I .2.3. . .(/— l) (/-+-/1 — l). . .(/IH- l
On peut, au moyen de la théorie précédente, parvenir à la solution du problème qui consiste à déterminer le milieu que Ton doit prendre entre plusieurs observations données d'un même phénomène. Il y a deux ans que j'en donnai une à l'Académie, à la suite du Mémoire sur les séries récurro-récurrentes, imprimé dans ce Volume (*); mais le peu d'usage dont elle pouvait être me la fit supprimer lors de l'impression. J'ai appris depuis, par le Journal astronomique de M. Jean BernouUi, que MM. Daniel BernouUi et Lagrange se sont occupés du même Problème dans deux Mémoires manuscrits qui ne sont point venus à ma
(«) Voir p. 5.
œuvres de L, ^ VUI. 6
connaissance. Cette annonce, jointe à Futilité de la matière, a réveillé mes idées sur cet objet; et, quoique je ne doute point que ces deux illustres géomètres ne Paient traité beaucoup plus heureusement que moi, je vais cependant exposer ici les réflexions qu'il m'a fait naitro, persuadé que les différentes manières dont on peut l'envisager produiront une méthode moins hypothétique et plus sûre, pour déterminer le milieu que l'on doit prendre entre plusieurs observations.
Problème III. — Déterminer te milieu que l*on doit prendre entre trois obsen'ations données d*un même phénomène.
Solution. — Représentons le temps par une droite indéfinie AB (/ig. i), et supposons que la première observation fixe l'instant du phénomène au point a^ la seconde au point b et la troisième au
Fig. I
point c'j supposons de plus que l'unité de temps soit une seconde, en sorte que l'intervalle de a à 6 soit/? secondes, et celui de bhc, q secondes; cela posé, on demande à quel point V de la droite AB on doit fixer le milieu que l'on doit prendre entre les trois observations a, b et c.
Pour cela, on doit observer qu'il est plus probable qu'une observation donnée s'écarte de la vérité de 2 secondes que de 3 secondes, de 3 secondes que de 4 secondes, etc.; mais la loi suivant laquelle cette vraisemblance diminue à mesure que l'observation s'éloigne de la vérité nous est inconnue. Supposons donc (Jig. 2) que le point V soit le véritable instant du phénomène; les probabilités que l'observation s'éloigne de la vérité, aux distances VP, VP', ..., peuvent être représentées par les ordonnées d'une courbe RMM', qui décroissent suivant une
loi quelconque, et dont, en nommant x l'abscisse VP, et y l'ordonnée correspondante PM, nous représenterons l'équation par celle-ci : y = 9(j?). Or voici les propriétés de celte courbe :
i^ Elle doit être partagée en deux parties entièrement semblables par la droite VR, car il est tout aussi probable que l'observation s'écartera de la vérité à droite comme à gauche;
Fig. 1.
2® Elle doit avoir pour asymptote la ligne KP, parce que la probabilité que l'observation s'éloigne de la vérité à une distance infinie est évidemment nulle;
3° L'aire entière de cette courbe doit être égale à l'unité, puisqu'il est certain que l'observation tombera sur un des points de la droite KP.
Supposons maintenant {fig> i) que le véritable instant du phénomène soit au point V, à la distance x du point a; la probabilité que les trois observations a, 6 et c s'écarteront aux distances Va, V6 et Vr sera
et, si nous supposons le véritable instant au point V, en sorte que aV'= x\ cette probabilité sera
d'où il résulte, par notre principe fondamental de l'Article II, que les probabilités que le véritable instant du phénomène est aux points V ou V sont entre elles comme
Si donc on construit une courbe HOL, dont l'équation soit
les ordonnées de cette courbe pourront représenter les probabilités des points correspondants de l'abscisse. Cela posé :
Par le milieu que Ton doit choisir entre plusieurs observations» on peut entendre deux choses qu'il importe également de considérer.
La première est l'instant tel qu'il soit également probable que le véritable instant du phénomène tombe avant ou après; on pourrait appeler cet instant milieu de probabilité.
La seconde est l'instant tel qu'en le prenant pour milieu, la somme des erreurs à craindre, multipliées par leur probabilité, soit un minimiun; on pourrait l'appeler milieu d'erreur ou milieu astronomique^ comme étant celui auquel les astronomes doivent s'arrêter de préférence.
Pour avoir le premier milieu, il faut déterminer l'ordonnée OV, qui divise l'aire de la courbe HOL en deux parties égales; car il y a visiblement alors autant de probabilité que le véritable instant du phénomène tombe à droite comme à gauche du point V.
