a -if I sin^-h ( ~ H- 2 -h ) cos^4-i2 = o

Je fais = o les termes affectés de sïni et de cos/, et d'où résulteraient des arcs de cercle dans Tintégrale» j'ai deux équations qui serviront à déterminer j9 et 9; on peut étendre cette méthode à tant d'équations qu'on voudra et lui donner toute Texactitude qu'on désirera. »

Cette méthode conduit à deux équations différentielles du second ordre entrepeiq; mais on verra, avec un peu d'attention , que les termes

^ et -~^ sont d'un ordre moindre que ^7 et ^> et qu'ainsi ils peuvent

être négligés; les équations différentielles du second ordre s'abaissent par là au premier ordre et rentrent dans celles que donne notre méthode.

De r équilibre des sphéroïdes homogènes.

Les géomètres qui se sont occupés de cet objet ont supposé au sphéroïde une figure déterminée, et ils ont cherché si l'équilibre pouvait subsister avec cette figure. Je me propose ici de résoudre le problème inverse et de chercher directement la figure qui convient à l'équilibre. Je ne fais d'autres suppositions que les deux suivantes : savoir, que le sphéroïde est un solide de révolution et qu'il diffère infiniment peu de la sphère. En partant de ces suppositions, je parviens à une équation différentielle très simple, mais d'un degré infini, et qui embrasse généralement toutes les figures qui conviennent à l'équilibre; la figure elliptique satisfait visiblement à cette équation différentielle; mais, quoique je démontre l'impossibilité de l'équilibre pour un très grand nombre de figures et que je n'en connaisse aucune autre que celle de l'ellipsoïde avec laquelle il soit possible, je n'ose cependant assurer qu'elle soit la seule. Il faudrait pour cela connaître en termes finis

0£u9resde i:. — VMI. 6l

i82 ADDITIONS.

rintégrale complète de l'équation différentielle du problème, et je n*ai pu encore y parvenir. Au reste, si mes recherches ne m'ont pas conduit à trouver généralement la âgure du méridien, et par conséquent la loi de la variation des degrés de Téquateur aux pôles, elles m*ont fait connaître celle de la variation de la pesanteur, et j*ai trouvé ce théorème remarquable, savoir, que sur un sphéroïde homogène, quelle que soit sa figure, pourvu quelle tienne le sphéroïde en équilibre, la variation de la pesanteur de Véquateur aux pôles suit précisément la même loi que sur le sphéroïde elliptique homogène.

Problème. — Détenniner l'attraction d'un sphéroïde de révolution infinùnent peu différent de la sphère, sur un point quelconque pris dans son intérieur.

Solution. — Soit AMBmA (fig. i, p. 491) la courbe qui, par sa révolution autour de l'axe AB, engendre le sphéroïde, et ANB/zA un cercle décrit sur AB comme diamètre ; que Ton fasse CA= a et l'angle NCA = 0, C étant le milieu <le AB, on aura visiblement NC = a; ensuite MN est infiniment petit par la condition du problème; représentant donc par a une quantité infiniment petite, on pourra supposer MN de l'ordre a. Si l'on fait maintenant 0 négatif, et tel que l'on ait AN = An, on a non seulement CN = C/^, mais encore CM = C/n; donc MN = /n/2; représentant donc MN par une fonction quelconque de l'angle 0, cette fonction doit être telle qu'elle reste la même en changeant le signe de 6 ; et comme le cosinus de l'angle 0 a cette propriété, il en résulte qu'on peut généralement représenter MN par une fonction quelconque de acosO; désignant donc par (p(acosO) une fonction de acosO, on pourra supposer MN = aa(p(acos6), en sorte que l'on aura

CM = ûr[i -f-a9(acos0)],

et cette équation peut représenter toutes les courbes rentrantes, composées de deux parties égales et semblablement placées de part et d'autre de l'axe AB.

Avant que d'aller plus loin, il ne sera pas inutile de faire la remarque suivante.

