sin[3(/-y)i/-3BT4-3»CT
m étant un nombre entier quelconque (voir, pour la démonstration de cette suite, l'excellente pièce de M. de Lagrange Sur le mouvement des nœuds); on aura donc
A = m.i8o«-+-33o33'-+-3%888a?-. ^^ sin (i8%662^ -h 94«>33')
l/.J?fi5ysin2(i8'',662a7-H94«33') aV4289i/
Pour déterminer m, j'observe que Ton a, lorsque a? = o,
A = 6» 10033' 46'; d'où il est aisé de voir que m = i; partant,
A = 213033'-+- 3% 888^ - ^^^ sin (iS%662x -+- 84^33') - . . . .
On trouvera pareillement
A'= m. 1800+ 12806'+ 22%55oj; — -—2 sin (18', 662 a: -h 94033') 4-
Or, X étant zéro, on a
on aura donc m = i; partant,
A'=:3o8o6'4-22%53oa:-~^sin(i8%662a?-i-94o33')-.....
De là il suit que le moyen mouvement de l'aphélie de Jupiter est 3", 888a;, et que celui de Saturne est 22",55oic.
On pourrait réduire en degrés, minutes et secondes, les coefficients de sinus des valeurs de A et de A', et déterminer par ce moyen ces quantités; mais il parait beaucoup plus simple de faire usage pour cela des équations
tangA=:— et langA'= ^;
ainsi, nous croyons pouvoir nous dispenser d'entrer dans aucun détail à ce sujet.
Du mou^^ement des planètes dans un milieu résistant.
Cette matière a déjà été savamment discutée par plusieurs géomètres, mais ils ont tous supposé les variations produites par la résistance du milieu extrêmement petites; et aucun d'eux n'a recherché ce
ET SDR LE SYSTEME DU MONDE. Mi
que deviendraient les orbites des planètes après un temps quelconque extrêmement grand. Comme la méthode exposée au commencement de ce Mémoire donne une solution fort simple de ce problème, je vais la présenter ici en peu de mots.
Je négligerai l'action des planètes les unes sur les autres, et je considérerai le Soleil comme immobile, ou tel au moins que Téther qui l'environne se meuve avec lui; or il est démontré que cet éther, s'il existe, ne peut être qu'un fluide extrêmement rare, en sorte que sa résistance est insensible dans l'intervalle d'un petit nombre de révolutions. Les planètes décriraient conséquemment, à chacune de leurs révolutions, à très peu près une ellipse; après un temps quelconque, elles décriraient encore très sensiblement une orbite elliptique. Si l'effet de la résistance de la matière éthérée est remarquable, ce ne peut donc être que parce qu'elle doit altérer à la longue les éléments de cette ellipse, c'est-à-dire la moyenne distance de la planète au Soleil, son moyen mouvement, son excentricité et la position de son aphélie. Je vais ici déterminer ces variations, quelque grandes qu'elles soient.
Pour cela, je supposerai, conformément à ce qui existe dans la nature : I® que la force centrale est en raison réciproque du carré de la distance; 2^ que la résistance de l'éther est proportionnelle à sa densité, multipliée par le carré de la vitesse de la planète. Gela posé, soient, comme précédemment, r le rayon vecteur de la planète; ç l'angle que forme ce rayon vecteur avec une droite invariable prise sur le plan de l'orbite; S + P la somme des masses du Soleil et de la planète; soient, de plus, ds l'élément de la courbe; dt l'élément du
temps; ^ sera la vitesse de la planète. Représentons par r(-j la loi
de la densité de l'éther aux différentes distances du Soleil ; §(jLrf- ] ^
exprimera la résistance que la planète éprouve, S|i. étant ici un coefficient constant et extrêmement petit, dépendant du volume de la planète et de la densité de la matière éthérée, à une distance donnée. Si Ton décompose maintenant cette résistance en deux, l'une suivant le rayon vecteur, et l'autre perpendiculairement à ce rayon, on aura.
