i'Fcos3(M'f — nf-f-B

Or, on a par l'article XI, aux quantités près de l'ordre a^, -5 = fi, ensuite, n^= — t—; donc

H- (i»F -^ ^p^ i«c) cos3(/i'/ - «^ -H B)

d'où l'on tire, en intégrant,

.^ 2 de n* fin. ï 2/1 /^ iNl , , ,

-T-Ai iri«F + -^i'c1cos2(/i'^-/i/-+-B)

-T— T^Ti =ri'F-^-^^i*clcos3(/i'/-/i/-+-B)

II est inutile d'ajouter ici des constantes arbitraires, parce qu'elles sont déjà renfermées dans la première valeur de r, que la supposition (le Sa'=: o nous a donnée article IX.

Si Ton substitue cette valeur de y dans Téquation (i6) de l'article XI, on aura, en y supposant 09 = or Sa' et négligeant les quantités de Tordre a,

-\l -l^'^^T—r^^r .('jL«F-+--^rc')lcos2(/i'/-/ir-f-B)

-[--T^^C-t-,^ , ^f^^ .('i.F+-^i«c')lcos3(/i'^-/i^ + B)

L9 '^ '^ C^'* — 3/i)'— /i*\' ri — /i • /J ^

Que Ton détermine présentement 8c de manière que -^ ne renferme

point de terme constant, et qu'ainsi ni représente le moyen mouvement de la planète, on aura

partant,

donc

, ^ , =i:|/iF:

r = iF-h, , ""* îr*F4-iH--^fc-^)lcos(Ai7-wf + B)+...;

telles sont les valeurs de -^ et de -^> aux quantités près de

l'ordre a. Déterminons présentement ces valeurs aux quantités près de l'ordre a*.

Pour cela, on substituera dans l'équation (17) de l'article XI, au lieu de r, a8(x'(j^H- ay); on négligera les quantités de l'ordre a^, et l'on

observera que, par la nature de y^ les termes sans a doivent se détruire réciproquement; de cette manière, en faisant, pour abréger,

+ -7^^fD-C+-L) ^fc-l) + «G-'F-l.

(a/i' — an)* — n' \' /i — /i * /

-^ ^ïï^^ ('•> - 'C) - r^ i *C + »G - 'F,

'1 = -,.. , ^"' .(..F+-iiî-i«c)

laL A.F-h-^^i*c^

»L=— ^fE-+-C-^,W*HH-F-+-4

on aura l'équation suivante

o = --7^ -f-/i»y-h2/i*e(F + G)cos(/i/-4-6) — /i*.»Le'cos( nù —B-hô') -h/i'e. Icos( n't-{-B-\-9) 4-n'e.*Icos( /i'^ — 2rt^-4- B~-0) H- /i=e.*Icos(2/i'^— /i^-h 2B 4- 0) -h «*e.'Icos(2w'^ — 3/1/4- 2B — 0) + /i«e.*I cos(3/i'/ — 2/1/ 4- 3B H- ^) /i'e.»Icos(3/i'/ — 4/2/4- 3B — 0)

2/i'e'. Hcos( «'/H- &') /2'e'.*L cos(2/i'/— /!/-+- B-f-^}') /z'e'.'L cos(3/i'/ — 2nt-h 2B -h ô') /2'e'.*L cos( /z'/ — 2/1/4- 2B — Ô')

d'où, en intégrant, on aura

y= — {¥ -h G)ent s\n{nt -^ 0) 4- |.*Lc'/i/ sin(/i/— B 4- 0')

-^ /—? Ti ¥COS( /l'/ — 2/2/4- B — {?)

CCS (2/2'/— /i/4-2B4-Ô)

-+- 7 / ^\^\o iC0S(2/l'/ — 3/J/4-2B — ô)

2nVJI

-/ 7^^^^- i'cOS(2/l'/~ /2/4- B-h^')

(2/1 — ny — /i* '

r-7-^^-^^ iCOS( /l'/-2/l/4-2B-e')

affii«^r0# </e L. -- vni. 57

Maintenant, si Ton substitue, au lieu de Sç, S[jL'(a7-+- aa/), dans l'équation (i6) de Tarticle XI, que l'on néglige les quantités de l'ordre a*, et que l'on considère que, par la nature de x, tous les termes sans a disparaissent d'eux-mêmes, on aura, en faisant, pour abréger,

M .- —ii^^ — , r.FH- \ + -^- fc - lyi

(At'— - /i)*— /i* L ' n'—n\ «Vj

(n' — 2/i)* — n^ IV — 3/^\ iv) n'—n\ i*/

(2/l'— 2«)' — «' \' /j'— rt * /

'^"*''^ ^ /m , if \ , " i ir

■M^, , •^"' jA.F + -^i.c)

(2/t'— 2«)*— «* \' fi'—n^ )

^^''^^ ?^ MH — ^^^ -4- ^^ 1. \c

( 2 fv— n Y — n* 2 /i'— /i \ «•/

'^ = , . """"''xl^ i -^ -r-^^ ( *E - »C ),

ET SUR LE SYSTEME DU MONDE. k&i

on aura

— =}/iFecos(/i^4- Q) -f- 2ne(¥ -\-G)nlsïn{nt -{-0)

-he/i.Mcos( /i'^4- B -+- 6) H-e/i.*Mcos( «'^ — a/i^-f- B — 0) + e/i.'Mcos(2/i'^-- /i^-+-2B-i-0) 4- e/i.*Mcos(2/i'/ — 3/1/ H- 2 B — 0)

-Jt-e'n, 'S cos{2 n't ~ nt -{- B-+-^') -4-c'/i.»Ncos( /i'^+ 0' — B) -h c'« .*N cos(3 Al'/ — 2 /i/ -4- 2 B H- 6' ) -he'n.'N cos( n't — int-\-i\i — ^') -h

Enfin» si, dans l'équation (i8) de l'article XI, on substitue, au lieu de h, a^âfx', que Ton néglige les quantités de l'ordre a*, et que Ton fasse, pour abréger,

(/i — ny — fr \ /* n' — // \ /*/J

Il' — n \ i*J 1 L 'I

, n(Zn-n') f , p i ^n /^ j \ 1

on trouvera, cela posé,

H-/i*y.*Psin( n't—int-^ B — bt) -f- /i^y.^P sin (2 Ai'^ — /i^ 4- 2B -f- ci) 4- /i*}/.*Psin(2/i'^-- 3/Z/4- 2B — gt)

— '—{b^)s\ïi{nt-\-X3)

— '*-''— (^)sin(2/i'^ — /i^4-B4-7ij')

'JiJyAb} [sin(3/i'/ — 2n^ 4- 2B 4- BJ') — sin( n' t — 2/«/ 4- 2B — gj')J

- '^*^y'(^'»^[sin(4/»^^ — 3^^/ 4-2^4- CT^)-sin(a/i^^ — 3/1^4- 3B-~CT^)]

(loii, en intégrant, on aura

iy'(bt) iV

5=1 ^ ^ '^ /i^cos(/i^4-ny) j-(6i)/î/cos(n^— B 4-e')