IV. ^=^(o,i)A
dh
enfin, pour faire disparaître les arcs de cercle de la valeur de ^j je fais
équations qui rentrent dans les deux premières. L'équation III donne, en y substituant, au lieu de ^> ^y ^> ^>
leurs valeurs tirées des équations I, II, IV et V, ^ = o, ce qui indique
que la variation de la moyenne distance est nulle, comme nous Tavons déjà observé; on aura donc les quatre équations
Maintenant, si l'on regarde successivement les planètes P', P", ... comme troublées par l'action des autres, et que l'on nomme (i,o),
(i,o), (1,2), (1,2), ... pour P'; (2,0), (2,0), (2,1), (2,1), ... pour
P% ... (les quantités analogues à celles que nous avons nommées (o,i), (o,i), (0,2), (0,2), . . . pour P, on aura les équations
En intégrant ces équations, on aura les valeurs de p, q, h^ /, p\ 9', . . . , et en les substituant dans les expressions de r, j et ^9 on effacera les arcs de cercle qui se rencontrent dans ces expressions.
Il est visible que les équations précédentes sont renfermées dans celles dont nous avons donné l'intégrale (art. III), en sorte qu'il ne peut y avoir aucune difficulté sur cet objet ; mais il ne sera pas inutile de faire la remarque suivante.
Pour intégrer les équations précédentes, on y substituera, suivant la méthode de l'article III, au lieu de p^p\ . . . ,
6sin(/a7 4-Gj), ^'sin(/j: -f-ra), ...,
et, au lieu de q%q\ ...»
6cos(/j:-f-cj), ^' cos(/a: -hcr), ...,
et Ton aura les équations
fh ^=^b [(0,1) -h(o,2) -f-. . .] — (0,1)6'— (0,2)6''-— . . .,
11 suffit ici de considérer les équations relatives à /i, />',..., y, y\ ..., puisque les valeurs de A, â', . . . , /, /',... s'en déduisent en changeant
dans q^ q\ ...» /?» p\ ... les quantités (o,i), (0,2), ... , (1,0), . . .,
en (0,1), (0,2), ..., (1,0)
Les équations précédentes en donnent une en/, du degré n, s'il y a n planètes; or, si cette équation renferme des racines imaginaires, il entre nécessairement des quantités exponentielles dans les valeurs de /?, 7, . . ., et comme ces quantités peuvent aller croissantes à Tinfini, la solution précédente ne peut avoir lieu que «pour un temps limité : il serait donc très important de s'assurer si l'équation en /peut renfermer des racines imaginaires, et en quel nombre elles peuvent y exister. Cette discussion me parait digne de toute l'attention des géomètres; je me contenterai ici d'observer que, lorsqu'on ne considère que deux planètes, comme on l'a fait jusqu'à présent dans la théorie de Jupiter et de Saturne, l'équation en / a toujours deux racines réelles; car on a alors
d'où l'on tire
/*- [(^o) 4- (0,1)]/= (1,0) (0,1) — (1,0) (0,1), équation dont il est visible que les deux racines sont toujours réelles.
Détermination des inégalités séculaires du mouvement des aphélies et des excentricités de Jupiter et de Saturne,
11 nous resterait présentement à appliquer la théorie précédente aux différentes planètes; mais la longueur déjà trop grande de ce Mémoire m'oblige de renvoyer ces applications à un autre temps; je me bornerai donc ici à déterminer les inégalités séculaires de Jupiter et de Saturne, et, parmi ces inégalités, je ne considérerai que celles du mouvement des aphélies et des excentricités, M. de Lagrange ayant traité, dans le plus grand détail, celles qui sont relatives au mouvement des nœuds et à l'inclinaison de leurs orbites. Les masses de ces
deux corps sont tellement grandes par rapport à celles des autres planètes, et leur position dans le système solaire est telle qu'on peut, sans craindre aucune erreur sensible, considérer à part leur action réciproque.
Je reprends l'équation
Pour en avoir les racines, il faut connaître (o,i), (i,o), (o,i) et (i,o); or soit P Jupiter et P' Saturne ; que l'on désigne par mt le moyen mouvement du Soleil, et que Ton fasse
lOOOOOO
on aura (art. XX)
loooooo a', . ^ . n
(0,I)= . (^l)ÔfiL'~,
^r-(*.)--(6)j3fx'-
(1,0)=: /(^i)of^ — >
4 a ^ ^ ni
(6') et (J)\) étant ce que deviennent (6) et (i<)» lorsqu'on y change a en a\ et réciproquement; or on trouvera facilement par l'article XIII
donc
à cause de — = (— , ) ; on aura semblablement
Œwnres de L,^ VHI. 69
de sorte qu'ayant une fois (o,i) et (o,i), on en conclura facilement
(i,o) et (i,o).