Pour avoir le second milieu, il faut choisir {fig* 3) un point V sur
Fig. 3.
l'abscisse, tel que la somme des ordonnées de la courbe HOL, multipliées par leurs distances à ce point V, soit un minimum. Or je dis que ce second milieu ne diffère point du premier. Pour le faire voir, menons l'ordonnée ow, infiniment proche de OV. Soient
Su = dx, OV = j;
Q le centre de gravité de la partie uoL de la courbe;
M cette partie elle-même;
z la distance du point Q à l'ordonnée OV;
P le centre de gravité de la partie VOH;
N cette partie elle-même;
:;' la distance de P à l'ordonnée OV.
Cela posé, en prenant le point V pour milieu, la somme des ordon* nées multipliées par leurs distances à ce point sera
tis-i-^s'-h{ydx\
et, si l'on prenait u pour ce milieu, la somme des ordonnées multipliées par leurs distances au point u serait
M(s — rfjr) + N{5'-1- rfjr) + i/rfj:';
d'où l'on voit que la dilTérence de ces deux quantités sera
N rf-r — M dx.
laquelle doit être égale à zéro dans le cas du minimum. On aura donc dans ce cas M = N, c'est-à-dire que l'ordonnée OV partagera l'aire de cette courbe en deux parties égales. On voit donc que le milieu astronomique ne diflère point de celui de probabilUé, et que l'un et l'autre se déterminent par l'ordonnée OV qui divise l'aire de la courbe HOL en deux parties égales.
Pour trouver cette ordonnée, il est nécessaire de connaître '^{cc) ; mais, dans le nombre infini de fonctions possibles, laquelle clioisironsnous de préférence? Les considérations suivantes peuvent nous déterminer dans ce choix. Il est certain {fig. 2) que, s'il n'y avait pas plus de raison pour supposer le point F plus probable que le point P', on devrait supposer <^{x) constant, et la courbe ORM' serait une ligne droite infiniment proche de l'axe KP. Mais cette supposition doit être rejetée; car, si l'on supposait exister un trës grand nombre d'observations du phénomène, il est à présumer qu'elles deviendraient d'autant plus rares qu'elles s'éloigneraient de la vérité ; on sent facilement d'ailleurs que cette diminution ne peut être constante, et qu'elle devient d'autant moindre que les observations s'écartent de la vérité : ainsi, non seulement les ordonnées de ta courbe RMM', mais encore les diiTérences de ces ordonnées doivent aller en décroissant à mesun; qu'elles s'éloignent du point V, que nous supposons toujours èlre lu phénomène. Or, comme nous le autre loi aux ordonnées qu'à
46 SLUl LA PROBABILITÉ DES CAUSES
leurs difFérenccs, il suit que nous devons, conformément aux règles lies probabilités, supposer le rapport de deux différences consécutives et infiniment petites égal à celui des ordonnées correspondantes. On aura ainsi
rio(x -j- dx) 9 ( .r -h r/.r )
partant
L!e qui donne
dx
9(x) — ze
—mx
Telle est donc la valeur que nous devons choisir pour 9(^). La constante 6 doit se déterminer par cette supposition que Taire entière do laxourbe ORM soit égale à Tunité qui représente la certitude, ce qui donne
6 — [/w, partant 9(.r)^— f?'
t—mx
c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est Tunité.
On peut objecter contre celte loi qu'en supposant x extrêmement grand 9(^) ne serait pas nul, ce qui répugne; mais, à cela, je réponds que, bien que c'^' ait une valeur réelle, quel que soit .r, cette valeur cependant est si petite lorsque x devient extrêmement grand, qu'elle peut être regardée comme nulle.
Maintenant, en admettant cette loi, déterminons Taire de la courbe
HOL(//r-«)-
i" Depuis a jusqu'en b^ Tordonnée de la courbe HOL est
Partant, Taire de la courbe dans cet intervalle sera
e-mfîp-H9)(e'»'— i).
