LIVRE XI

près

a(-.)'«'sin(/+i)/

(i-Xa)V2ff'

En restituant y pour y', ces deux expressions deviennent l'une et

l'autre

cos[(i+l)y-jTr]

('->')Vî'"

"k étant supposé plus petit que l'unité, cette valeur de P^'^ est toujours fort approchée lorsque i est un très-grand nombre; elle devient exacte lorsque i est infini. Mais il est remarquable que l'expression donnée cidessus de P^'^ par une suite de puissances de X, et qui, dans le cas de / un très-grand nombre, est composée d'un grand nombre de tennes et de facteurs, se réduise alors à une expression aussi simple. Considérons présentement l'intégrale

qui devient V" lorsque r= i . Le coefficient de -^^^^ dans cette intégrale

développée par rapport aux puissances de -9 est, dans le cas où i est un très-grand nombre,

rf^'rf«'cos[(l-^^jy- inj

En intégrant cette fonction par rapport à [/, on a

ik MÉCANIQUE CÉLESTE.

On voit ainsi que, quel que soit j^i, on arrivera toujours, par le développement du radical ==r suivant les puissances de -> à une

série très-convergente, à cause du diviseur («-f--) \/-«^- Le coefficient de -^ dans ce développement est, par le n® 23 du Livre III,

n.3.s..,,,-on.v('';;;::;i;;t!'û::;'-'---^-'--^'V--^^^fe^'-'------]l

le signe 2 comprenant toutes les valeurs de la fonction qu'il enveloppe, depuis n = o jusqu'à n = i. Dans le cas de /i = o, il ne faut prendre que la moitié de cette fonction.

La première approximation nous a donné y, sous cette forme

En la prenant négativement et en y changeant [/. en |i.\ on aura la valeur de ^i, qui, substituée dans l'intégrale

Xi dfj.'d(ù'

V^r^— irl-hi

développée par rapport aux puissances de -> donne, par une série trèsconvergente, cette intégrale et par conséquent la valeur de V". On aura ainsi, au moyen de l'équation (4)» une seconde approximation de la valeur de «y, ordonnée, comme la première, par une suite de fonctions de la forme Y'^'\ On aura ensuite, au moyen de l'équation (6), une seconde approximation de la pesanteur p. Ces approximations seront suffisantes, vu le peu de densité de la mer et son peu de profondeur, comme on le verra bientôt.

Dans le cas où la Terre est un sphéroïde de révolution, il est facile de voir que la valeur de V" se simplifie et se réduit à une suite de termes compris dans la forme