Si l'on change le signe de 0 sans changer sa valeur, cosO reste de même valeur et de même signe; partant, toute fonction de ce cosinus sera constamment la même; cependant, le sinus de 6 peut toujours être donné en fonction du cosinus de cet angle, d'où il semblerait qu'il ne doit point changer de valeur, en faisant 0 négatif, ce qui n'est pas. Pour résoudre cette difficulté, j'observe qu'on a sinO= =b yji — cos^ô; ainsi, à cause de l'ambiguïté de signe, l'expression analytique de sinO a deux valeurs; or la condition qui détermine laquelle de ces valeurs il faut employer est que, le sinus étant une perpendiculaire abaissée de l'extrémité de l'arc sur le diamètre, on doit prendre le radical en 4- ou en —, suivant que cette extrémité est au-dessus ou au-dessous du diamètre; ce n'est donc point parce que la fonction qui exprime la valeur du sinus en cosinus change de valeur, lorsqu'on fait 0 négatif, mais parce qu'elle change de forme, que sinô devient de positif négatif. On doit dire la même chose de l'arc et généralement de toutes les quantités qui, dépendantes de l'angle 6 et pouvant être conséquemment exprimées par une fonction de son cosinus, changent de valeur en faisant 6 négatif. Les fonctions transcendantes, telles que l'expression de l'arc par le cosinus, ne diffèrent à cet égard des fonctions algébriques, telles que l'expression du sinus par le cosinus, qu'en ce qu'elles renferment une infinité de formes différentes, au lieu que le nombre des dernières est limité.

La fonction ç(acosO) doit toujours rester la même, tant que la quantité acosô, enveloppée sous le signe 9, reste la même. Cette fonction ne doit donc être sujette à aucune ambiguïté de formes, et si, par exemple, on prend pour elle y/i — cos^ô, il faut prendre constamment le radical soit en plus, soit en moins.

Cela posé, T étant un point quelconque placé sur le plan AMB dans l'intérieur du sphéroïde, soit TC = A, et considérons une molécule quelconque du sphéroïde, située au point R dont Z est la projection sur le plan AMB; soit TR = r, et par le point T soient menées les deux

droites TI et TQ, la première dans le plan AMB, et perpendiculairement à la droite TC, la seconde perpendiculairement au plan AMB ; soit/? l'angle QTR et q l'angle ZTI ; on aura

IZ — r sin/? et ZR = r cos/?,

en sorte que la position du point R sera déterminée par les trois quantités/?, q et r.

rtip restant invariables, si l'on fait varier q de la différence dq^ on aura un nouveau point R' dont Z sera la projection sur le plan AMB; et il est clair que l'on aura ZZ'=RR'; or on a ZZ' = rdqûïip\ donc RR'= rdqs'inp.

Si l'on fait ensuite varier r de la quantité dr, p elq étant constants» on aura un troisième point R% tel que RR''= rfr.

Enfin, si l'on fait varier p de la quantité dp^ r et q étant constants, on aura un quatrième point K\ tel que KR'"= rdp.

Maintenant les trois lignes RR\ RR'\ RR'^ étant perpendiculaires entre elles, leur produit formera un parallélépipède que nous pouvons prendre pour la molécule même placée au point R; or ce produit est r^ s\np dp dq dr, et en le divisant par le carré r^ de la distance r du point T à la molécule, on aura &\npdpdqdr pour l'action suivant TR de la molécule placée en R, sur le point T.

Je décompose cette action en trois autres : la première perpendiculairement au plan AMB, et dont il est inutile de tenir compte, parce qu'elle est détruite par l'action d'une autre molécule égale à la molécule R, et semblablement placée par rapport au point T, au-dessous de ce plan; la seconde, suivant le rayon TC, et la troisième, perpendiculairement à ce rayon dans le plan AMB.

Si, du point Z, on abaisse ZL perpendiculairement sur TC, il est

visible que l'expression de la force suivant TC sera sinp dp dq dr 7^;

or on a

ainsi la force suivant TC est égale à dpdqdrsin^psinq.

ADDITIONS. fc85

L'expression de la force perpendiculaire à TC, et agissante de T

ZL TR

vers 1, est sinpdpdqdrfê,^; or on a

Y^ =s\npcosg;

ainsi la force perpendiculaire à TC est dp dqdr sin^pcosq.