2"* Depuis /> jusqu'en r, Tordonnée de la courbe sera
et l'aire de la courbe dans cet intervalle sera
3° Depuis c jusqu'à l'infini, l'aire de la courbe sera
g-mip-hlq)^
4** Depuis a jusqu'à l'infini, du côté de A, l'aire de la courbe sera
^-miq-htp).
l'aire entière de la courbe sera donc
On peut observer que le point V, tel que l'ordonnée OV partage Taire de la courbe en deux parties égales, doit nécessairement tomber entre les points a et b, en supposant /?>gr; ou entre les points h et r, en supposant q >y?; car l'aire de la courbe à gauche de l'ordonnée b\\ est
laquelle est visiblement plus grande ou moindre que la moitié de Taire entière, suivant que/7 est plus grand ou moindre que q; nous le supposerons plus grand dans la suite du calcul. Cela posé, pour déterminer la distance œ du point a au point V où Ton doit fixer le véritable instant du phénomène, on aura Téquation suivante
d'où Ton lire
rn
kH SUR LA PROBABILITÉ DES CAUSES
Remarque sur la méthode des milieux arithmétiques.
La méthode en usage parmi les observateurs consiste à prendre un milieu arithmétique entre les trois observations, ce qui donnerait
.r== — ^t?. Or cette méthode revient à supposer, dans les formules précédentes, /w = o ou infiniment petit; car alors on a
Or
partant
1 1(, + te—/'- \e-'-9) = - l/> ^ Î7,
la même valeur que donne la méthode des milieux arithmétiques.
La supposition de m infiniment petit donne {/îg. 2) tous les points de la droite KP également probables, au moins jusqu'à une distance extrêmement grande; ce qui est hors de toute vraisemblance par la nature même de la chose et par le résultat du calcul, comme on va le voir dans un moment. On sent par là combien cette supposition est peu naturelle, et combien il est nécessaire dans des circonstances délicates de faire usage de la méthode suivante.
Si m était connue, il serait facile par ce qui précède d'avoir la valeur de x\ mais, cette quantité étant inconnue, il faut nécessairement recourir à d'autres moyens pour obtenir cette valeur.
D'après le principe fondamental de l'Article II, les probabilités des différentes valeurs de m sont entre elles comme les probabilités que, ces valeurs ayant lieu, les trois observations auront les distances respectives qu'elles ont entre elles. Or les probabilités que les trois observations a.b^ic {fig. i) s'éloigneront les unes des autres aux distances p et q sont entre elles comme les aires des courbes HOL, correspondantes aux diflerentes valeurs de m, comme il est facile de s'en assurer.
D*où il résulte, par le principe de rArticle II, que la probabilité de m est proportionnelle à
on voit par là que la probabilité de ttz = o ou infiniment petit, supposition que donne la méthode des milieux arithmétiques, est infiniment moindre que celle de m égal à une quantité finie quelconque. Présentement, si Ton nomme j la probabilité, correspondante à //i, que le véritable instant du phénomène tombe à la distance x du pointa, la probabilité entière que cet instant tombera à cette distance sera proportionnelle à
Tintégrale étant prise de manière qu'elle commence lorsque 771 = 0, et finisse lorsque 772 = qo; si donc on construit sur Taxe AB une nouvelle courbe H'KU dont les ordonnées soient proportionnelles à cette quantité, Tordonnée KQ qui divisera l'aire de cette courbe en deux parties égales coupera l'axe au point que l'on doit prendre pour milieu entre les trois observations.
L'aire de cette nouvelle courbe sera évidemment proportionnelle à l'intégrale du produit de l'aire de la courbe HOL par
Donc, puisque, pour déterminer x dans une supposition particulière pour 772, on a
on aura
jr7n*c-'«<»''+«^-*) (i — \e-'**P— Ae-'»») dm
~y /n*c-'«^*'»^-*^)(i 4- le-'"''— ^c-'"») (i ^{e-'^P— }c-'»*) dm,
en intégrant de manière que les intégrales commencent lorsque m ■= 0, et finissent lorsque 771 = oo.
QXuvreê de L. -~ M\\. 7
Pour intégrer ces quantités, on doit observer que
/ /n*c-*"*£/m = — j7 m^e-^^-\- j ^ m* e"^"^ dm
:=— rr= ni*e
et ainsi de suite. Partant,
f m^e'-^'^dm = C— |t m^e'^'^ — ^m^e"^'^
^•4 • «- 2.3.4 ir«. i.a.3.4.5 -^
Puisque cette intégrale doit s'évanouir lorsque m = o, on a
d'ailleurs, comme elle doit finir lorsque m = 00, on a dans ce cas
partant,
/l Km J 1.2.3. 4. 5 m*e-^'^dm=: =t^
On aura ainsi, pour obtenir x, l'équation suivante :
Cette équation monte au quinzième degré et donne quinze valeurs pour a?; mais on doit observer que, dans le cas du problème précédent, X doit être positive et moindre que/?, ce qui rend un grand nombre de ces valeurs inutiles; s'il y en avait cependant plusieurs qui satisfissent à ces deux conditions, il serait impossible de déterminer laquelle est préférable. Heureusement cela n'arrive point ici, et nous allons faire voir qu'il n'y en a qu'une seule qui y satisfasse, ce qu'il est essentiel de remarquer pour l'usage de cette méthode.
