P + 1..Y PI

Mais on a visiblement

d'où Ton tirera facilement

wv/ârû (/>-♦- q)'

On peut juger par cette formule de Terreur que l'on commet en faisant E = I.

Problème II. — Deux joueurs A e/ B, dont les adresses respectives sont inconnues, jouent à un jeu quelconque, par exemple au piquet, à cette condition que celui qui, le premier, aura gagné le nombre n de parties, obtiendra une somme a déposée au commencement du jeu ; je suppose que les deux joueurs soient forcés d'abandonner le jeu , lorsquHl manque /parties au joueur A, et h parties au joueur B; cela posé, on demande comment on doit partager la somme a entre les deux joueurs.

Solution. — Si les adresses respectives des deux joueurs A et B étaient supposées connues, et qu'elles fussent dans la raison de /? à 9,

on trouverait, en supposant /^ + ^ = i, la somme qui doit revenir à B égale à

Cette proposition est démontrée dans plusieurs Ouvrages; elle se déduit fort aisément de la méthode des suites récurro-récurrentes, comme on le verra dans le Mémoire cité au commencement de celui-ci; on y trouvera pareillement une solution générale du problème des partis* dans le cas de trois ou d'un plus grand nombre de joueurs, problème qui n*a encore été résolu par personne, que je sache, bien que les géomètres qui ont travaillé sur ces matières en aient désiré la solution. {Voir la seconde édition de V Analyse des jeux de hasard de M. Montmort» page 247,)

Présentement, puisque la probabilité de A pour gagner une partie est inconnue, nous pouvons la supposer un des nombres quelconques, compris depuis o jusqu'à i. Supposons qu'un de ces nombres a? représente cette probabilité; dans cette supposition, la probabilité que, sur in— f — h parties, A en gagnera w— /, et B, n—h^ sera

d'où il résulte, par le principe de l'Article II, que la probabilité de la supposition que nous avons faite pour x est

l'intégrale étant prise de manière qu'elle commence lorsque cr = o et qu'elle fmisse lorsque x=^\. Maintenant, x étant supposé être la probabilité de A pour gagner une partie, on trouvera que la somme qui doit revenir a B est

^ L i—x-'' ' (\—xy 1.2

(1 — xy -^ 1 .2.3. . .(/

PAR LES EVENEMENTS. ki

Donc la somme qui doit véritablement revenir au joueur B est

.' ^ 1^ i^x^-^ [ {i — jcy-^ 1 .2.3. . .(/—i) J

les deux intégrales étant prises de manière qu'elles soient nulles lorsque or = o et qu'elles finissent lorsque x = i. De là, on conclura facilement

pareillement

r ^ fi \fu.M ij i.a.3. . .(/"-h /i — i)

et ainsi du reste.

D'oii Ton aura, pour la somme qui doit revenir à B,

a(/i — A-hi)...(/i-h/ — i) r . /-hA — I n— /-f-i

(/-hA-i)(/-4-A-2) (n~/-4-i)(/i-/-4-2)

(/-f-A — i)...(A-hi) (/t~-/-f.i)...(n~-i)