Pour avoir présentement l'attraction entière du sphéroïde, il faut prendre les intégrales

rrCdpdqdrsin^psing et fffdpdqdrsm^pco^qj

pour toute l'étendue du corps, en intégrant successivement par rapport aux trois variables r, q eip.

En intégrant d'abord par rapport à r, elles deviennent

ffdpdq{r^-\'r) %m^p%\nq

ff dp dq (r' -h r) sïn^p cosq^

en représentant par r' le rayon TR prolongé depuis T jusqu'au point où il sort du sphéroïde, et par r ce même rayon prolongé de l'autre côté de TC jusqu'au point de sortie ; d'où l'on voit que r est négatif. Pour intégrer présentement les différentielles

dpdq{r'-h r)^\n^ps\nq et dpdq{r^-^ r) sin^pcosq,

par rapport aux variables/? et q, il faut connaître r' et r en fonctions de p et de q. Je suppose conséquemment le point R à la surface du sphéroïde; en menant de ce point u Taxe AB la perpendiculaire RK, on aura, par la nature de la courbe génératrice AMB,

RC' = a»[i-ha<p(CK)P;

et si, comme je le ferai toujours dans la suite, on néglige les quantités de l'ordre a^, on aura

RC*==ra»[i-h2a<p(CK)].

Cherchons présentement les expressions de RC et de CK.

On a, par ce qui précède,

ZL = r sin/?cos^ el TL = rsinpsin^;

donc

LC=h — r sïnp sïnq,

et si Ton mène LH perpendiculairement sur CA, on aura

CH = LCcos0^=(/i — rsinpsinç) cos0.

Si du point Z on abaisse ZS perpendiculairement sur LH» on aura

ZS — ZLsin0 = rsin/^cos^sin^; or, ZK étant perpendiculaire sur AB, on a

ZS = KH;

donc

KII ^= rsinpcosqsmd;

partant,

CK =: CH + UK = h COS0 -+- rsin/?(8inô cos^ — cosd sin^)

CK = A cos 0 -hr sin/? s\n{9 — q).

Présentement, on a

ZC =CL -t- LZ = (A-- rsin/?siny)'+ r'sin'/jcos'^ et

RZ —r^cos^p;

donc

RC -z(h — rs\nps\nq)--^r^s\n^pcos^q'{-r^cos^p=^h' — 2/irs\nps\nq'hr^;

Téquation

RC*=:a*[i-+-2a<p(CK)]

devient donc

/•' - 2hr s'inp s'inq =: a* — A' 4- aaa* 9 [h cos9 -f- r sinp sin(ô — q)];

/• = Asinpsin^dz4 / '^ '

V 4- aaa'9[/icos0-h rsin/?sin(0 — çr)]

aa* ©[A COS0 -h r8in/>sin(d — <7)]

" I " —^— ^i^—i^i.^ ■ ■ ■—■^i^.Miw ■■■■■PI lia .M ■ I mm »^ — ■ n ■ •

v/a* — A* H- /i* sin ^p sin *^

Il est aisé de voir que l'on aura r\ en prenant le radical en +, et en substituant sous le signe (p, au lieu de r, la valeur que Ton aurait en supposant a = o, et prenant le radical en +, ce qui donne

r'=: hsxnpsïnq h- y/a* — h- -h h* sin V sin '^

j ^[Acosô-4- (h sïn^psmg h- sin/? ^a^ — /i* -+- /i* sin */? sin *q) sin(0 — y)]^

y/a' — /i*-h A* sin'/? siii*^

on trouvera pareillement

r 1= A sin/> sin^ — y^a* — /i* -h A* sin */? sin '7

, 9 [ A cos ^ -f- ( A sin */> siny — sin/? y/g* — A* -h A* sin */? sin*y) sin ( ^ — y )]

y/a* — A* -h A* sin */? sin *q

On aura ainsi, pour l'attraction du sphéroïde suivant TC,

rrdpdq{r'-h r) sin*/?sin^

r r L j j » • . /* /* aa*£//?e/asin*/?sina

nr / / 2hdpdqs\n^psin^'q-^ / / / , ,: ,, . , . , J J J y y/a*— A- -h A* sin*/? sin *7