Supposons qu'une des racines de x soit jd— /, et nommant, pour abréger» K le second membre de Téquation (co), nous aurons
('^p^'^q^fY 3(^p^2q-h/y 3(2/7 -h 3^-+-/)
supposons que p—/ — a soit une seconde racine de a:, /-h u étant positif et moindre que/?; nous aurons
(2/>-h iq
Soit
/, /' et /'" seront positifs ou négatifs» suivant que u sera positif ou négatif; de plus, on aura /< /' et /< t, ensuite on aura
mais on a
donc
Or, K étant nécessairement positif, cette équation est visiblement impossible, à moins qu*on ne suppose ^ = o, j, = o et -p = Of ce qui
donne u = o. Il n*y a donc qu*unc seule racine de x qui satisfasse aux conditions prescrites ci-dessus.
La difficulté de tirer de Téquation (co) la valeur de œ rend fort pénible Tusage de la métbode précédente; mais on peut remployer dans des circonstances délicates, où il s*agit d'avoir avec précision le milieu que Ton doit prendre entre plusieurs observations; et, quoique dans le problème précédent nous n'en ayons considéré que trois, il est visible que la solution est entièrement la même pour un nombre quelconque.
Pour donner un exemple de la méthode précédente et de la manière d'en faire usage, supposons (/ig. i) que les observations 6 et c coïncident, en sorte que q = o; cela posé, si l'on fait a: = pz, l'équation (eu) donne
et, si l'on fait = (ji, on aura
Si dans une première approximation on néglige le terme v,- ■ — rg» on
aura une première valeur de [jl qui, substituée dans l'équation, donnera une seconde valeur de |x plus approchée, et ainsi de suite. De cette manière, j'ai trouvé (x = 1,0697, ce qui donne z = 0,860; partant, X = 0,860/?. Tel est, conséquemmcnt, le milieu que l'on doit prendre entre trois observations, dont deux coïncident; par exemple, si la première donne l'instant du phénomène à m*'3o"o*, et les deux autres à m**3o™io*, on doit supposer le véritable instant du phénomène à w*'3o"8*,6; suivant la méthode usitée par les astronomes, on le supposerait à //2*'3o'"6*-J. On voit donc que la méthode précédente rapproche plus l'instant du phénomène des deux observations qui coinci-
dent, et, en cela, elle est bien plus conforme aux probabilités, car on sent aisément que ce milieu doit être pris plus près des deux observations qui coïncident que ne le donne la méthode des milieux arithmétiques.
Voici maintenant une petite Table que j'ai construite pour Tusage des observateurs* Gomme la valeur de 9^ a été supposée dans nos calculs moindre que celle de p^ je l'ai fait successivement égale à 0,0 p ; 0,1/1; 0,2/1; o,3/?; ... jusqu'à p\ j'ai calcu^é ensuite les valeurs de X qui y correspondent. Si la valeur de q tombait entre deux de ces décimales, il serait facile de conclurez; par interpolation.
On doit observer, pour l'usage de cette Table, que x exprime la distance de celle des dgux observations extrêmes qui s'éloigne le plus de l'observation intermédiaire, au milieu que l'on doit choisir entre les trois observations. •
q^=OfOp j:=: 0,860/?
q = o,ip a: — 0,894 />
qz=o,^p a? = 0,944 />
q = ofip x = 0,984 p
g = Oygp a: = 0,992 p
La théorie précédente m'a conduit aux considérations suivantes, qui peuvent n'être pas inutiles dans la Théorie des hasards, et par lesquelles je terminerai ce Mémoire.
Je suppose que A joue avec B à croix ou pile, à ces conditions : savoir que, si A amène croix au premier coup, B lui donnera deux écus; qu'il lui
5b SUR LA PROBABILITÉ DES CAUSES
en donnera quatre s'il ne l^arnéne qu'au second, huit s' il ne l'amène quau troisième, et ainsi de suite jusqu'au nombre x de coups.
Il est facile de déterminer l'espérance de A, ou la somme qu*il doit donner à B, avant que de commencer le jeu; car en nommant y^g cette somme, si Ton suppose que le nombre des coups, au lieu d*étre a?, vienne à augmenter d'une unité, il est visible que Tespérance de A sera augmentée du nombre a'''' d'écus, multiplié par la probabilité
—^ de l'obtenir au coup a? -f- 1 . On aura donc
Qjr-f-l
d'où l'on tire, en intégrant,
C étant une constante arbitraire ; or, posant j? = i , ^^ = i ; donc C = o. Ainsi A doit donner à B le nombre x d'écus.
