i.dx* ou P^'^ égal à

( f) -rF===\i /^(^ ^^-^ ^i^costsY-

Dans le cas de X=:iy cette fonction se réduit à Tunité, comme cela doit être ; car P^'^ devient alors le coefficient de a?' dans le développement de Mais, pour peu que X soit moindre que Tunité, la fonc-

tion précédente, et par conséquent P^'^ devient moindre que l'unité, comme il est facile de le prouver.

L'intégrale (/), prise depuis xs = o jusqu'à cy = w, est égale à cette

même intégrale prise depuis xs = o jusqu'à cf = -> plus à l'intégrale

, ,— ,, fdm' {l>r^i- ii~i^ cosBj')',

prise depuis cy'=o jusqu'à xs'= -♦ comme on le voit en changeant u en t: — u' dans l'intégrale (/), lorsque xs surpasse -• Soit donc Y= Y, ce qui donne X = siny'; la fonction (/) devient

(P) -^^, fdJ (vf-slny-^cos/cos.)'!

î^W""') J L-J-l^—' siny'— cos/cosist)'J

lUi jusqu a ty = * cette fonction la forme suivante :

l'intégrale étant prise depuis m nul jusqu'à w= -• On peut donner à

/( (cosiy'-hv^^siniY)! i — 1(0037'— y^isin 7') cos7'8iii«io j j

dtt l >

1 H-(— i)'(co8/7'— v^Tsin/y) j I — a(cos7'-hv/^sm7')co37'sin*-a I \

ORwn-et de t.-- Y.

On a

I rfcjj I — a(cosy'— V^i sin/)cos/sin*-isi 1

i log fl— |{©o*t'- V^^ •Inx') CWT' tin» J wl ^: C ^ ' J,

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Il résulte (le la méthode générale que j*ai donnée dans les Mémoires de l'Académie des Sciences pour Tannée 1782, et que j'ai développée avec étendue dans ma Théorie analytique des probabilités, que, dans le cas de i un très-grand nombre, cette intégrale devient à trës-peu près égale k celle-ci,

fd *" 5 ^^^" *^~* **"^^ ^^' "* rintégrale étant prise depuis a nul jusqu'à zs infini. En faisant

i/-(cosy' — v^— I siny') cosy'^r /,

cette intégrale devient

cos- y'-H v' — I sin -y

Sdtc'^\

l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu*à / infini, ce qui donne

De là il est facile de conclure que la fonction (/), valeur de P^'\ est à fort peu près, dans le cas de i égal à un trës-grand nombre pair,

^f,)ïcos(l-^;^jy'

v{ que, dans le cas de i très-grand et impair, cette valeur est à fort peu