ry
La série (a) devient ainsi, abstraction faite du signe.
i[i — 9. r]'~^ Vît i — "ir /'xr{i — r) e^
On a, à très-peu près, par les théorèmes connus.
i.a.3. . .r~ /"^îC" v^TT.
MS MÉCANIQUE CËLESTB.
La série (a) devient donc
OU
rfi ^ r fc{i-^(à) y
(i> étant donné par Téquation (c).
On doit observer ici que la valeur de <u donnée par cette équation n*est pas rigoureuse. Nous avons négligé, pour former cette équation»
les quantités de Tordre -? et, de plus, nous avons supposé que le terme
maximum p était égal à celui qui le précède, ce qui n*est qu'approché. De là il suit que la valeur exacte de co est celle que donne l'équation (c),
plus une correction de Tordre ^i que nous désignerons par ?• Mais
cette correction disparait d'elle-même par la condition de p maximum. En effet, si Ton nomme D la fonction
ec{i — aw)
et D' cette même fonction lorsqu'on y change w dans w -4- ? ? on aura
En repassant des logarithmes aux nombres et négligeant ensuite les quantités de Tordre -9 on aura
On a
rfD 2 . I — w
Ddw I — i(ù
+ log
et l'équation (c) donne log = — - — ; on a donc, aux quantités
près de Tordre -l» D''=DS d'où il est facile de conclure que, par It»
changement de co dans ta-h%i la formule {d) reste la même. Si la
quantité
aw*^(i — w)«-<^
surpasse Tunité, la fonction {d) devient infinie lorsque i est infini; l'expression du rayon vecteur devient donc alors divergente. La valeur de l'excentricité, déduite de l'équation
est, par conséquent, la limite des valeurs de l'excentricité qui font converger l'expression du rayon vecteur développé suivant les puissances de l'excentricité. En substituant, au lieu de c, sa valeur
(-"^j donnée par l'équation (c), cette expression de e devient
L'équation (c) donne, à peu près,
d'où l'on tire
L'équation précédente de la limite de l'excentricité e donne, à cette
limite,
d'où il est facile de conclure
'f80 MÉCANIQUE CÉLESTE.
r<''qu»tion < cj donnera donc
l<*s valeurs de e supérieures à celle que cette équation donne rendent rexpression en série du rayon vecteur R divergente lorsque / est un angle droit. Pour toutes les valeurs inférieures, cette série est convergente, quel que soit /. En effet, le terme général de l'expression de R, développée en série ordonnée par rapport aux puissances de l'excentricité, est, comme on l'a vu,
La plus grande valeur de ce terme, abstraction faite du signe, ne peut surpasser
i.ji. )...(/ — ij.n' 'L '•'^ J
On vient de voir que cette valeur, lorsque i est infini, devient nulle par un facteur moindre que l'unité élevé à la puissance i, lorsque Texcentricité e est au-dessous de celle qui résulte de l'équation aux limites; la série est donc convergente, quel que soit /. Je vais maintenant établir qu'alors la série de l'expression de l'anomalie vraie, développée de la même manière, est pareillement convergente.
3. L'anomalie excentrique étant u, et i^ l'anomalie vraie, on a, par le n** 20 du Livre II de la Mécanique céleste,
t --U — esïnu,
R - 1 — ecosii,
re qui donne
du I
di R' or on a, par la loi des aires proportionnelles au temps,
dv v'"i~^^.
di ' " Rï ~ '
SUPPLÉMENT AU Y« VOLUME. kSl
on a donc
L'expression en série de u^ du n° 22 du Livre cité, donne
-j- = 1 + eC0S/-4 2^C0S2/H 5 — t(3»cos3/ — 3cos/) -4-
ai 1.2.2 1.2.3.2*^ '
Le terme général de cette série est
, ^ 3 y-n [''C0Sl/~l(l-2)'c0S(l-2)/
et, dans aucun cas, il ne peut surpasser
.----irr ['' + '(' -^)''-^^^^^('- 4)' + ...!•
En suivant exactement l'analyse de l'article précédent, on trouve ce dernier terme égal à
s . 2 I--2(»r PC(l — 2Û)) 1'
iù étant donné par Téquation (c) de l'article précédent. Maintenant, si l'on désigne par A la série
la série étant continuée jusqu'à i' == i, il est facile de voir que l'expression en série de -^ sera moindre que le développement en série de la Fonction
y'27r(i — qe) en désignant par q la quantité
OKmwr^t éUL» ^ V. 6i
Car il est visible que le coefficient d'une puissance quelconque ef dans le développement de la fonction (o) est positif, et qu'il est plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans
le développement de ^- L'expression de ^ ou de ( ^) yji — e^ est donc moindre que
^^7r(i — qe) J
or le développement de yji — e* est moindre que celui de j; le
développement de -^ est moindre que celui de
c'est-à-dire que le coefficient d'une puissance quelconque è' dans le développement de cette fonction est positif et plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de ^• Donnons à la fonction [p) cette forme
A2 4A(r — 26))7'V 2(1 — ift))^7«'>«*
Le terme -1 développé en série, donne une série convergente. Car,
quelque grand que l'on suppose «, pourvu qu'il soit fini. A* sera composé d'un nombre fini de termes. En désignant par m^ l'un de ces
termes, __ ^> développe en série, donnera une série convergente,
e étant supposé moindre que l'unité. Ainsi -^— ^ donnera un nombre
fini de séries convergentes, et, dans leur somme, le terme dépendant de e* deviendra nul lorsque s est infini. Le terme
4A(i — 2(k))^'e' ^2i:(i^qe)(i'-e^)
donnera un nombre fini de termes de la forme
ne'
or la fraction
se décompose dans les trois suivantes