Nous supposons dans cette solution que la pièce qui, jetée en Pair, doit amener croix ou pile, n'a pas plus de pente pour amener Tun plutôt que l'autre; or cette supposition n'est «admissible que mathé* matiquement, car physiquement il doit y avoir une inégalité; mais, comme les deux joueurs A et B ignorent en commençant le jeu de quel côté est cette plus grande pente, on pourrait croire que cette incertitude n'augmente et ne diminue point leur avantage. On va voir cependant que rien n'est moins fondé que cette supposition ; d'où il résultera que la science des hasards exige d'être employée avec précaution, et demande à être modifiée lorsqu'on passe du cas mathématique au physique.
Examinons ce qui résulte de la supposition que la pièce a une plus
grande pente a tomber d'un côté que de l'autre; soit "7 la probabilité qu'en jetant la pièce en l'air croix ou pile (on ignore lequel des deux) arrivera. Supposons d'abord que la probabilité pour croix soit
"" > l'espérance de A sera dans cette supposition égale à
(l-HTg)[l-i-(l-CT)-h(l-CT)«H-...-f-(l-CT)^-^]r::^ ^ ' "^ "^^ 1^^^""" ^^"^ "" '3 -
supposons ensuite que la probabilité pour croix soit ~ > l'espérance de A sera égale à ■— ■■ — ■"-—'■■■ Or, comme il est aussi naturel
d'attribuer à croix comme à pile la probabilité , si l'on nomme £
l'espérance de A, on aura
E = ,+ '-=^[ii + wr-'-{i-wy-'];
si l'on regarde xs comme fort petit, on aura, tant que x ne sera pas considérable.
Ainsi l'espérance de A est moindre que x, si x est au-dessous de 5 et plus grand que i ; elle égale ^ si ^ = 5. Après un plus grand nombre de coups, l'espérance de A devient plus grande que x, et, posant x infinie, elle est infiniment plus grande.
Comme la valeur de m est inconnue, il n'est guère possible d'évaluer ainsi l'espérance de A pour un nombre n de coups; cependant, si l'on est assuré que tn ne peut excéder une certaine quantité, par exemple, ~, mais qu'il puisse être également un des nombres fractionnaires compris entre o et -< .on peut calculer de cette manière l'espérance de A.
Si l'on conçoit la fraction - partagée dans une infinité de parties égales, représentées par dus, il est clair que l'élément de l'espérance de A sera égal à Egdas, et l'espérance totale sera
Te? rfro^ r? h -+- i^l^\ [(I -t- o)'-' — (I — 0))'-' ] <fe
(en intégrant et ajoutant la constante convenable)
Si nous supposons q fort grand, cetlo quantité se réduit à ses deux premiers termes, tant que n est assez petit, et Tespérance de A est
alors
C'est une chose remarquable que cette espérance soit moindre que n lorsque le nombre des coups est au-dessous de 5 et plus grand que i » qu'elle lui soit égale lorsque /i = 5, et qu'enfin elle soit plus grande lorsque n est plus grand que 5.
Supposons /i = 2 et - = ; l'espérance de A sera égale à a — ^-
d'écus; d'où il résulte que A joue avec désavantage en donnant à B 2 écus, puisqu'il ne doit lui donner que 2 — , ~ d'écus.
Si l'on cherchait par cette méthode la probabilité d'amener croix en
deux coups, on la trouverait égale à 7 -h ,> plus grande consé-
qucmment que {; on se tromperait par conséquent en calculant ces probabilités suivant la méthode ordinaire, c'est-à-dire sans faire attention aux inégalités qui peuvent avoir lieu entre les deux faces de la pièce.
Ceci donne lieu à un nouveau genre de problème sur les hasards, fort utile dans l'application du Calcul des probîibilités; car, bien que l'on ignore de quel côté est la plus grande probabilité, on voit cependant que cette incertitude rend le sort de l'un des joueurs plus avantageux que celui de l'autre; il est donc très intéressant de connaître, dans les différents cas, de quel côté est le plus grand avantage.
