LIVRE XL

d'où Ton tire

et

v=ic-..s>»[r»(,-^)]

Cette équation donne à la surface, où r=a, la partie de la chaleur relative à Texponentielle 0""% égale à

L'accroissement de la chaleur, à la profondeur z' au-dessous de la surface, est, par le théorème de Taylor, ~^'-3-» et, en vertu de l'équation (2), ce terme devient/^'V, en ne considérant dans la valeur de V à la surface que la partie de la chaleur qui est indépendante de l'action des causes échauffantes à l'extérieur. Il est remarquable que cet accroissement/2'y de la chaleur soit indépendant du rayon du globe et de la manière dont il est échauffé intérieurement, et qu'il ne dépende que de la chaleur des couches voisines de la surface et de la manière dont elles perdent leur chaleur. Dans le cas présent, si l'on nomme h la valeur de Y à l'origine du temps /, à la surface, on aura

Att

et par conséquent

v=^,-:-H(«-.Trsin[^.(.-^)].

Au centre, où r est nul, cette expression donne à fort peu près

la température est donc à ce point incomparablement plus grande qu'ù la surface. L'accroissement de température à une petite profondeur 5' comptée de la surface est

fz'kc -*^ 'f> .

J'observerai ici que l'analyse par laquelle je viens d'intégrer l'équation (3) s'applique aux équations générales du mouvement des fluides, et que c'est ainsi que j'ai déterminé, dans le Livre IV, les oscillations d'un fluide qui recouvre une sphère immobile et qui est attiré par un astre en mouvement.

Les valeurs de Yf®\Y^*^Y^*\ ... sont déterminées par l'état initial de la chaleur de la sphère. Je vais donner, pour cet objet, une méthode simple et qui peut s'étendre à beaucoup d'autres cas.

Je suppose que l'état initial de la chaleur soit exprimé par la fonction

U(0)-t-UCO4-U(2)-h... + U(')

U^'^ étant une fonction rationnelle et entière de |x, /T^jx^sincr et V^i — (jl'cosct, assujettie à la même équation aux différences partielles que Y^'^ c'est-k-dire telle que l'on ait

L ^ àfj. \ dta^ ... .,,.

O =z — î= -T ^—-i H -h II -h l)V('\

les coefficients arbitraires de U^'^ étant ici des fonctions de r. Soient ç(r) un de ces coefficients et rç(r) = y'; on aura, par ce qui précède.

En supposant / nul dans l'expression de Y, il est facile de voir que l'on aura

yW, y'(*), y'W, ... étant les valeurs de q' correspondantes aux diverses racines de l'équation (4); A^*\ A^'\ ... sont les arbitraires qui multiplient ces valeurs et qu'il s'agit de déterminer. Pour cela, on multipliera l'équation précédente par q^^dr, et l'on prendra l'intégrale depuis r nul jusqu'à r=a, ce qui donne