pour la première,
et pour la seconde,
-'''^[-rj-d?-'
de cette manière, les quantités que nous avons nommées <j/ et ^', dans l'article VIII, deviendront, en faisant - = u,
mais on peut, en négligeant les quantités de Tordre S[ii^, mettre dans
les termes multipliés par S(ji, au lieu de dt, ^—7^ ou ^ (art. IX), et Ton aura
dsdu
^ =— (S -h P)i/«4- 3fxr(tt)A«tt«
l'équation
d^u u* m' ^ do
trouvée dans Tarticle YIII, deviendra donc, en négligeant les quantités de l'ordre Sfii^,
r/f étant constant, et h étant, par l'article IX, égal à
a étant le demi grand axe et ae l'excentricité de l'ellipse que la planète décrirait dans l'hypothèse de S[ii = o; l'intégrale de l'équation (h)
ET SUR LE SYSTÈME DU MONDE. i73
est, par le même article, lorsque S[a = o,
1 I — aecos(9-+-e)
mais» si Ton suppose que l^ n'est pas nul, il faut différentier l'équation
(Pu S-4-P
par rapport à 8, et y ajouter le terme — ^^— ^i — -^\kJd$T{u)^ ce qui donne
d^iu ^ S -4- P ^ r j r^i \
or
ds = ^r^d^--^dr- et r(//)z:.r|^ a(i-^a«e') J^
de là on aura, en réduisant en séries,
cette série sera d'autant plus convergente que eue sera plus petit, mais, ae étant toujours moindre que l'unité, elle convergera dans tous les cas, surtout après les intégrations; on aura donc
0= --T-j- H-3w — 5fx[A(p + Bsin(9H-Ê)-+-Csin2((p 4-e)-f-.. .];
partant,
d£/ = â|jL A9 (pcos(9-f-e) — -^sin2(9 4-e)— . . .
et
d'où il est aisé de conclure que l'aphélie de la planète est immobile, mais que son grand axe et son excentricité sont assujettis à des inéga-
OEuvreê de L. — VIII. 6o
kn RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL
lités proportionnelles au temps» durant un grand nombre de révol lions.
Pour faire disparaître les arcs de cercle de l'expression de w, se S[jL(p = j;, et Ton aura, suivant notre méthode, les deux équations
ci — r-r- = A dZf
ail — a*e')
d —, r—T-r ::= — dz,
A, et B sont fonctions de a et de ae; ainsi, en intégrant les deux équ tions précédentes, on aura a et ^ en fonction de s.
Je suppose que l'on veuille avoir ces quantités en fonction de /, < substituera dans z, au lieu de <p, sa valeur
nt — 2aesin(/i^+ 6) — . . .
trouvée article IX; on pourra même négliger les quantités périodique et Ton aura
dz =zd iindt;
de plus, on a, par le même article.
soit donc
et l'on aura
dfx^V/S-hP — X,
a(i — a*e*) A dx ~ 1'
ae
dx \'
toute la difficulté se réduit donc à déterminer A et B; or, cf très difficile en général : ainsi nous nous bornerons au cas d«' l'excentricité est fort petite, et nous négligerons son ca^
puissances supérieures; dans ce cas, on aura
fr(u)ds=zfrT{u)d(^;
or
en exprimant J^ par F(i/); donc donc
„ = i<-P.„Lr(i)-r.(i)],
maison a (art. IX)
partant,
on aura donc les deux équations
rf^ — *
a (xe
^^=.^'[«K-:)-Kà)>
partant.
dx\fâ
Puisque nous supposons e très petit, il faut que la valeur de e soit telle, qu'elle reste toujours fort petite, sans quoi la solution précé-
dente cesserait d'avoir lieu aprës un certain temps; mais elle sera exacte dans tous les cas où l'excentricité va en décroissant : or, je dis que ces cas sont ceux de la nature; car, s'il existe autour du Soleil un fluide extrêmement rare, sa densité doit diminuer à mesure qu'on s'éloigne de cet astre; ainsi, la fonction T(u) doit être telle qu'elle augmente avec u; partant, duV(u) est toujours du même signe que du^ c'est-à-dire que r'(M) est une quantité positive ; ainsi la valeur de
^ est négative.
Je suppose la densité de l'éther proportionnelle à -^; on aura
donc
on aura ainsi
daa '= — 2dx;
partant,
a = [/ — (am -*- 1) j?]*'^-*-',
/étant une constante arbitraire; de là je conclus
de
cfa:(mH-i)
/ — (am -\'i)x'
d'où je tire, en intégrant,
h étant une seconde arbitraire; on déterminera /et A au moyen des valeurs de a et de eue lorsque x égale o.
Pour déterminer le moyen mouvement de la planète, depuis une époque donnée, j'observe que, en nommant j ce moyen mouvement, on aurait
a* a} dix
si a était constant; A est une constante arbitraire qui exprime la va-
leur de y, lorsque ^ = o; maintenant on aura, par la méthude de l'arlicle VII, en faisant varier a,
3 ^ rfA. 3 dx
en intégrant.
aUix J a' $11
et si l'on substitue au lieu de A sa valeur tirée de cette dernière équation, dans celle-ci
on aura
y = H — , î— Tj- [/— (am + 1)^;]^^^;
•' (am — 2)0ft'-' * / j >
je suppose ^ = o, lorsque a; = o, on aura partant.
