LIVRE XV

C et C étant deux constantes trës-petites ; il en résulte que e, é ^ ..., y, y', ... seront toujours des quantités très-petites.

Lagrangc, dans la seconde édition de sa Mécanique analytique ^ observe que, si la masse ni est très-petite par rapport à m, comme Mars relativement à Jupiter, dont il n'est pas la centième partie, alors le terme e^m'^a' sera toujours du même ordre que é^m\la, quoique e' croisse considérablement et devienne même égal à Tunité. Il en conclut que Ton ne peut être alors assuré que e'^ conservera toujours une petite valeur qu'en résolvant l'équation algébrique qui détermine les coefficients du temps dans les sinus et cosinus des expressions de A, /, h\ l\ ..., et en s'assurant que les racines de cette équation sont toutes réelles. Mais, si ce grand géomètre eût considéré ce que j'ai dit dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1784 et dans le n^ 57 du Livre II de la Mécanique céleste, il aurait vu que, sans recourir. à cette résolution, je démontre que ces racines sont toutes réelles et inégales.

Sur le développement en série des puissances du radical qui exprime

la distance mutuelle de deux planètes.

3. Si l'on nomme r et /^ les rayons vecteurs de deux planètes, et 6 l'angle au Soleil compris entre ces rayons, la distance mutuelle des deux planètes sera

V^r^ — 2 r? cos 0 'hr'^,

r et r' diffèrent toujours peu des moyennes distances a et a' de ces

planètes, en sorte qu'en désignant r par a-hSr, r' par a'-hSr', on aura, en développant le radical dans une série ordonnée suivant les

puissances et les produits de Sr et %r\ une suite de termes multipliés

par les puissances successivement décroissantes du radical

y^a2 '— 1 au! cos ô 4- a' * .

Supposons à plus grand que a, et faisons — ~-a; ce radical devient

a' V^i — 2acos9 H- a*-*.

Considérons généralement la puissance

(i — 2acos0 -4- a^j-S

et supposons qu'en la développant dans une série ordonnée par rapport à cos6, COS2O, ... on ait la suite

- b^f' -! 6i*' cosô 4- 6i^^ cosiO H- . . . -+- 6^'^ cosiô 4- ... ;

on aura, par le n^ 49 du Livre II,

[a) [i -s) ab^J'=z [i - i){j -^ c:^)bi'-'' ~ [i -i- s - 2) ab'J

Cette équation aux différences finies peut être intégrée au moyen d'intégrales définies, par la méthode que j'ai donnée dans ma Théorie anafytique des prohabilités. En faisant, d'après cette méthode,

9 étant une fonction de x, il faut déterminer 9 et les limites de l'intégrale /^'<p dx, ce que l'on fera de cette manière.

On substituera cette valeur de Up dans l'équation aux différences finies (a), qui devient ainsi

o — (/- - s)afx^(^ dx — [i — i){i -{- {x^)fx^-'*(^ dx -h [i -\- s — 'i)(xfx*-'^<f dx.

En intégrant par parties, on aura

o — jr'-« 9[a-- (1 -1- (x^)x-^- ax^]

4-/a:'-2(p dx[{s - i)a-f- (n-ûK^)x — (s 4- i)ax*] -' fx^-^ d^la — [\-\-vr)x 4- ax^].

Cette équation doit, suivant la méthode que j'ai citée, se partager en deux, en égalant séparément à zéro les termes compris sous le signe intégral, ce qui donne

o-^ 9.[(* — i)a 4- (i -K a^)x — [s -h 0«^^] dx — x d^[ix — (i 4- a^)x 4- ax*], o — jt' * 9.[a — (i H- a^)^ 4- OLX-'].