I -+- a { e 4- ie^w^fx' sinV [(^) (n- i"») - 3i(^>)] I

xcosf^-f-wfji— ^(^)Ô|ul'4-^ ^cosV5fx'[(6,)(i + i«)~-3i(^)]|]

a«d/jt'/i^y/sinUg(6,) 4- Y

On aura pareillement, en considérant que Ton aB — ct'-i-cj=U (art. XIV),

= a fy — lÇi{bi)dii.'nt sinul sin j bt -f- nt [i-H ^-^ oy - f' « ^-^^ o^! cosul j 4- /.

En considérant les masses des planètes comme étant extrêmement petites par rapport à celle du Soleil, il est visible que chacune d'elles décrirait très sensiblement une orbite elliptique à chaque révolution, et qu'ainsi leur action réciproque ne pourrait être sensible qu'autant qu'elle altérerait à la longue les éléments de ces ellipses, c'est-à-dire la moyenne distance de la planète au Soleil, la position de son aphélie et de ses nœuds, son excentricité et son inclinaison; or il est visible que l'augmentation de l'excentcicité. après le temps ^ sera

de sorte qu'après le nombre c de révolutions, l'augmentation de l'équation du centre qui, pour les planètes, est ù très peu près le double de l'excentricité, sera

il est aisé de voir pareillement que le mouvement direct de Taphélie sera

36o»c3,x'ii(6,)-^^cosV[(6.)(i + /»)-3*(6)]

que la diminution de l'inclinaison de Torbite sera

et que le mouvement rétrograde des nœuds sera

Pour ce qui regarde la variation du grand axe, on peut déjà conclure qu'elle est nulle, de ce que le moyen mouvement de la planète reste constamment le même; car nous avons démontré précédemment que les carrés des temps des révolutions périodiques sont comme les cubes des grands axes; par conséquent, si, après plusieurs siècles, les grands axes des orbites devenaient plus ou moins grands, les révolutions deviendraient moins ou plus rapides. Il suit de là que les termes proportionnels au temps qui se rencontrent dans l'expression (F) de r

ne sont dus qu'aux variations des quantités ^^ et — ^^> qui se trouvent dans la valeur de r, lorsqu'on suppose Sjjl'= o; c'est en effet ce que le calcul confirme, car la variation de — est égale à celle de ae, multipliée par ae, c'est-à-dire égale à

— oL^ee' ntoii' sinV II i{b) - \{bi) (i ■+- 1**)];

pareillement la variation de — ^—^ est

or, ce sont là les termes proportionnels au temps qui se rencontrent dans l'expression de r; donc la quantité a, qui exprime la moyenne distance de la planète au Soleil dans l'orbite réelle, reste toujours constante.

Les articles précédents donnent les valeurs de r, s et^> aux quantités près de l'ordre a*; et, de la valeur de -i^> on peut très facilement

conclure celle de ç; mais ces expressions renferment désires de cercle et ne peuvent servir conséquemment que pour un temps limité; il est donc essentiel de les faire disparaître, toutes les fois que cela est possible, et c'est ce qu'on peut faire d'une manière extrêmement simple, par la méthode exposée au commencement de ce Mémoire; mais avant que de donner ce calcul, il ne sera pas inutile de faire quelques remarques sur le degré de précision des approximations précédentes.

J'observe d'abord que si l'on voulait obtenir de nouveaux termes

proportionnels au temps, dans les expressions de r et de ^^> il faudrait pousser l'approximation jusqu'aux quantités de l'ordre a* S[i/; les géomètres qui auront suivi l'analyse précédente s'en assureront très aisément à l'inspection des équations (i6), (17) et (18) de l'article XI. De plus, comme Jupiter et Saturne ont des masses assez considérables pour qu'on puisse regarder, par rapport à elles, Sjji' comme de l'ordre a^, il est indispensable alors d'avoir égard aux termes de l'ordre ( V)^ î or, en considérant les équations (10), (11) et (12) de l'article X, on verra facilement que les termes de l'ordre (8[Jt.')^ ne peuvent produire aucun terme proportionnel au temps dans la valeur de r, ni dans celle

de ^y et qu'il faut pour cela porter l'approximation jusqu'aux quantités de Tordre a*(8jjL')^; d'où il suit que, généralement, l'équation séculaire du moyen mouvement des planètes est nulle, au moins aux quantités près de l'ordre a^Sf/.'.

