LIVRE XV

La première de ces équations donne, en Tintégrant,

Hx^-«

H étant une constante arbitraire. La seconde équation, qui sert à déterminer les limites de l'intégrale, donne, pour les limites de l'intégrale /^'<p dXf

On peut toujours supposer s moindre que l'unité, parce qu'ayant pour ce cas la valeur de b'j\ on peut, par le n** 49 du Livre II, en conclure la valeur relative à tous les cas où s est augmenté ou diminué

d'un nombre entier. Dans le cas des planètes, s = -y et l'équation des limites devient

dont les racines sont, lorsque i est égal ou plus grand que 2,

X =^ Of X ^^ Xf X = - •

Ainsi l'intégrale complète de l'équation (a) est alors

2 J ^[OL-'X)[l — OLX] J ^[a — X)[l — OLX)

la première intégrale étant prise depuis x = o jusqu'à x = %, et la

seconde étant prise depuis a? — a jusqu'à œ^=-\ H et H' sont deux

arbitraires. Cette dernière intégrale introduit dans l'expression de b\

des puissances négatives de a, de l'ordre ~.^ ce qui n'a point lieu pour

les planètes. On doit donc alors supposer H' nul. Pour avoir l'intégrale

J ^[(X — X][\ — OLX)

nous ferons

Tintégrale précédente devient ainsi

cette dernière intégrale étant prise depuis t = o jusqu'à /— i; c'est

l'expression de b^^K Soit

r étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; on aura, en développant en série,

^,„ u^ r^ u^ ^ II* "1 ^

re qui donne

Lorsque i est un grand nombre, les termes qui suivent le premier dans le second membre deviennent successivement plus petits et sont des

ordres t» -^i •••» par rapport à lui. Nous ne considérerons ici que le

premier, et alors l'expression précédente de 6*,*' devient

/ nul donne u nul, et / = i donne u infini. L'intégrale fduc"* devient,

comme l'on sait, dans ces limites, égale à -v^tt, t: étant la demi-cir-

conférence dont le rayon est l'unité. On a donc, lorsque i est un grand nombre,