Mais c'est principalement dans l'application de la science des probabilités au jeu des dés que cette théorie a besoin d'être modifiée, vu que souvent entre les faces d'un dé, qui semble parfaitement cube, il existe une inégalité de pente très sensible, en sorte que, sur un fort grand nombre de coups, une des faces arrive plus souvent que l'autre, ce qui vient et de l'hétérogéncilé de la matière du dé et de ce que sa figure n'est pas exactement cube; c'est ce que j'ai observé sur les dés les plus réguliers et les plus homogènes qu'il m'a été possible de
trouver, et particulièrement sur les dés que l'on nomme dés anglais; examinons présentement fes changements que ces inégalités doivent apporter dans la solution des Problèmes sur le jeu des dés.
A. et H jouent ensemble, à celte condition que si A amène dans un nombre n de coups une /ace donnée d'un dé, B lui donnera la somme a ; on demande ce que A doit donner à B.
Par la théorie des hasards, on trouve que l'espérance de A est n — ^a, et c'est la somme qu'il doit donner à B; cette solution suppose toutes les faces du dé parfaitement égales, ce qui n'est vrai que mathématiquement parlant.
Soient — ^— ta probabilité qu'une des faces du dé (on ignore laquelle) a pour être amenée au premier coup; — ^ — > —2, — ■> ■■ ■> - .-'— celles que les autres ont pour être amenées pareillement au premier
coup; on aura
i-\- PT 1-1- m' i -^tiI''
partant
Or, si l'on suppose que la face donnée du dé ait la probabilité — -pour être amenée dans un seul coup, la probabilité qu'elle n'arrivera pas dans un nombre n de coups sera
( 5 -H ci' H- ro' -4- . . . + GJ")" ( 5 — ro)"
l'espérance de A est donc alors
Pareillement, si la probabilité qu'a la face donnée pour être amenéi au premier cou
OKarrtê de t.. -
.>8 SIH LA PROnARlLITK DKS CAUSES
ot »insi (le suite; (1*4)11 il suit «[ue la vérilahlc espérance de A est
Si Ton suppose cr, nr', ni', ... lorl petits et // peu eonsidérâble, on aura eette espérance' éj^ale ii
(1*011 il suif que, si gt, ht', ... ne sont pas nuls, re (|ui serait physique-
ment impossible, Tesperance de A (»st moindre ([ue a — j^^t excepté
dans le (*as de /i -- i; de là il résulte (lue A en donnant à B a — ^-r/ joue avec désavantage.
Si // était un nombre considéral)l(\ on trouverait l'i^spérance de A
épale il
„.,,.. ^^^ . . „^,,(CT.. {.„,.. p.... j.^%«) -f- .. .,,..-î^/ m^-hrn'V}-... .i-Hy>5
Or, comme il estaussi naturel de supposernr, trr', ... négatif^ comme positifs, il est visible que Ton doit rejeter l(»s termes oii ils si» trouvent élevés à des puissances impaires; ainsi l'espéraïKM» de A sera
la(|uelle est toujours moindre qu(* a — .,, f/, (|U(d (|ue soit //.
Si 1rs r/uantifes cï, trr', gî", . . . .vo/// inconnues, mais (juon soit assun*
qu'elles ne peuvent être plus grandes que -, /// moindres que , on prth-
pose de trouKrr dans cette supposition r espérance de A.
Ce prublëme présente quelques difficultés et exige des considérations particulières, en ce que les quantités ts, m', cf, . .. dépendent mutuellement les unes des autres, ce qui rend les différentes valeurs qu'on peut leur donner plus ou moins probables; pour simplifier le calcul, au lieu du dé, j'imagine un prisme triangulaire qui ne puisse retomber que sur ses trois faces rectangulaires; cela posé, en supposant in fort petit et n peu considérable, l'espérance de A est
1" n(n-i) a—' , , <7— 3^a I a • 3iï:î«(=> +""-'-«' );
présentement, puisque l'on a i3-i-i3'+t3"=o, on aura 13"= — tn — d'; donc l'espérance de A est
a — 5^ <i — — î^Tï "("'"•' nitïi' + 5j'');
je suppose d'abord ni positif e( constant, et je cherche dans cette supposition l'espérance de A. Pour cela, je multiplie la quantité précédente par dtn, ce qui donne, après avoir intégré,
a' fi(H~-i) a"-' /i ,
CI' H |-lïl"5I )-t-(„
Or la plus grande valeur positive que puisse avoir m est gi';
ainsi, en supposant l'intégrale nulle lorsque tn = o, on aura C = o, et l'intégrale qui convient à tn positif est
Pour avoir l'intégrale qui convient à ra négatif, je fais rn négatif dans la valeur donnée ci-dessus de l'espérance de A, laquelle devient alors a» /i(n — i) a"-'
Si l'on multiplie cette qu; („ ""„\„ "'"