Suivant les Tables de Halley, le mouvement séculaire de Jupiter est de lo 926 267 secondes, et celui de Saturne est de 4 398 1 26 secondes ; d'où Ton tire
— =o,4oa528; n
partant,
l0g^=:l0g(^Jj =0,263469;
ensuite on a {voir \q^ Savants étrangers, année 1773, p. 212) (*)
de plus.
de là je conclus
ensuite
partant.
on a donc Téquation
dont les deux racines sont
maintenant, si Ton néglige, comme cela est ici permis, les quantités de Tordre aS et que Ton prenne pour plan fixe celui de Técliptique au commencement de 1730, et pour point fixe d'où l'on commence à compter les longitudes la position de l'équinoxe du printemps à cette époque, l'angle A exprimera la longitude de la projection de l'aphélie
(1) Œuvres de Laplace, T. Vm, p. 253.
de Jupiter, et Tangle A' celle de la projection de l'aphélie de Saturne ;
or on a, suivant les Tables de Halley, pour le commencement de
A =6'io-33'46',
Soient H et H' les valeurs de p et de/»'; L et L' celles de q et de 9' à cette époque; on aura
H =;ae sinA = — 0,008842, H':= ote'sin A':= — 0,05700a, L i=aecosA =;— o,o474oOi L' = ae'cosA':= — o,ooo663;
mais on a les quatre équations
H := i sinra -h '6 sin 'ro, H':= ft'sinro + 'i'sin'oi, L =: 6 cosn -t- 'i cas 'ro, L' = 6'costiJ ■+■ 'b'cos 'ct;
/ i = (o,i) 6 — (ôTT) b', '/'i = (o,.)'i--KÔ'A';
U,^(o,i)H-KÔH', L, = (o,i)L— (^L',
H, = /é sinoj-(- '/'b sin'ra, Li=/6coscn- yécos'n;
ensuite on a
donc, si l'on fait
or on trouve
De là on form
ce qui donne
bsin CT= o,oi486i, bcos gj = — o,oii654»
* 6 si n *iîj == — 0,028708, * b cos *Gy = — 0,085746.
Des deux valeurs de b sinrj et de b coscj, je conclus
Bj 1=12806' et 6 = o,oi8885;
ensuite, des deux valeurs de *isin 'ct et de *6cos *ct, je conclus
»Gj = 88088' et »6=i- 0,042891; enfin les équations
fbz=(o,i)b-(o,i)b\ Y»^ = (o,i)>ô-(o;i)«6' donnent
Si Ton nomme présentement a? le nombre entier ou fractionnaire d'an nées écoulées depuis l'origine du mouvement, que je fixe au commen .cément de 1750, on aura
/« = 22'',55oj7, */a=:8',888:c;
donc
p~ o,oi8885 sin(22',55oa?4- 1280 6')
— 0,042891 sin( 8%888^4- 88088'),
q =z o,oi8885cos(22^,55o:r-f- 1280 6')
— 0,042891 cos( 8%888^-^ ^3''3y)y
p'= — 0,047286 sin ( 22", Soox -+■ 1 280 6' )
— o,o858o8sin( 8%888a?4- 3^^^^')y
7'nr — o,o47286cos(22'',55oa:-4- 128® 6')
— o,o858o8 cos ( 8% 888^74- 33^3^');
maintenant on a
d'où l'on conclura occ = v^(o,oi8885)*-f- ( 0,04289 1)«— 2.0,018885.0,042891 cos (18*, 6620:-+- 940 33');
on aura pareillement
a e'= V^(o,o47286)*-h (o,o358o8)»H- 2.o,47286.o,o358o8cos( i8%662:r-+-94*>33^ ;
partant, la plus grande excentricité de Jupiter sera
et la plus petite sera 0,024006; de même, la plus grande excentricité de Saturne sera o,o83o94, et la plus petite sera 0,011478; la période de cette variation est déterminée par Téquation i8'\662x = 180®, ce qui donne a? = 34 7^3; partant, elle est de 34 7^3 années.
Quant au mouvement des aphélies, on se rappellera que A exprime la longitude de la projection de l'aphélie de Jupiter, et que Ton a
^ g />cos(/m4-gj)4- *6cos(7'm4-*isj)'
d'où l'on tirera, à cause de *Z> > b, en valeur absolue,
A = m.i8o»-+-ya4-*oy+ q- sin[ (/— y)wH-*cJ— nr]
- ^T^â sin[2(/ ~ »/)« ~ 2nT 4- 2 «Bj]
