SUR LA THÉORK LUNAIRE DE NEWTON

2. Parmi les inégalités du mouvement de la Lune en longitude, Newton n'a développé que la variation. La méthode qu'il a suivie me parait être une des choses les plus remarquables de l'Ouvrage des Principes. Je vais, en y appliquant l'Analyse, montrer son analogie avec les méthodes actuelles et faire voir qu'elle conduit aux équations différentielles du mouvement de la Lune, dont elle donne, dans le cas de la variation, les intégrales d'une manière indirecte, mais très-ingénieuse.

Newton considère d'abord l'aire décrite par le rayon vecteur de la Lune, et, pour simplifier le calcul, il fait abstraction de l'excentricité de l'orbe lunaire et de son inclinaison à l'écliptique. Il décompose l'action du Soleil sur la Lune en deux forces, l'une parallèle au rayon vecteur de la Lune, l'autre parallèle au rayon vecteur de la Terre. Newton observe que la première de ces forces ne produit aucun changement dans Taire que le rayon vecteur de la Lune trace autour de la Terre. En retranchant ensuite de la seconde force l'action du Soleil sur la Terre, que l'on regarde ici comme immobile, il décompose la différence en deux forces, l'une dirigée suivant le rayon de l'orbe lunaire, l'autre perpendiculaire à ce rayon. Cette dernière force est la seule qui fasse varier l'aire décrite par le rayon vecteur de la Lune. Newton trouve pour son expression

3m* sln(i)' — u) cos(i»'— i»), m étant le rapport du moyen mouvement sidéral du Soleil à celui de la

ORuvrei deL.^ V. 52

Lune ou du mois sidéral à l'année sidérale; u' est la longitude du

Soleil et u celle de la Lune. La force qui retient la Lune dans son

orbite est prise pour unité de force, ainsi que le rayon moyen de l'or-

bite lunaire est pris pour unité de distance, ce qui donne la vitesse

moyenne de la Lune égale a Tunité de vitesse, puisque, en vertu des

théorèmes d'Huygens sur la force centrifuge, la force centrale de la

Lune est égale au carré de sa vitesse divisé par le rayon de son orbite.

En multipliant l'expression précédente par l'élément dt du temps, la

somme de tous les produits, correspondante à un temps quelconque,

sera l'accroissement de vitesse résultant de la force perpendiculaire

au rayon. En le multipliant par {dj^ on aura, aux quantités près

de l'ordre du carré des forces perturbatrices, l'accroissement de l'aire

décrite par le rayon vecteur de la Lune pendant l'instant dt. Newton

détermine par un procédé particulier la somme des produits de dt par

la force

3m* sin(y'— u) cos(l»'— v).

Cette somme est à fort peu près l'intégrale de la différentielle

Zm^ dvsm[m\j — u)cos(/nu — u),

en substituant mu pour u', ce que l'on peut faire quand on néglige l'excentricité de l'orbe terrestre, et en mettant rfj pour A, la vitesse

moyenne -^ étant prise pour unité. Cette intégrale, prise depuis la quadrature, où u — iwu est un angle droit, est

3m*cos*fu — mxj)

(]ette expression, multipliée par irfj, donne l'accroissement de l'aire instantanée égal à

ainsi la variation de cette aire est

3 ni^ dv cos ( 2 y — Cl m u ) 8(i-m)