9 [a COS0 4- (a sin*/? sin y -h sin/? y/a*— A*-*- A* sin*/? sin*^) sin(0 •— ç)]

- 9[A cosô-h(Asîn*/?sin7 — sin/? y/a*— A*-h A*sin*/?sin*^)sin(ô — 7)] )

et pour l'attraction suivant TI,

rrdpdq{r'-h r)s\n^pC0Sq

r r L j j • % ' r r OLaydpdq^m^pzo^q

z= I I 2 h dp dq sinysinqcosq -k- 1 / ^ ^ ^ ^ -

J J J J y/a*— A* 4- A* sin*/? sin *ÇF

9[Acosô-h (Asin*/?sin7 4- sin/? ^ar—h} -h A* sin*/? sin*^) sin(ô — 7)]

— 9 [a cos^ -h (a sin*/? sin 7 — sin/? y/a* — A* -h A* sin */? sin*^) sin(0 — 9)] )

Il faut présentement intégrer ces quantités depuis q==o et p = o jusqu'à q = i8o® et p = i8o®, et Ton aura l'action entière du sphéroïde sur le point T; de là il suit que, dans le développement de ces différentielles, on peut négliger les termes dans lesquels cos^ se trouve élevé à une puissance impaire; car, soit P^^i^cos^ un de ces termes, P étant une fonction quelconque de sin^ et Ae cos^q : il est clair que P sera le même pour deux valeurs de 9, prises à égale distance de 90^; mais cos^ sera le même avec des signes contraires; d'où l'on voit que la somme des deux différentielles, Vdqcosq^ correspondantes, l'une hq = 90® — q\ et l'autre à 90** -f- q\ sera nulle, et qu'ainsi l'intégrale entière, JPdqcosq, sera zéro, en la prenant depuis q = 0 jusqu'à q= 180®.

Si le point T est à la surface du sphéroïde et tombe, par conséquent, sur le point M, il est visible que l'action du sphéroïde sur un point quelconque pris dans son intérieur, et infiniment voisin de M, est la même que sur M; ainsi, les formules de l'article précédent ont également lieu pour ce cas; mais on peut observer qu'alors, la différence de a et de A étant de l'ordre a, on peut, dans les termes multipliés par a, substituer a au lieu de h; de plus, on a, par l'article II,

et, si l'on intègre depuis q = o jusqu'à q ~ 180°, on a

ff'^h dp dq sin '/? sin ^q •=. ÇÇ h dp sïn^p{dq — dq ces 2g ) ~ T^f^ dp sin '/t>,

en désignant par t. le rapport de la circonférence au diamètre; or, ( intégrant depuis p=^o jusqu'à p — 180*^, on a

rin cîn 3r» -

dps'in^p^-^

donc

(f'^h sin*/7sin-^^p^7 = |/i7: = |rtTr[i -f- a 9(acosO')];

ADDITIONS. k89

on a pareillement

JJs\npdpdq=z2T: et ff2hs\i\^p^\nqco^qdpdq=zo\

donc si l'on fait pour plus de simplicité a = i, on aura, pour l'attraction du sphéroïde sur le point M, suivant MC,

fj (r' -\- r) s'm^psïnqdpdq = 3^ — 1^« 9(cos6) -h J^J* (X(/p dq sïnp (^[cosO -h 2 sin^p s'xnq s\n{6 — q)];

je nomme A cette quantité.

On aura ensuite, pour l'action du sphéroïde suivant MO perpendiculaire à MC,

yy (r'H- r) dp dq sin^p cosq

r radpdqs'mpcosq t ^ . • » • • /û m , /in i

=J J —^^—^î^^' ^ J9[cosÔ4-2Sin»/)sm7sm(ô-.^)]-(p(cos0)j;

je nomme aB cette quantité, et j'ohserve qu'elle peut être mise sous une forme plus simple; car, en intégrant par parties par rapport à /?, on a

Bm — cos/? / —- J9[cos0 4- 2sin'/>sin^sin(9-—^)] — 9(0086») j -hC