OUI Y

H- /Y*4 ^P dq sin j9 cos V? cos q sin (0 — q) 9' [cos 0 -+- 2 sin '/? sin q sin (B — q)] ,

en désignant par 9'(0) la différence de ç(6), divisée par rfcosO; la constante arbitraire G doit être déterminée par la condition que l'intégrale commence lorsque /? = o, et cette intégrale doit se terminer lorsque/^ = 180"*; or on a, dans ces deux cas,

9[cos0-h2 sin*/?sin<7sin(Q — 7)] — 9(cos0) =0; donc C = o; partant, B =rr^ dp dq sïnp cos V^ COS7 sin{0 — q) (^' [cosO H- 2 sin*/? sin^ siQ(ô — q)];

or on a

2cos<7sin(Ô — ^) = sin 9 H- sin(ô — 2q)

OEupres de L. — VUI. 62

2sinçsin(0 — 7) = cos(9 — 2q) — cosô; donc

B = rj2 dp dq sinp cos'p sinO 9'[cos0-f- s\n^pcos{9 — 27) — sin*pcos0]

-h rr 2 dp dg sin p cos^p s\n{9 — 2q)

X 9'[cos0 -+- sin*/?cos(0 — 27) — sin*/?cos0].

J'observe maintenant que l'on a, en intégrant par rapport à q,

r 2 dq s\n*p s'in {9 — 2q)(p'[cos9 — sin^y^cosO -f- sin'/?cos(0-— 2q)]

=. ©[COS0 — sin'^cos0-hsinV>cos(ô — 27)] -h C;

la constante doit se -déterminer par cette condition que l'intégrale est nulle, lorsque y = o, ce qui donne

C=i:— 9(cos0);

de plus, l'intégrale doit se terminer lorsque q = 180®; or on a, dans ce cas,

C0S(ô-— 2q) =cos9;

partant (art. I),

9[cosô— sin*/7 cosô -h sin'/?cos(^— 27)] ==9(00$^); donc

f 2 dq sin^p sin{9 — 27) 9'[cos9 — sin*/?cosô -f- sin7>cos(0 — 27)]

= 9(cos0) — 9(cos0) = 0.

L'expression précédente de B se réduira donc à celle-ci

B = rr 2 dp dq sinp cos^p s;m9 9'[cos9 — sinV>cos0 4- sin'/?cos(0 — 27)].

Cette expression de B nous fournit un rapport remarquable et qui nous sera très utile dans la suite, entre les deux quantités A et B. £n effet, si l'on différentie par rapport à 0 l'expression précédente de A, après y avoir substitué cos(0 — 2q) — cosO au lieu de 2sinysin(8 — y), on aura

^ =}7rasin0 9'(cos9) ^ Jj\ dp dq s\np[sïn9 cos^p -h sin*/>sin(0 — 29)]

X 9'[cos0 4- sin'/>cos(0 — 27) — sin*/>cos0];

or on a, comme on vient de le voir, jr ■i dg sin^p 3\n{0 — a 7) 'p'[cos9-+- sin'/»cos(9 — a y) — sin*/)cosÔ] =0; (V) ^=î«itsine?'(C05Ô)-^-

Pour qu'un sphéroïde homogène soit en équilibre, il suffît que la direction de la pesanteur soit perpendiculaire à sa surface; cette proposition se trouve démontrée dans différents endroits (voir surtout l'excellent Ouvrage de M. Clairaul sur la figure de la Terre). Or il faut pour cela que la force dont le point M {fig. i) est animé, suivant la

tangente MV, soit nulle; cela posé, la force aB, dirigée suivant MO, donne, en négligeant les quantités de l'ordre a^, une force égale à aB, suivant MV, parce que, le sphéroïde différant infiniment peu de la

sphère, Tangle OMV est de l'ordre a. De plus, en faisant toujours MC = A, on a

COSVMC= T-J7i —— OLSÏïïOo'iCOSO),

h ad . \ /

en substituant au lieu de A, i -i- a ç(cosO), et négligeant les quantités de Tordre a^; or la force A dirigée suivant MC donne, suivant MV, une force égale à AcosVMC; l'action entière du sphéroïde produira donc suivant MV une force égale à aB — aAsinO(p'(cosO); donc, en substituant au lieu de A sa valeur trouvée dans l'article précédent, et négligeant les quantités de l'ordre a^, on aura

aB — fTiasinô 9'(cos5)

pour cette force.

