r - r'cos(<p'- 9)] -^ ^-^ V

^9 m dii'{x -H ax'-h a*6/i'^*), i$ :=z az àyJ,

On substituera ces valeurs dans les équations (16), (17) et (18), en observant : i** de substituer partout, au lieu de ç, r, s\ ç', /, s\ leurs valeurs tirées des équations (a) de l'article précédent, ce qui est évidemment permis, puisqu'on néglige ici les termes de l'ordre %'^;

2° au lieu de P', de substituer S(ji'a'/i^; car, en négligeant les quantités de Tordre S(x, on a

!=„« et dH'=s'

3** au lieu de c, d'écrire

/la'

On comparera ensuite séparément les termes sans a, ceux de l'ordre a, ceux de l'ordre a*; l'équation (i6) en donnera donc trois autres entre x,x'et€; Téquation (17) en donnera trois entre y, y et X; et l'équation (18) en donnera un en z.

Les substitutions précédentes n'ont de difficultés que celles qui

peuvent venir du développement de j-^; il ne sera donc pas inutile de

faire quelques remarques à ce sujet.

V exprimant la distance de P à P', on a, comme il est facile de s'en assurer,

donc

*^' [r»-hr'*H-(r'5'— r5)*]« [" 2r/^cos(y^~ 9) ]«'

soit, pour abréger,

2rr'

r^-h r'*4- (r's'— rs)

on aura (voir h première pièce de M. Euler sur Jupiter et Saturne, ou le premier Volume du Calcul intégral Ae cet illustre auteur)

V"^ à^) ['-7Cos(9'-9)]t*

= 6 4-6iCos(9'— 9) -f-6jC0S2(9'— 9) 4- 630033(9'— 9) -h. . .,

fJL-h I U-4- 2 - 2 4

IL F7 ) P4-I p-ha fx-4-3 f^-+-4 c

jx-f- 1 fjL-t- a fx-^ 3 fxH-4 fx-+-5 fA-4-6 , ""IT" 4 4 6 6 8^

Ayant ainsi 6 et &|» on aura 63, b^, ... au moyen des équations suivantes

2ixbq--2bi

et généralement

Ot ^ — : ; y

(il -^ S — 2)b,.tq — 2{s — i)bs^i

Les quantités b, b^.b^^ ... sont fonctions de la variable q^ et puisque nous avons besoin de porter dans certains cas la précision jusqu'aux quantités de Tordre a^ et que les variations de q sont de l'ordre a, il faut réduire 6, 6,, ... en suites ascendantes par rapport à a; soit donc

qz=h -t-a/i',

h étant constant et écal à -^ ^y on aura

, /ix t,(db\ oî'h'^ (d}b\

ET SUR LE SYSTÈME DU MONDE. hS7

(*)• {^y {^y "• ^*^^' ^^ ^^® deviennent i, ^, ^, ... lorsqu'on y substitue h au lieu de 9 ; on aura pareillement

Il ne s'agit donc plus que d'avoir les valeurs de ^9 ^-j» •••> ^, ...; or Téquation

= 64- 6iCOS(9'-- 9) H- 6, cos2(9'— 9) 4-.. .

(ï-*-~ï) [i-9COs(9'-9)]i

donne» en la différentiant par rapport à q^

fxcos(9'--9) db dbx , , . i — = :7- -+- ^ cos(9'— 9) H- ... ;

/ ^r.xl dq dq ^^ ^'

( i-h -^ j [1 — 7 cos(9'— 9)]i* [i - ^ cos(9'- 9)]

partant,

fxcos(9'— 9) [6-+- bx cos(9'— 9) H- ô,cos2(9'— 9) -^. . .]

= [i-^cos(9'-9)]|^^H-^cos(9'-9)4--^cos2(9'-9)-f-...J.

De là» en faisant les multiplications et réduisant les produits de cosinus en cosinus» on aura» en comparant séparément les coefficients constants» ceux des cosinus de l'angle (9'— 9) et de ses multiples,

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