LIVRE XI

l'attraction des molécules du tube sur celles du fluide surpassera l'intensité de l'attraction des molécules fluides sur elles-mêmes. Ce n'est pas le seul exemple de suppositions fausses ayant conduit à des vérités; mais la découverte d'une vérité n'appartient qu'à celui qui le premier la démontre.

La méthode que Clairaut a suivie dans sa Théorie de la figure de la Terre^ quoique fort élégante, est limitée aux ellipsoïdes de révolution. D'Alembert, dans ses Recherches sur le Système du monde, publiées en 1754 et 1756, traita cet objet d'une manière beaucoup plus générale. II détermina les attractions d'un sphéroïde très-peu différent de la sphère, et dont l'équation de la surface est algébrique et d'un ordre quelconque, en le supposant même formé de couches de diverses densités, et il en conclut que la figure que ces couches doivent prendre peut satisfaire à la condition générale de leur équilibre lorsqu'elles sont fluides et douées d'un mouvement de rotation. Cette condition est que la pesanteur soit perpendiculaire à la surface de chaque couche de niveau. D'Alembert employait une autre condition, dontLagrange a fait voir l'identité avec la précédente. Les recherches de d'Alembert, quoique générales, manquent de la clarté si nécessaire dans les calculs compliqués. Elles laissaient surtout à désirer la connaissance des rapports généraux et simples qui doivent exister entre la figure des sphéroïdes et leurs attractions. Ces rapports des grandeurs génératrices aux résultats qui en dérivent n'intéressent pas moins les géomètres que les solutions des problèmes.

La grande supériorité de l'Analyse sur la Synthèse se fait principalement sentir dans les questions difficiles du Système du monde, questions pour la plupart inaccessibles à la Synthèse. Mais le problème des attractions des ellipsoïdes de révolution, résolu avec tant d'élégance par Maclaurin suivant la méthode synthétique, donnait à cette méthode un avantage sur l'Analyse, que l'on devait s'empresser d'autant plus de faire disparaître, qu'il était naturel d'attendre de l'application de l'Analyse à cet objet, non-seulement un moyen plus simple d'obtenir les résultats de Maclaurin, mais encore une théorie complète des attractions

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de ce genre de sphéroïdes. C'est, en effet* ce qui est arrivé. Dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin pour Tannée 1773, Lagrange, par une transformation heureuse des coordonnées, est parvenu analytiquement, et de la manière la plus simple, aux résultats de Maclaurin; il les a étendus à des ellipsoïdes quelconques, et il en a déduit ce théorème, que Maclaurin n'avait fait qu'énoncer et que d'Alembert a démontré le premier, savoir que l'attraction d'un ellipsoïde quelconque sur un point placé dans le prolongement d'un de ses axes est à l'attraction d'un sphéroïde qui aurait le même centre et les mêmes foyers, et qui passerait par le point attiré, comme la masse du premier sphéroïde est à la masse du second. 11 restait, pour compléter cette théorie, à déterminer l'attraction d'un ellipsoïde sur un point quelconque placé au dehors. M. Legendre, dans le Tome X des Savants étrangers, l'a fait, à l'égard des ellipsoïdes de révolution, par une analyse ingénieuse et savante qui donne, pour tous les sphéroïdes de révolution, un rapport très simple entre leur attraction sur un point placé dans le prolongement de leur axe de révolution et leur attraction sur un point placé dans le prolongement d'un rayon quelconque, à la même distance du centre. Relativement aux ellipsoïdes de révolution, ce rapport fait voir que le quotient de l'attraction sur un point quelconque extérieur, divisée par la masse, est le même pour tous les ellipsoïdes de révolution qui ont le même centre et les mêmes foyers, et, comme l'attraction à la surface est donnée par les théorèmes de Maclaurin, il ne s'agit, pour avoir l'attraction sur un point quelconque au dehors, que de faire passer par ce point un de ces ellipsoïdes, ce qui est facile. Il était naturel d'étendre ce résultat aux ellipsoïdes qui ne sont pas de révolution. Mais sa démonstration présentait beaucoup de difficultés. Je l'ai donnée le premier, dans un Ouvrage sur la Théorie du mouvement elliptique et de la figure des planètes ^ qui parut en 1784. et dans mon Traité de Mécanique céleste. Ayant établi un rapport général entre les attractions d'un sphéroïde sur on point quelconque extérieur et ses attractions sur les points placés dans le prolongement d'un de ses axes et dans le plan perpendiculaire à cet axe, j'en ai