r-7 ^ï iy.'Psin(/î'^ — 2/1^4- B — Gi
Ayant ainsi les valeurs de Sr, -^ et 8s, aux quantités près do Tordre a*, il nous reste à déterminer les termes de Tordre a* et proportionnels à /, dans les expressions de -^ et Sr, parce que de là
dépend, comme nous Tâvons déjà observé, l'équation séculaire du moyen mouvement de la planète; or, si, dans l'équation (17) de Tarticle XI, on substitue, au lieu de or^ aBu.'(y -h ay-h cc^'knl), au lieu de ô5, sa valeur trouvée dans Tarlicle précédent, et que Ton ne conserve que les termes de Tordre a^ proportionnels à /, il est clair d'abord que les termes sans a et ceux de l'ordre a disparaîtront d'euxmêmes en vertu des valeurs précédentes de y et de y'; de plus, on trouvera, par un calcul fort simple,
X=:ce'sinV(aK-f*L)-hy/sinU[.iL- Jf(^i)]:
ensuite l'équation (16) de l'article XI donne, en y substituant, au lieu de 8ç, 8[t!(x 7+- oLx' 4- x^Sn^i^), et ne conservant parmi les termes de Tordre a^ que ceux qui sont proportionnels à /,
Il est visible que le terme a^ Sjjl'Sw^/* donne l'équation séculaire du moyen mouvement de la planète, et comme cette inégalité est la plus essentielle à déterminer, il ne sera pas inutile de chercher a la mettre sous la forme la plus simple dont elle est susceptible. Pour cela, j'observe que Ton a, par l'article XIV,
or, si Ton substitue, au lieu de (63), (^)> (tt)' ^^^^^ valeurs en (A) et (6<), trouvées dans l'article XIII, on aura
L = ii(6,); partant,
ce qui réduit déjà l'expression de € à celle-ci
6zi:ee'sinV(PL-|K);
de plus, on a
^L=:aG-2E^-*H-^F;
ot en substituant, au lieu de G, E, *H et T, leurs valeurs en (b) et (Ai), que l'on tirera facilement des articles XIII et XIV, on trouvera
on trouvera de la même manière
d'où l'on tire 6 = 0, c'est-à-dire que l'équation séculaire du moyen mouvement de la planète est nulle, au moins en ne poussant l'approximation que jusqu'aux quantités de l'ordre a*S(jL'. Nous verrons ciaprès qu'elle serait encore nulle, en ayant égard aux termes de l'ordre a'Sfx'; et comme les quantités des ordres a'Sjji' et a'Spi' sont déjà excessivement petites, on peut en conclure que l'action réciproque des planètes, les unes sur les autres, n'a pu sensiblement altérer leurs moyens moui^ements, depuis le temps au moins auquel on a commencé à cultiver V Astronomie, jusqu à nos jours; résultat analogue à celui que j'ai trouvé par une autre méthode dans les Savants étrangers, année 1773, page 218 {').
xvni.
Reprenons maintenant les valeurs de ir et de h\ en y ajoutant les valeurs de r et de s, trouvées ci-dessus dans la supposition de ^\l'= o, on aura
et y* ^
—f— H- «ecos(/i^ -\- 0)
et
r — al — «(F-HG)5jUL'e/ifsin(/î/H-0)-ha«*fji'X/i^
[ 4-^e'/i^ô/jL'sin(n^-B-4-0')-i-Y
5 1= ay sin(/^/^-Gy) -i — '' . è[k' nt cos(/i^4-nj)
Y et Z étant des quantités périodiques qui ne renferment point d'arcs
(*) OEuvres de Laplace, T. VIH, p. 263.
de cercle. Or on a
sïn{nt — B -h 0') = s\n{nt -\- 0 -h 0' — 0 — B)
= sin(/i^4-0 — V) = cosVsin(/j^H- 0) — sinVcos(/i^-i- ô),
parce que V égale B — O'-h 0 (art. XIV); de plus, on trouvera facilement F -+-G = — |t(é,); on pourra donc ainsi mettre l'expression de r sous cette forme
