LIVRE XL

négliger, et l'équation précédente devient

av i^

or 1

La même équation a lieu pour d'autres molécules situées, comme dm^ trës-prës de la surface de la sphère; en nommant donc Y^ la somme des V relatifs à ces diverses molécules, on aura

or a

et, r étant trës-peu différent de a, on aura l'équation (a),

or 1

Le raisonnement précédent cesse d'avoir lieu lorsque le point attiré est trës-prës de la molécule dm\ car alors cosy difi^re trës-peu de l'unité, et la fonction

ti[(r — «')î»4- 2a>(i — cosy)]'

devient trës-grande par la petitesse de son diviseur, à moins que la molécule dm ne décroisse à mesure qu'elle approche du point attiré ; si, par exemple, ce décroissement, à partir du contact de la molécule, avait pour facteur le carré r*— aaVcosy-ha'* de la distance de ces deux points, la fonction précédente resterait toujours insensible.

Concevons un sphéroïde trës-peu différent d'une sphëre, et supposons le point attiré à sa surface. Imaginons à ce point une sphëre intérieure au sphéroïde, tangente à sa surface, et d'un rayon a trës-peu différent du rayon du sphéroïde. Alors, si l'on désigne par V la somme des molécules de l'excès du sphéroïde sur la sphère, divisées par leurs distances au point attiré , si Ton Bxe l'origine des r au centre de cette sphëre et si dm est une de ces molécules, l'intégrale de la fonction (/), prise par rapport au système de ces molécules, pourra être supposée nulle, parce que les molécules dm sont nulles au point de

OEupres de L. ^ \ . 5

9k MÉCANIQUE CÉLESTE.

contact et que leur expression près de ce point a pour facteur le carré de leur distance à ce point. L'équation (a) subsiste donc pour ce point. Relativement à la sphère tangente, on a

en supposant donc que Y' exprime la somme de toutes les molécules du sphéroïde divisées par leurs distances au point attiré, ce qui donne V'= V-hV, on aura, en supposant le point attiré au point de contact de ia sphère et du sphéroïde,

[b) a~.-' -h -V'= — :5 7ra»;

^ ' or 1 ô

c'est Téquation que j'ai donnée dans le n^ 10 du Livre III. Ici l'origine de r est au centre de la sphère tangente. Fixons cette origine à un point quelconque très-proche du centre de gravité du sphéroïde, et désignons par a(i-haj^) le rayon de ce sphéroïde, a étant un trèspetit coefficient constant. L'attraction de ce sphéroïde dirigée vers

l'origine de r est — - -^> et il est facile de voir qu'elle est, aux quantités près de Tordre a', la même quelle que soit cette origine, pourvu que cette origine ne s'écarte que d'une quantité de l'ordre a du centre de gravité du sphéroïde; car cette attraction, composée avec une force qui lui est perpendiculaire et de l'ordre a, produit la pesanteur totale, dont elle ne diffère, par conséquent, que d'une quantité de l'ordre oc^. Ainsi l'équation précédente (b) subsiste en fixant l'origine de r à un point quelconque situé fort près du centre de gravité du sphéroïde.

Telle est la démonstration que j'ai donnée de cette équation dans Pendroit cité de la Mécanique céleste. Quelques géomètres, ne l'ayant pas bien saisie, l'ont jugée inexacte. Lagrange, dans le Tome YIII do Journal de fÉcole Polytechnique, a démontré cette équation par une analyse k peu près semblable à celle qui me l'avait fait découvrir {Me- Jhoùrei de l' Académie des Sciences, année 1775, p. 83). C'est pour sim-