LIVRE XI

plifier cette matière que j'ai préféré de donner dans la Mécanique céleste la démonstration précédente.

Si le point attiré est élevé d'une quantité <tay au-dessus de la surface du sphéroïde, V étant de la forme |w— -i-aR, il ne variera, par ce déplacement du point et en négligeant les quantités de Tordre a^, que de la quantité — |wa*ay'. La différence partielle a-^ variera de

la quantité ô^ra^a^'; la variation du premier membre de l'équation [b) sera donc niça^cLy'^ et cette équation deviendra

dr 1 3 -^

Mais l'équation (a) subsistera toujours, parce que, Vêtant de l'ordre a, ce déplacement ne peut y produire que des quantités de l'ordre a^. Cela posé, si l'on substitue, dans les équations (2) et (3), i +a^ + a.y

au Heu de r, et si dans l'équation (3) on substitue Vau lieu de

dV

dr

> elles deviendront, en négligeant les termes de l'ordre a^,

const.=«r-f-«/- -^-^— J prf( -3- -»- -5- + -— +• . .)

3« /v/ri.. Y'(«) ¥'(») Y'(») \

4 r^ . ' ^('''"5) |7r/prf.a» ^ ^

/• ^/aa*YO) 3a5Y(«> 4û«Y<»> \

-4- -V-haçfiix»-- ^J x7r/prf.a»

/ /v/zn^ ^Y'(0 3YW \

Si l'on ajoute cette dernière équation à la précédente multipliée pur

^Tzfpd.a^^ on aura

I /> = consi.— 2«7r(j4-/)/prf.a»4-2a7r/prf(a*YO)-+-a*Y(»)-4-a»¥(»^-+-...)

Si Ton suppose la Terre homogène ou p constant, on aura

/i=:consl.— aa7r{p — 0/4- Ta^fF^-- 5) ^î^p,

et l'on doit observer que ^wp est à très-peu près la pesanteur a l'équa-

teur. On a donc, dans le cas où la mer a la même densité que le sphéroïde terrestre, ce qui donne p = i ,

P étant la pesanteur à Téquateur.

Cette valeur de p subsisterait encore dans le cas où des plateaux d'une densité quelconque et de hautes montagnes recouvriraient les continents. Ces corps ajouteraient à l'équation (i) un terme Y", qui serait la somme de leurs molécules divisée par leurs distances respectives au point attiré. En supposant ce point à la surface de la mer, on aura

or a

Ainsi Y"" disparaîtrait de l'expression de la pesanteur p par le même procédé qui a fait disparaître Y" de cette expression ; p aurait donc encore la valeur précédente ; le terme Y"* changerait donc la figure de la mer sans altérer la loi de la pesanteur. Il est bien remarquable que cette loi soit indépendante de cette figure, qui peut avoir une infinité de formes, dépendantes de la manière dont la mer recouvre en partie le sphéroïde terrestre et des irrégularités de la surface des continents.

3. Pour déterminer la figure de la mer lorsque celle du sphéroïde ten*estre est donnée, la méthode la plus simple consiste à ordonner les