Soit maintenant a/ la force centrifuge à l'équateur du sphéroïde, c'est-à-dire lorsque 0 = 90**, cette force au point M sera a/sin8, et elle donnera, suivant la tangente MV, une force égale à — a/sinOcosO; je lui donne le signe —, parce qu'elle agit de M vers V; donc la force dont le point M est animé suivant la tangente MV est

«B — |7rasin0 (^'(cosO) — «/sinôcos^,

et comme elle doit être nulle dans le cas de l'équilibre, on aura, pour déterminer la figure du sphéroïde homogène en équilibre, l'équation

(Z) B — i7rsin(?9'(cos(?)=/sin0cos0;

et l'on connaîtra par son moyen la loi de la variation des degrés de l'équateur aux pôles.

Pour avoir la loi de la pesanteur, j'observe que la force centrifuge au point M donne, suivant MC, une force égale à — a/sin*0; ainsi, la force totale dont le point M est animé suivant MC est

A — a/sin'ô;

mais la pesanteur à ce point est la résultante de la force suivant MC et de la force suivant MO perpendiculaire k MC; or, cette dernière force

étant de Tordre a, il est clair que la résultante ne différera de la force

suivant MC, que d'une quantité de Tordre a*; on peut donc prendre

pour la pesanteur la force suivant MC; ainsi nommant P la pesanteur

au point M, on aura

Pr=A — «/sin«0;

donc

et substituant, au lieu de -tqj sa valeur que donne Téquation (V) de l'article III, on aura

-^ =:|a7rsin(?(p'(cos0) 2«/sin0cos0;

si Ton substitue, au lieu de -> sa valeur que donne Téquation (Z) de l'équilibre, trouvée dans l'article précédent, on aura

dP =—^ a/ dO s\ne cosO;

donc, en intégrant,

P = C4-|a/cos*ô.

Soit P' la pesanteur à Téquateur, c'est-à-dire lorsque cosO = o, et a/w, le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à Téquateur, on aura

(x/—(xmP' et P'=^C;

donc

Pzi=:P'(i4-|«mcos«0);

cette équation donne la loi de la variation de la pesanteur de Téquateur aux pôles, et il en résulte que cette variation est proportionnelle au carré du sinus de la latitude.

Reprenons maintenant Téquation (Z) de l'article IV, en y substituant, au lieu de B, sa valeur

/Ta dp dq sin/? cos^ sinô 9' [cosô — sin'/> cosô -f- sin'/> cos(0 — açr)].

k9k ADDITIONS,

trouvée dans Tarticle III, on aura

rTa dp dq sin/? ces'/) 9'[cos0 — sin'/? cosô -+- sin*/? cos(0 — 27)]

— |7r 9'(cos9) =/cos^; soient

cosô=:a? et 9(cos0)=j,

on aura

de plus, on a, par la théorie des suites,

9'[cos0 — sin'^cosô -h sin*/>cos(0 — 27)] "^ ^ " sJn'/>[cos0 - cos(9 - iq)] ^ + sin*/>[cos9 - cos(9 - 29)]' ^^^^, — sin'p[cos0 — cos(9 — 27)]' :r-:i-^

L'équation précédente deviendra donc

^[cos0 — cos(Ô— 27)]

V ; tj JJ ^ ^ ^ ^ ^i^^sinV[cosO-cos(^-27)]M'

en observant que f f^ dp dq sinp co^^p = 1'?:; or on a : 1** [cosfl — cos(0 — 27)]''=cos'*0 — rcos'"-*ôcos(0 — 27)

-f- ^^^'^'^C0S'-«gC0S(g--27)«--. ..;

2<* si Ton fait

cos(^ — 27)'= A H- Bcos(0 — 27) 4- C CCS 2 (0 — 27) -h. . .,

on a, comme Ton sait, A = o lorsque i est impair, et A = ' /""fi • lorsque i est pair; 3** en intégrant depuis q = o jusqu'à q = iSo^,

ona

m éuat an nombre entier qoelconqne; de là il est AÎsé de conclure

Tet^uition ( C ) deviendra donc

— sin*^