Ces additions ont pour objet : i^ réclaircissement d'une difficulté que présente la méthode d'approximation exposée au commencement de ces recherches ; 2® quelques nouvelles recherches sur l'équilibre des sphéroïdes homogènes.
Sur les approximations.
La méthode que nous avons donnée pour cela consiste à faire varier les constantes arbitraires dans les intégrales approchées. Reprenons le premier exemple auquel nous l'avons appliquée dans l'article I des Recherches c\i%Çi% (il est nécessaire d'avoir cet article sous les yeux). Nous sommes parvenus aux deux équations
0/9 étant la variation de p après l'intervalle T et ^q celle de q après le même intervalle. Pour tirer de ces équations les valeurs de p et de y, nous avons observé qu'en nommant ^p et ^q ce que deviennent p et q^
après l'intervalle T, et faisant jT = x, */? et ^q étaient fonctions de Xy
et que l'on avait
dp x^ d}p
donc
dq x^ d^q
^p z=L X -j- -\- . . , et dq =: X -j^ -\- . ,
partant on a, en comparant les termes multipliés par x,
dp ^ dq
mais on doit remarquer que/>, çr, ^, ^ ne sont point fonctions de or,
puisque ce sont les valeurs de */>, ^q^ -^y ^> lorsque a? = o; cependant en intégrant, comme nous Tavons fait dans l'article cité, les équations ;r = 5^ ®^ ^ =P^ now^ avons regardé ces quantités comme fonctions de x.
Pour résoudre cette difficulté, et pour répandre en même temps un nouveau jour sur la méthode dont il s'agit, nous allons faire voir que les
équations ^=9 ^^ 'T' ^P ^^* également lieu, x étant quelconque, et le raisonnement que nous allons faire, pouvant s'appliquer généralement à tous les exemples que nous avons intégrés, servira non seulement à mettre cette méthode hors de toute atteinte, mais encore à présenter une idée nette du principe métaphysique sur lequel elle est fondée.
Si Ton fait dans l'équation (i) de l'article cité / = !-+-/,, on parviendra à l'équation (3), et si l'on fait / = T -hT'-h /,,, on aura une expression de 7, semblable à celle que donne l'équation (3), en écrivant dans celle-ci **/? au lieu de */>, **q au lieu de *qt /h ^^ lieu de /, et T + T' au lieu de T; **p ei**q étant deux nouvelles constantes arbitraires, que l'on déterminera au moyen des valeurs de y et de -—^
lorsque t^^ = o. Cela posé, si l'on compare cette nouvelle expression de y avec celle que donne l'éqîiation (3), on aura
*«/> — »/? = jT'.'^ et ''g-'g^jT.'p;
donc, si l'on fait ^T = x\ on aura, comme dans l'article cité,
*p et *q étant fonctions de t T ou de d? ; partant, si l'on fait, comme cela est permis, dx' = dx, on aura
c'est-à-dire que les équations ^ = 5^ ^t 5^ =/^ ^^^^^ lieu x étant quelconque, et qu'ainsi on peut» en les intégrant» regarder p et q comme fonctions de x.
Un avantage particulier à la méthode précédente» et qui la rend d'un usage extrêmement simple» consiste en ce que» par les méthodes ordinaires» on peut pousser aussi loin que l'on veut les approximations» en conservant les arcs de cercle» et qu'il suffit ensuite d'une seule opération pour les faire disparaître» comme nous l'avons fait voir dans le second article des recherches citées; or, on peut encore appliquer à ce cas le raisonnement que nous venons de faire» en sorte qu'il ne doit rester aucune difficulté sur cet objet.
Ayant envoyé cette méthode à M. de Lagrange» il me fit l'honneur de me répondre qu'il en avait pareillement imaginé une qui y a rapport ; comme tout ce qui sort de la plume de ce grand analyste ne peut, qu'intéresser les Sciences» et que d'ailleurs cette méthode n'est point connue» je pense que les géomètres la verront ici avec plaisir; je vais donc la donner telle que M. de Lagrange me l'a envoyée.
(( Ayant l'équation
où y est supposé très petit» et où û est une fonction rationnelle et entière de y et de sin/» cos/» ...» j'observe que les deux premiers termes donnent
p etq étant des constantes. Je fais maintenant
r =p sin ^ -h ^ cos ù-^-s,
et je regarde/' et q comme variables; j'ai la transformée
dt*
