LIVRE XVI. H

Si Ton nomme ds l'élément de la courbe décrite par la Lune, ^

sera le carré de sa vitesse; en substituant pour dt sa valeur précédente, on aura, pour ce carré,

A, . *v » r^Q dxj\

Soit R le rayon osculateur de Torbite; les formules connues du rayon de courbure donnent, en supposant dj constant.

ainsi le carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure est

Il faut, par les théorèmes d'Huygens, égaler cette expression k la force lunaire décomposée suivant le rayon de courbure et dirigée vers le centre de courbure. On a vu que la force lunaire se décompose en

deux, Tune dirigée vers la Terre et égale à — ~^» Tautre perpendiculaire à r et égale à - ^* Si l'on décompose la force — -^ en deux, l'une parallèle à l'élément de la courbe et l'autre dirigée vers le centre de courbure, on aura pour celle-ci — -^ -j- ou ^j-j-- Pareillement la force - ^> décomposée suivant le rayon de courbure, sera

T ^' ^^ réunissant ces deux forces dirigées vers le centre de

courbure, on aura, pour la force lunaire dirigée vers ce point,

rfu dQ du dQ

ds Ou uds ô'j

en l'égalant au carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure, on aura

° ^' \dxj^ "^ "j V ^ Aâ J iû w') h'^ 'ôû *^ /i"»«2 dv 'ô^ '

OEîwres de L.-^ \, 53

hiS MÉCANIQUE CÉLESTE.

équation qui coïncide avec la seconde des équations (L) du n^ 1 du Livre VII, lorsqu'on néglige l'inclinaison de l'orbite lunaire.

3. Newton considère ensuite le mouvement des nœuds de l'orbe lunaire et la variation de son inclinaison à l'écliptique. Après avoir décomposé l'action du Soleil sur la Lune en deux, l'une dirigée suivant le rayon de l'orbe lunaire, l'autre parallèle au rayon mené du Soleil à la Terre, il retranche de celle-ci l'action du Soleil sur la Terre et il observe que leur différence est la seule force qui puisse altérer la position du plan de l'orbite lunaire, comme n'étant pas dans ce plan. Pour déterminer la variation des nœuds qui en résulte. Newton fait passer un plan par l'élément de l'arc que la Lune décrit dans un instant et par le rayon lunaire de la dernière extrémité de cet élément. Ce plan sera celui de l'orbite pendant cet instant; dans l'instant suivant, la différence des forces dont nous venons de parler fera dévier la Lune de ce plan. Si par l'extrémité du rayon lunaire on mène une petite droite pour représenter cette différence, en la composant avec la vitesse de la Lune dans le premier instant, on aura la direction de cette vitesse dans le second instant, et, faisant passer un plan par le rayon l^inaire et par cette direction, on aura le nouveau plan de l'orbite. Newton détermine ensuite la différence de position des nœuds de ces deux plans, et il trouve que le mouvement horaire du nœud ascendant est égal à

-— 3 m^ui sin(i» — N) sin( mu — N) cos(u — mu),

N étant la longitude du nœud et u, étant le mouvement horaire de la Lune. En désignant donc par N| le mouvement horaire du nœud, on a

Ni = — Sm^ui sin(u -- N) sin( mu - N)cos(u — mv).

Dans l'état actuel de l'Analyse, on réduit le produit de ces sinus et cosinus en cosinus simples, ce qui donne

Ni — — jm^v^[i -4- cos(2u— 2mv) — cos[2u — ^N) — cos(2mu — ^N)].