J'observe ensuite que, parmi les termes de l'ordre a^, il ne s'en trouve aucun, dans les expressions de r et de s^ de la forme

et qu'ainsi les variations trouvées dans Tarticle précédent, pourl'incli-

OEuvres de L, -- Vm. 58 .

naison et l'excentricité de l'orbite, sont exactes, aux quantités près de l'ordre a', et que celles du mouvement des nœuds et des aphélies le sont aux quantités près de l'ordre a^, par où Ton voit qu'elles sont fort approchées.

Considérons maintenant un argument tel que

COSq{n't — ni -h B),

q étant un nombre entier quelconque, on verra aisément qu'il faut porter la précision jusqu'aux quantités de l'ordre a', pour en retrouver un pareil; et si Ton considère un argument tel que

aecos(/i'^ — 3n/-4- B — 0),

on verra qu'il faut, pour retrouver son pareil, porter la précision jusqu'aux quantités de l'ordre a'; de là, on peut conclure généralement que le même argument ne peut être reproduit que par les quantités des ordres a^, a*, a*, ... s'il se trouve, pour la première fois, parmi les termes des ordres a*, a*, a*, . . . , ou par les quantités des ordres a', a', ol\ ... s'il se trouve, pour la première fois, parmi les termes des ordres a, a*, a*,

Je reprends maintenant les équations de l'article XVIII

I H n^ -h a.^ di^'lnt -h (xe cos(nt -h 9)

r — a{ — a (F 'hG)SiJL'ent s\n( ni -h 6) m

4 ?^£jLt ;,^a|UL' sin(/i^ - B -+- 0') -H Y

5= ays\n{nl-\-m) h — ^— d^i' ni cos( ni -h xs)

et j'observe que l'on a pour -^ une équation de cette forme

-^ =n — 2(xen cos{nl -f- ^) 4- 2aen{V-{- G)nt sin(/ir -+- 0) — *L(xe'nUsin{nl — B H- 0') -^ X,

X, Y et Z étant des quantités périodiques ou qui ne renferment point d'arcs de cercle. Or, si l'on nomme e la distance réelle de la planète P à son aphélie, B|, B',, ... les angles compris à l'origine du mouvement entre les projections des planètes P, P', ... et la ligne fixe d'où l'on commence à compter les longitudes, on aura, en négligeant les quantités de Tordre a*,

de plus, on a, par l'article IX,

donc

0=3 Bt — A 4- 3aesin(B| — A);

or on a (art. XIV)

donc

B = B; — Bi-+-iae'sin(B; — A')-2aesin(Bi — A);

on aura ainsi

co8y(/i'^ — /i^-hB) = cosq(n't — nt-hB\ — B)

H- [2 ae<7 sin (Bj — A) — 2 ae'7 siii (B'j — A' )] sin q {n' l— nl-h B'j — Bj);

on a de plus, en négligeant les quantités de l'ordre a,

cosini-hd) =:cos(/ir-i-B|— A) =cosA cos(/2^ 4- B,) 4- sin A sin(w/-i- B|),

sïn{nt-^9) = sin(/i/-h B|— A) = cosA sin(/2/-i- B,) — sinA cos(/i/ 4- Bj),

sin(/i^ — B 4- 9') = sin (n^ 4- B, — A') =: cosA'sin(/ir 4- B,) — si^A'cos(/^^4- Bi),

sinV==sin(A'— A) = sinA'cosA — sinAcosA'.

Nommons ensuite C,, C',, ... les distances des nœuds de P, P', ... à la ligne fixe, à l'origine du mouvement, et nous aurons, en négligeant les quantités de l'ordre a,

Bi — us =zCi sin(/ir4-Bj)i=sin(/i^4-Bi — Ci)=icosCiSin(/i^4-B,) -sinCiCos(/i^4-B,), co8(/i£4-oi)=i:cos(n^4-B, — Ci) = cosC, cos(/i/4-Bi)4-sinC, sin(/i/4-B,)

MO RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL et

cos(/ir— B-f-TD')=icos(/i^-hBi — Ci) = cosCiCos(/i/-f-Bi)-hsinC|Sm(/if-hB|),

Cela posé, on verra facilement que les expressions précédentes de r, 5 et -— peuvent être mises sous cette forme

I H f- 4-cos(/i^-hB|)[accosA-+-aesînA (F-i-G)4fx'/i/--ae'sinA' — «/o/] .

sin ( /ir H- Bt ) [ae sin A -h «c cos A (F -h G) d/x'/ir — ae' ces A' — ^^ni\

rz=al — «* J/x'/iree'(sinA' cosA — sin A cosA') [f «(6i) — î(6) (i -+- 1*)] 4- «*ifA'/i^yy'i«(^i) (sinC, cosCi — sinCiCOsCj)