LIVRE XI

déduit une nouvelle démonstration du résultat dont il s*agit. Enfin M. Ivory est parvenu au même résultat par une transformation trèsheureuse des coordonnées, sans recourir aux séries. Tel a été le progrès des recherches par lesquelles les géomètres sont parvenus a une théorie complète des attractions des ellipsoïdes.

Maclaurin a fait voir qu'une masse fluide homogène tournant autour d'un axe pouvait être rigoureusement en équilibre avec une figure elliptique. Mais y a-t-il d'autres figures d'équilibre lorsque le sphé* roide est très-peu difierent de la sphère? J'ai prouvé, sans connaître sa figure, que la pesanteur à sa surface suit la même loi que si cette figure était celle d'un ellipsoïde de révolution. M. Legendre a fait voir ensuite que, si la figure est de révolution, elle doit, pour l'équilibre, être elliptique, et j'ai reconnu que cela est exact, sans supposer une figure de révolution. Mais d'Alembert a prouvé que plusieurs figures elliptiques d'équilibre correspondent à une même durée de rotation. J'ai démontré ensuite qu'il n'y en a que deux, et j'ai déterminé la limite de la durée de rotation que la masse peut avoir sans se dissiper. Mais le véritable problème à résoudre consiste à déterminer la figure qu'une masse fluide doit prendre lorsque, ses molécules ayant été primitivement animées de forces quelconques, elles parviennent à la longue, par leur frottement mutuel et par leur ténacité, à un état fixe d'équilibre. J'ai fait voir, dans le Livre III de la Mécanique céleste^ que le fluide finit par prendre la figure d'un ellipsoïde de révolution dont l'équateur est le plan primitif du maximum des aires décrites par chaque molécule autour du centre de gravité de la masse. Le mouvement de rotation ainsi que les axes de l'ellipsoïde de révolution sont déterminés par ce maximum; il y a toujours une figure possible d'équilibre, et il n'y en a qu'une.

Enfin j'ai donné, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 1782 et dans le Livre III de la Mécanique céleste, une théorie générale des attractions des sphéroïdes. La fonction qui exprime la somme des molécules attirantes divisées respectivement par leurs distances au point attiré a l'avantage d'exprimer, par ses difi'érences

partielles, la résultante de ces attractions décomposées suivant une direction quelconque. J'ai reconnu à cette fonction la propriété suivante : La somme de ses trois différences partielles du second ordre, prises séparément par rapport à chacune des trois coordonnées rectangulaires du point attiré^ est constamment égale à zéro. Cette équation fondamentale, combinée avec une équation différentielle du premier ordre à laquelle j*ai trouvé que la fonction dont il s'agit doit satisfaire lorsque le point attiré est a la surface d'un sphéroïde homogène trës-peu différent de la sphère, m'a donné, par le développement le plus facile, l'expression de l'attraction d'un sphéroïde formé de couches solides ou fluides de densités quelconques, douées d'un même mouvement de rotation et dont les molécules s'attirent réciproquement au carré de la distance. Les rapports généraux et simples que cette expression donne entre les attractions et la figure des sphéroïdes m'ont directement conduit à déterminer la figure des couches fluides dans l'état d'équilibre et la loi de la pesanteur à leur surface. La fécondité de l'équation fondamentale qui sert de base à mon analyse, et qui se reproduit dans la théorie des fluides et dans celle de la chaleur, me porte à croire que les formules auxquelles je suis parvenu sont les plus générales et les plus simples que l'on puisse obtenir.

Voici maintenant le précis des nouvelles recherches que j'ai ajoutées aux précédentes et que j'ai publiées dans les Volumes de la Connaissance des Temps et de l'Institut.

On voit, par la Notice historique que je viens de donner des recherches des géomètres sur la figure de la Terre, qu'ils ont supposé le sphéroïde terrestre entièrement recouvert par la mer; mais, ce fluide laissant à découvert une partie considérable de ce sphéroïde, ces recherches, malgré leur généralité, ne représentent pas exactement la nature, et il est nécessaire de modifier les résultats obtenus dans l'hypothèse d'une inondation générale. A la vérité, la théorie mathématique de la figure de la Terre présente alors plus de difficultés; mais le progrès de l'Analyse, surtout dans cette partie, fournit le moyen de les surmonter et de considérer les continents et les mers tels que l'observation les présente.