LIVRE XV
On doit observer que la différence partielle j- doit être prise ici sans faire varier n.
Dans la théorie des variations séculaires, il est plus simple d'employer, au lieu des quantités e, u, y, ô, les suivantes, A, /, /?, q, en
faisant
A .-= e sin Gj, / = e cosGT,
p=iys\n6f q = ycos6.
Si l'on néglige les carrés de ^ et de y et leurs produits, eu égard a l'unité, si l'on substitue, pour w, -,» et si l'on observe qu'en n'ayant
égard qu'aux variations séculaires, on doit négliger dR ou le supposer nul, les équations (3), (4). (5) et (6) donneront les suivantes,
dl r <^R
dp r <^R
'"wTV^^
dR
dt ^ dp
OÙ l'on ne doit considérer, dans une première approximation, que la partie de R constante et dépendante de A, /, p et q. Gela posé, si l'on
développe l'expression de R du n** 46 du Livre II, et si l'on désigne
par F la quantité
(a, a') étant la partie indépendante de 0 dans le développement de
(a* — 2aa'cos6-i-a'^)^ suivant les cosinus de 6 et de ses multiples, (a, ay étant le coefficient de cosô dans ce développement, et la caractéristique 2 servant à exprimer la somme de toutes les quantités sem-
blables à celle qu'elle précède, et que Ton peut former en considérant deux à deux les masses m, m\ niL\ ...; on aura les équations suivantes :
dh r àY
dl r àY
dp r àY
dq r àF
"'-dr^'^--df'
Ces équations sont les équations (Â) et (G) des n^ 55 et 59 du Livre II. Lagrange a donné le premier les équations (C) relatives aux inclinaisons et aux nœuds des orbites, dans les Mémoires de r Académie des Sciences de i774- J'ai donné les équations (A) dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1772. Toutes ces équations sont linéaires et facilement intégrables par les méthodes connues. Leur forme symétrique et fort simple m'a fait voir que leurs intégrales ne renferment, par rapport au temps, ni exponentielles ni arcs de cercle, et qu'ainsi les excentricités et les inclinaisons des orbites sont fonctions de sinus et de cosinus d'angles croissants avec une grande lenteur et indépendants de la configuration mutuelle des planètes, en sorte que les orbites planétaires ont toujours été et seront toujours presque circulaires et peu inclinées entre elles, ce qui assure la stabilité du système planétaire. Il est facile de voir que les équations précédentes
donnent
my/â(/idh-r-ldl) -h m' ^7(h' dh' -h F dt) -^...rrro,
m^a(p dp -h q dq) -h m' ^[p' dp' -+- q' dq') -h . . . = o, d'où l'on tire, en intégrant,
e^m \lâ -h e'^m! Va' 4- . . - C,
