S -HP

et pour la seconde

— (S-hP)t^

Imaginons ensuite une autre planète P', pour laquelle nous nommerons ç', r' et s' ce que nous avons nommé ç, r et ^ pour P; soit V la

p/ distance de P à P'; P' attirera P avec une force égale à y-^; il faut

décomposer cette force en deux, l'une perpendiculaire au plan fixe, et l'autre parallèle à la projection de la droite *^ sur ce plan; or, la première est égale à — ~ — P', et la seconde est égale à ^^> en nommant (^1 la projection de V; si l'on décompose cette dernière force en deux autres, Tune parallèle, et l'autre perpendiculaire a r, on trouvera, pour la première,

[r^cos(y* — y) — r]

et pour la seconde

r^sin(9^— 9)p,

kdO RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

La planète P' attire le Soleil avec une force égale à p^ï 7ri> î'

faut donc transporter cette force en sens contraire à la planète P; et si, après l'avoir ainsi transportée, on la décompose en trois. Tune perpendiculaire au plan fixe, Tautre parallèle à r, et la troisième parallèle au plan fixe et perpendiculaire à r, on trouvera, pour la première

pour la seconde

et pour la troisième

P'cos(9'-

P'sin((p'~

Si l'on marque de deux traits, de trois traits, etc., les lettres marquées d'un trait dans l'expression des forces précédentes, on aura les forces résultantes de l'action de tant d'autres planètes, P'', P*', P*^, ...» qu'on voudra; rassemblant donc toutes ces forces, on aura

P'[r' cos(9'— <p) — r] P' cosC^'— 9)

'cos

P*cos(9'-

:P'sin(9' 9)

-hP'.

l-hS'

(S-hP)î r«(i-i-s»)ï

rs)

m \' ET m , .

partant, on aura

~ -^tr -,-3 I I ri . . . ,

(IQ)

-^£:[y.,,cos(y--9)]| ^,^ - ,.4"^»^i-^T""

Les observations nous ont appris que les planètes se meuvent dans des orbites presque circulaires et peu inclinées les unes aux autres, et que les perturbations que ces corps éprouvent en vertu de leur action réciproque sont presque insensibles, puisque leurs mouvements sont à très peu près les mêmes que si le Soleil seul agissait sur elles. Il faut donc que leurs masses soient extrêmement petites relativement à cello du Soleil; ainsi, nommant S(x, opi', 8\if\ ... les rapports des masses de P. P', P"', ... à celle du Soleil, je considérerai ces quantités comme infiniment petites, et je négligerai leurs carrés et leurs puissances supérieures, en sorte que, dans les expressions de 9, r, 5, je n'aurai égard qu'aux termes de Tordre o[jl, ce qui donne, pour ces variables, des expressions de cette forme

19 = M H- M ' ôfx ' -+- M " djjL'' -^ . . . ,

On peut supposer â(x''=o, S[x"'=o, ..., et déterminer dans cette supposition M', N', Q'; car M'', N", Q'', M*^, ... peuvent s'en déduire aisément en y changeant les quantités relatives à la planète P' dans celles qui sont relatives aux planètes P'', P"^, ....

Cela posé, si Ton avait 8\l = o ou, ce qui revient au même, P'= o.

les équations (lo), (ii) et (12) se changeraient dans celles-ci :

Ces équations sont celles qui auraient lieu si les planètes n'agissaient point les unes sur les autres; leurs intégrales sont donc, par l'article IX

-r-|a*e'sin(2n^-f- 2^) h-. . . — {a'y*sin(2/i^-h 2cj),

1 H -^ -h aecos(/i^4- 0)

cos(2/i^-+- 21/) -h. . . H -^ cos(2nt -h 21ÎT) ,

s =z ay sin (n^ 4- gt) -f- . . . ,

a étant très petit.

Ces trois valeurs de ç, r et 5 semblent renfermer sept constantes arbitraires A, e, 0, a, n, y, tj, quoiqu'il ne puisse y en avoir que six, le mouvement du corps P étant déterminé par trois équations différentielles du second ordre; mais il faut observer qu'il existe (art. IX)

entre neta une relation exprimée par cette équation n^= "^ > ce

qui réduit les deux arbitraires n et a a une seule; de plus, quoique la constante arbitraire c de l'équation (i3) ne paraisse pas entrer dans les valeurs de ç, r et s, elle y est cependant implicitement renfermée en vertu d'une équation qui existe entre c, a, e eiy; en effet, puisque l'on a r^rfç = cdt, si Ton nomme T le temps d'une révolution entière de P, on aura cT = Jr^ d^ ; mais il est visible que fr^ d^ est égal au double de la surface de l'orbite projetée de la planète; or, cette surface est à celle de l'orbite réelle comme le rayon est au cosinus de

rinclinaison de Torbite sur le plan fixe; donc, si Ton nomme ^Ë la surface de Torbite projetée, on aura, en portant la précision jusqu'aux quantités de Tordre a^,

Œ=:a57r(i ~a»e«niH- ««y'r'r-^ rt^Trf^i- ^a'e'--- ia'yA = i^

mais, par l'article IX,

c=v^a(S-+-P)^i-~ ^a'e'- ^««yA = /ia'(^i— ^a»«»- ^a'/V

Les expressions précédentes de 9, r et 5 satisfont aux équations (lo), (11) et (12), lorsqu'on y suppose 8[x'=o, Sfx''^ o, .... Ce sont, par conséquent, les valeurs de M, N et Q des équations (». Pour déterminer présentement M', N' et Q', il faut différcntier les équations (i3), (i4) et (i5) par rapport à S, et leur ajouter les termes multipliés par P' dans les équations (10), (11) et (12), ce qui donne

di(^ Se 2cdr P'

d^ir 2cdc 3c«3r 2(S-4-P)or 3(S-4-P)5o.ç

O zz -+- —

(17) ' "^ A^^sin(9'-9)r^ î ;^1

-^ ï^E'"-'' cos(9'-9)]-h '-^ — p,

d^is idrdis 2d'sdSr c^ds 2scSc ^c^sdr

m { -^— ,-T^ A^^sin(9'-9)r^ î ^1

+ [5'.çcos(9'-9)] r ' T - ^X

OKwrrttd^ L. ~ VUI. 55

Il faut présentement tirer de ces équations les valeurs de èc, S9, 8r et 8s.

a étant ici fort petit, je n'aurai égard qu'aux quantités de Tordre a^, et, parmi les termes de cet ordre, je ne considérerai que ceux qui peuvent produire dans la valeur de oç des quantités de la forme S[x'a-A/^, d'où résulterait une équation séculaire dans le moyen mouvement de la planëte; ces termes méritent conséquemment une attention particulière : or il est aisé de voir à l'inspection des équations (16) et (17) que, si, dans le développement de

re/^sin(9'-9)r^, -

il y avait un terme tout constant, il en produirait un, dans la valeur de Sr, de la forme Sfx'//, et dans la valeur de S9 un de la forme Jfx'g"/^ ; il faut donc, dans le développement de cette quantité, porter la précision jusqu'aux quantités de l'ordre a'; mais on peut n'avoir aucun égard aux termes dé cet ordre qui seraient multipliés par des sinus ou des cosinus.

Il est aisé de voir pareillement qu'il est inutile d'avoir égard aux termes de l'ordre a*, dans le développement de

Soit donc