LIVRE XI

toute la Terre,

Jxdm = I «TT cos A[Jpd(a* q(^^) + q'(^^ -f- Q^^^fpd{a^ )]

-^4^sinA< sinn[/pc/{a*ç(0) + ,l(i)+Q(0/prf(a*)]j

fv^«- ^«ttcosaI sinn[/pd(a^9(0) + 9'(0+Q(0/prf(a*)] j ja/n - 3 « I ^ cosn[/prf(a* çC»)) -+- ç'C») + Q(^)/p(/(a* )]

~ |a7r sinA[/pd(a*ç(o)) -4- 9'(^>4- Q(»^/prf(aO], Js m- 3*^1- sinn[/pd(a*ç<2))-^9'W+Q^Vprf(a*)]

Les conditions nécessaires pour que Taxe de rotation passe par le centre de gravité de la Terre sont que ces trois valeurs de Jxdm, fydm, fzdm soient nulles; en les égalant donc à zéro, on déterminera les trois constantes Q^*\ Q^*^ et Q^*\ Ainsi le sphéroïde terrestre, recouvert en entier par la mer en équilibre, a un axe de rotation passant par le centre commun de gravité du sphéroïde et de la mer, et autour duquel le sphéroïde tourne d'une manière uniforme.

L'analyse précédente conduit à un théorème fort simple sur la détermination de cet axe. En effet, l'équation précédente {() donne, en observant que l'on peut mettre A^'^ sous la forme Jd{a^h^^^)^

ô/pd(a3)

s devant être supposé successivement égal à o, i, 2, 3, 4- ^^ substituant les diverses valeurs du premier membre de cette équation dans les trois équations qui déterminent les quantités A, n et e, on voit

que ces équations déterminent l'axe principal du sphéroïde terrestre,

lorsqu'on suppose les densités p de ses couches diminuées de l'unité

ou de la densité de la mer.

Pareillement, l'équation ({'j) donne

^'(')+/prf(a«,(")= fiPlzMp^)

fpd{a^)

Si Ton fixe l'origine des coordonnées au centre de gravité du sphéroïde terrestre modifié par la diminution précédente de ses couches « on aura q^*^ = o; les expressions de Jxdm^ Jydm^ fzdm^ égalées à zéro, donneront ainsi Q^"^ Q^*\ Q^^^ nuls. Ainsi le centre de gravité de la Terre entière est le centre de gravité du sphéroïde terrestre ainsi modifié. De là résulte ce théorème :

Si l'on conçoit la densité des couches du sphéroïde terrestre diminuée de la densité de la mer, et si, par le centre de gravité de ce sphéroïde imaginaire, on conçoit un axe principal de rotation de ce sphéroïde, en faisant tourner autour de cet axe le vrai sphéroïde terrestre et la mer^ ce fluide étant en équilibre^ cet axe sera un axe principal de rotation de la Terre entière dont le centre de gravité sera celui du sphéroïde imaginaire.

Ainsi la Terre a pour axes principaux les trois axes principaux de rotation du sphéroïde imaginaire, du moins si la mer est assez profonde pour que, étant en équilibre, en tournant autour de chacun de ces axes, elle recouvre entièrement le sphéroïde terrestre. Mais il y a entre un corps solide et la Terre cette diflerence, savoir que, en changeant d'axe principal de rotation, la figure du solide reste constante, au lieu que la Terre change de figure en changeant d'axe principal. Les trois figures que prend sa surface en changeant d'axe principal de rotation ont entre elles des rapports simples et intéressants k connaître.

Considérons d'abord la mer en équilibre et tournant autour d'un de ces trois axes principaux, que je nommerai premier axe principal. Le rayon de la surface de la mer sera