or la plus grande valeur que puisse avoir tzr dans ce cas est -• On aura donc, pour l'intégrale complète qui convient à gj négatif,
/ îï" \ I /#(/! — l) a" ' / f I ,1 ,. l\
V 3»» J f/ 1.2 J"^* \Sf/* a y* qj
Si Ton ajoute cette intégrale à la précédente, il est visible que leur somme exprimera la somme de toutes les espérances de A, qui conviennent à cette valeur de gt', et conséquemment à toutes les variations
de gt', depuis — - jusqu'à - — nr'; relie somme sera Si Ton multiplie cette quantité parr/cr', et que Ton intègre, on aura
\ ^^ /\7 .i / 1.'^ i"^' !.47^ l'iV/ / ^7 ^ ^7 J
(*t, faisant commencer l'intégrale au point oii gj'= o, et la supposant finir lorsque uf— -y cette intégrale devient
cette quantité exprime la somme totale des espérances de A, qui conviennent a toutes les variations possibles de gj' positif; et, pour avoir l'espérance qui en résulte pour A, il est visible qu'il faut diviser celte somme par le nombre total des variations qui conviennent à gt' positif. Or le nombre de toutes les variations qui conviennent à gj' est, par ce
qui précède, gj'; multipliant par da' et intégrant, on trouve — ^—
pour le diviseur de la quantité précédente. Ainsi l'espérance de A, qui convient a cj' positif, est
ft — -r- a — -
Or l'espérance qui convient à cj' négatif est visiblement la même; do
plus» il y a autant à parier pour tzr' négatif que pour xs' positif; l'espérance totale de  est donc
en suivant le même procédé» on parviendrait à résoudre le problème précédent» dans le cas où le corps aurait 4» 5» 6» . .. faces. Il n'y a d'autre difficulté que dans la longueur du calcul.
Ces exemples suffisent pour faire voir avec quelle précaution on doit appliquer aux objets physiques les considérations mathématiques sur le Calcul des probabilités. On suppose dans la théorie que les différents cas. qui amènent un événement sont également probables, ou, s'ils ne le sont pas, que leur probabilité est dans un rapport donné. Quand on veut ensuite faire usage de cette théorie, on regarde deux événements comme également probables, lorsqu'on ne voit aucune raison qui rende l'un plus probable que l'autre, parce que, quand bien même il y aurait une inégale possibilité entre eux, comme nous ignorons de quel côté est la plus grande, cette incertitude nous fait regarder l'un comme aussi probable que l'autre.
Lorsqu'il n'est question que de probabilités simples, il parait que cette inégalité de probabilités ne nuit en rien à la justesse de l'application du calcul aux objets physiques; si B, par exemple, s'engage h donner deux écus à Â, à cette condition que ce dernier amènera croix au premier coup, suivant la théorie, c'est-à-dire en supposant croix et pile également possibles, Â doit donner à B un écu avant que de commencer le jeu ; et la même chose a lieu, comme il est facile de s'en assurer, quand on supposerait une inégale probabilité pour croix et pour pile, pourvu qu'on ignorât de quel côté est la plus grande; mais, lorsqu'il s'agit de probabilité composée, il me semble que l'application que l'on fait de la théorie aux événements physiques demande à être modifiée. Par exemple, si au jeu de croix et de pile, B parie avec A que ce dernier, sur deux coups, n'amènera point croix, la probabilité de B pourgagner est visiblement composée, puisqu'elle résulte de la pro-
habilité que croix n'arrivera point au premier coup, et de celle qu*il n*arrivera point au second, multipliées Tune par l'autre. Or, dans ce cas, la probabilité de B par la théorie ordinaire est ^, au lieu que» pour peu que Ton suppose croix et pile inégalement possibles, cette probabilité est plus grande que J.
Cette aberration de la théorie ordinaire, qui n'a encore été observée par personne, que je sache, m'a paru digne de rattcntîon des géomètres, et il me semble que l'on ne peut trop y avoir égard, lorsqu^on applique le Calcul des probabilités auxdiirérents objets de la vie civile.
Quoique les théorèmes suivants n'aient aucun rapport avec la matière précédente, cependant à cause de l'ulilité dont ils peuvent être dans l'Analyse, j'ai cru pouvoir les communiquer ici aux géomètres.
Sur les solutions particulières des e'f/uafions diJfèrentielU's.
