -i-T*s*-4-T'*« — a-

Ces équations seront au nombre de /i-h i, si Ton veut pousser l'approximation jusqu'aux quantités de l'ordre a" inclusivement; on les intégrera facilement par les méthodes connues, en conservant les arcs de cercle, et l'on pourra, pour plus de simplicité, rejeter des valeurs de :;', z'\ ... les termes de la forme 6 sin A/ et 6 cos A/, 6 étant constant ; car je suppose que dans la valeur de z' on ait le terme 6sinA/; comme on peut ajouter à l'intégrale de l'équation différentielle en z' le terme KsinA/, K étant arbitraire, on pourra prendre K égal a — 6; et dans ce cas, le terme sinA/ disparaît. A la vérité, de cette manière, z\ z'\ ... ne renferment point de constantes arbitraires; mais, comme z en renferme deux, la valeur de y les renfermera pareillement; partant, elle sera complète; on aura ainsi pour y une expression de cette forme

I (/>-+- ^ [ K4-a(«/?-h*a<7)-ha-(-a/>*-H'a/?7 H-*a<7») -h a*(*a/?'-f-...) -+-. y—^\x\ht\ -^ ^î [iR -h

cosA^ I -H r-[»H -f-

R étant fonction de /, de sinus et de cosinus.

Présentement, si l'on suppose, dans l'équation (a?), / = T -i- /|, on aura, en l'intégrant,

/>'-+- ^1 [ K-+- a(a/?'-h ^aq*) 4- . . .] y - sini^ (T ^h)\ 4- ^j [tK -+- ]