On sait <|ue les équations ditlerentielles ont des solutions particulières qui ne sont point comprises dans l'intégrale générale, de quelque manière que l'on détermine les constantes arbitraires; je les nomme, \i0\iv ceiiQVtiiïStOïx^ solutions particulières. Il est donc nécessaire d*avoir une méthode pour trouver toutes ces solutions; or voici, pour y parvenir, un théorème général :
Théorème. — Soit r équation différentielle dy -.— pd,x\ p étant fonciion de X et dey; toute solution particulière de cette équation différentielle est un /acteur commun au.r deux quantités
Ou- ôy I
p H rr^— et - — ,
et réciproquement, tout facteur commun à ces deux quantités, égalé à
zéro, est unesolution particulière de l'équation différentielle dy^pdx.
On trouvera la démonstration de ce théorème et de plusieurs autres analogues sur les équations difTérentielles du second ordre, dans un Mémoire intitulé : Recherches sur les solutions particulières des équations différentielles, qui paraîtra parmi ceux de l'Académie pour l'année ï77^(')-
Sur les équations aux différences partielles.
Théorème I. — L'intégrale d'une équation linéaire auoc différetwes partielles de l'ordre n renferme n fondions arbitraires; ces fondions peuvent entrer dans l'intégrale avec leurs différences premières, deuxièmes, troisièmes, etc. , mais ces fonctions et leurs différences ne peuvent y entrer que sous une forme linéaire; ainsi, l'équation générale linéaire du deuxième ordre.
ot, ë, f > S» ^ si' étant des fonctions de x et de y, a nécessaireme/u une intégrale de cette forme
5 = H + A!p(iij) + Bç'(Bi) + Ccp'{ro)+ ... + P^(fl} +Qq,'(e)+R4,'(e) + ...,
ç{ib) et "KO) étant deux fonctions arbitraires, ^'(ci) représentant
i^, f(xs) = ^^, d ainside suite; d H. A, B. C P. Q. R. . • .
étant fondions de x et de y.
Les quantités t3 etb se déterminent en cherchant des valeurs qui salis-
(>) La mélhode dont j'ai Tait usage vienl de parallre dans les .^ctes de Leipzig pour l'année 1771- Hais, comme il s'esl glissé, durant l'impression, ptusieure Tautes assez considérables, et que d'ailleurs j'ai eu depuis occasion d'af prie le lecteur do suivre mes recherches sur cet obje l'année 1771.
fassent aux équations
°=H-'-0(;"-Vr'-')-
iVj <yj (
équations que ion peut toujours résoudre. En général, il est toujours JacUt d'intégrer cette équation
dz .. ôz .
ax à y
K étant/onction dex et de y^ et V étant fonction de or, y et z. On observera ici que, par intégrer, /entends ramener aux dijférences ordinaires réquation aux différences partielles.
De là résulte celte remarque assez singulière : savoir, que pour déterminer la vitesse du son, il est inutile d'intégrer l'équation aux différences partielles dont elle dépend; et, quoiqu'on ne Tait pas encore intégrée dans le cas où l'air n'a que deux dimensions, on peut assurer cependant que cette vitesse est la même que dans les hypothèses d'une et de trois dimensions.
Du théorème précédent, suit cet autre théorème, savoir :
Théorème II. — Il existe des équations linéaires aux différences pcutielles du second ordre dont V intégrale est impossible en termes finis. De ce genre est réquation des cordes vibrantes dans un milieu résistant comme la vitesse, et toute fois que l* intégrale est possible en termes finis, on peut la trouver par une méthode qui peut également saj^pUquer aux équations linéaires de tous les ordres.
Nous supposons, dans les deux théorèmes précédents, que les fonctions arbitraires existent dans l'intégrale débarrassées de tout signe d*intégration; et ce n'est, à proprement parler, que dans ce cas que cette intégrale est possible en termes finis. Mais, lorsque l'équation n'est pas susceptible d'une pareille intégrale, il importe souvent d'en
avoir une en termes finis, quoique les fonctions arbitraires y soient enveloppées sous le signe d'intégration. Cela posé,
Théorème III. — l! eocpression de z aura dans ce cas la forme suivante
s =:H-h A<p(gj) -i-B /'C 9(BT)cfcj-!-
-hB'yC'<p(Gj)^nj-f-
R + (0)-4-S fy ^\f{d)de H-S'/V'q;(e)rf0
dont on peut toujours déterminer les coefficients H,A,B, C, ..., R,S,
Voir pour la démonstration de ces théorèmes les Mémoires de V Académie pour Vannée 1773.
(Mmrts de L. — VIU.
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